HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssposi Unicode version

Theorem pjssposi 22744
Description: Projector ordering can be expressed by the subset relationship between their projection subspaces. (i)<->(iii) of Theorem 29.2 of [Halmos] p. 48. (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1  |-  G  e. 
CH
pjco.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjssposi  |-  ( A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( (
proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) `  x )  .ih  x
)  <->  G  C_  H )
Distinct variable groups:    x, H    x, G

Proof of Theorem pjssposi
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . . 8  |-  H  e. 
CH
21pjhcli 21989 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  x )  e.  ~H )
3 normcl 21696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj  h `  H
) `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) )  e.  RR )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) )  e.  RR )
54resqcld 11265 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) ^ 2 )  e.  RR )
6 pjco.1 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
CH
76pjhcli 21989 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H )
8 normcl 21696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  e.  RR )
97, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  e.  RR )
109resqcld 11265 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) ) ^ 2 )  e.  RR )
115, 10subge0d 9357 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
0  <_  ( (
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ^ 2 ) )  <->  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) ) ^
2 ) ) )
121pjfi 22275 . . . . . . . 8  |-  ( proj 
h `  H ) : ~H --> ~H
136pjfi 22275 . . . . . . . 8  |-  ( proj 
h `  G ) : ~H --> ~H
14 hodval 22314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj  h `  H
) : ~H --> ~H  /\  ( proj  h `  G
) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) ) `  x
)  =  ( ( ( proj  h `  H
) `  x )  -h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
1512, 13, 14mp3an12 1272 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) `  x )  =  ( ( (
proj  h `  H ) `
 x )  -h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
1615oveq1d 5834 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) ) `  x
)  .ih  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  H
) `  x )  -h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  .ih  x
) )
17 id 21 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  e.  ~H )
18 his2sub 21663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( proj  h `  H ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  H ) `
 x )  -h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  .ih  x
)  =  ( ( ( ( proj  h `  H ) `  x
)  .ih  x )  -  ( ( (
proj  h `  G ) `
 x )  .ih  x ) ) )
192, 7, 17, 18syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  H ) `  x )  -h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  .ih  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  H
) `  x )  .ih  x )  -  (
( ( proj  h `  G ) `  x
)  .ih  x )
) )
201pjinormi 22258 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  H ) `  x
)  .ih  x )  =  ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) ^ 2 ) )
216pjinormi 22258 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  G ) `  x
)  .ih  x )  =  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) ^ 2 ) )
2220, 21oveq12d 5837 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  H ) `  x )  .ih  x
)  -  ( ( ( proj  h `  G
) `  x )  .ih  x ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) ^ 2 )  -  ( (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ^
2 ) ) )
2316, 19, 223eqtrd 2320 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) ) `  x
)  .ih  x )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
2423breq2d 4036 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
0  <_  ( (
( ( proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) `  x ) 
.ih  x )  <->  0  <_  ( ( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) ^ 2 ) ) ) )
25 normge0 21697 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H  ->  0  <_  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )
267, 25syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) ) )
27 normge0 21697 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj  h `  H
) `  x )  e.  ~H  ->  0  <_  (
normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) ) )
282, 27syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) )
299, 4, 26, 28le2sqd 11274 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
)  <->  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) ) ^
2 ) ) )
3011, 24, 293bitr4d 278 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
0  <_  ( (
( ( proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) `  x ) 
.ih  x )  <->  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) ) ) )
3130ralbiia 2576 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( (
proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) `  x )  .ih  x
)  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
) )
326, 1pjnormssi 22740 . 2  |-  ( G 
C_  H  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )
3331, 32bitr4i 245 1  |-  ( A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( (
proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) `  x )  .ih  x
)  <->  G  C_  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1628    e. wcel 1688   A.wral 2544    C_ wss 3153   class class class wbr 4024   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   RRcr 8731   0cc0 8732    <_ cle 8863    - cmin 9032   2c2 9790   ^cexp 11098   ~Hchil 21491    .ih csp 21494   normhcno 21495    -h cmv 21497   CHcch 21501   proj  hcpjh 21509    -op chod 21512
This theorem is referenced by:  pjordi  22745  pjssdif2i  22746  pjssdif1i  22747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812  ax-hilex 21571  ax-hfvadd 21572  ax-hvcom 21573  ax-hvass 21574  ax-hv0cl 21575  ax-hvaddid 21576  ax-hfvmul 21577  ax-hvmulid 21578  ax-hvmulass 21579  ax-hvdistr1 21580  ax-hvdistr2 21581  ax-hvmul0 21582  ax-hfi 21650  ax-his1 21653  ax-his2 21654  ax-his3 21655  ax-his4 21656  ax-hcompl 21773
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-lm 16953  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cfil 18675  df-cau 18676  df-cmet 18677  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-gdiv 20853  df-ablo 20941  df-subgo 20961  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-vs 21147  df-nmcv 21148  df-ims 21149  df-dip 21266  df-ssp 21290  df-ph 21383  df-cbn 21434  df-hnorm 21540  df-hba 21541  df-hvsub 21543  df-hlim 21544  df-hcau 21545  df-sh 21778  df-ch 21793  df-oc 21823  df-ch0 21824  df-shs 21879  df-pjh 21966  df-hodif 22304
  Copyright terms: Public domain W3C validator