MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjth Unicode version

Theorem pjth 19200
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector  A can be decomposed uniquely into a member  x of a closed subspace  H and a member  y of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjth.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjth.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjth.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
pjth.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
pjth.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
pjth  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  =  V )

Proof of Theorem pjth
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlphl 19179 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
213ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  W  e.  PreHil )
3 phllmod 16777 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  W  e.  LMod )
5 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  e.  L )
6 pjth.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 pjth.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
86, 7lssss 15933 . . . . . 6  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
983ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_  V )
10 pjth.o . . . . . 6  |-  O  =  ( ocv `  W
)
116, 10, 7ocvlss 16815 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  C_  V )  ->  ( O `  U )  e.  L )
122, 9, 11syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( O `  U )  e.  L )
13 pjth.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
147, 13lsmcl 16075 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L  /\  ( O `  U )  e.  L )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L )
154, 5, 12, 14syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L )
166, 7lssss 15933 . . 3  |-  ( ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L  ->  ( U  .(+) 
( O `  U
) )  C_  V
)
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  C_  V )
18 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
19 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
20 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
21 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
22 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  CHil )
23 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  U  e.  L )
24 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
25 pjth.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
26 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
276, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26pjthlem2 19199 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )
2827ex 424 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( U  .(+) 
( O `  U
) ) ) )
2928ssrdv 3290 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  V  C_  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) )
3017, 29eqssd 3301 1  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  =  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   .icip 13454   TopOpenctopn 13569   -gcsg 14608   LSSumclsm 15188   LModclmod 15870   LSubSpclss 15928   PreHilcphl 16771   ocvcocv 16803   Clsdccld 16996   normcnm 18488   CHilchl 19149
This theorem is referenced by:  pjth2  19201
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-mulg 14735  df-subg 14861  df-ghm 14924  df-cntz 15036  df-lsm 15190  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-cring 15584  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-dvr 15708  df-rnghom 15739  df-drng 15757  df-subrg 15786  df-staf 15853  df-srng 15854  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lmhm 16018  df-lvec 16095  df-sra 16164  df-rgmod 16165  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-phl 16773  df-ocv 16806  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-haus 17294  df-cmp 17365  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-flim 17885  df-fcls 17887  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-nm 18494  df-ngp 18495  df-nlm 18498  df-cncf 18772  df-clm 18952  df-cph 18995  df-cfil 19072  df-cmet 19074  df-cms 19150  df-bn 19151  df-hl 19152
  Copyright terms: Public domain W3C validator