MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjth Unicode version

Theorem pjth 18799
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector  A can be decomposed uniquely into a member  x of a closed subspace  H and a member  y of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjth.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjth.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjth.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
pjth.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
pjth.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
pjth  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  =  V )

Proof of Theorem pjth
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlphl 18778 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
213ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  W  e.  PreHil )
3 phllmod 16530 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  W  e.  LMod )
5 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  e.  L )
6 pjth.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 pjth.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
86, 7lssss 15690 . . . . . 6  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
983ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_  V )
10 pjth.o . . . . . 6  |-  O  =  ( ocv `  W
)
116, 10, 7ocvlss 16568 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  C_  V )  ->  ( O `  U )  e.  L )
122, 9, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( O `  U )  e.  L )
13 pjth.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
147, 13lsmcl 15832 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L  /\  ( O `  U )  e.  L )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L )
154, 5, 12, 14syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L )
166, 7lssss 15690 . . 3  |-  ( ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L  ->  ( U  .(+) 
( O `  U
) )  C_  V
)
1715, 16syl 15 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  C_  V )
18 eqid 2284 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
19 eqid 2284 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
20 eqid 2284 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
21 eqid 2284 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
22 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  CHil )
23 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  U  e.  L )
24 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
25 pjth.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
26 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
276, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26pjthlem2 18798 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )
2827ex 423 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( U  .(+) 
( O `  U
) ) ) )
2928ssrdv 3186 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  V  C_  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) )
3017, 29eqssd 3197 1  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  =  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685    C_ wss 3153   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Basecbs 13144   +g cplusg 13204   .icip 13209   TopOpenctopn 13322   -gcsg 14361   LSSumclsm 14941   LModclmod 15623   LSubSpclss 15685   PreHilcphl 16524   ocvcocv 16556   Clsdccld 16749   normcnm 18095   CHilchl 18752
This theorem is referenced by:  pjth2  18800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-mhm 14411  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-mulg 14488  df-subg 14614  df-ghm 14677  df-cntz 14789  df-lsm 14943  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-cring 15337  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-invr 15450  df-dvr 15461  df-rnghom 15492  df-drng 15510  df-subrg 15539  df-staf 15606  df-srng 15607  df-lmod 15625  df-lss 15686  df-lmhm 15775  df-lvec 15852  df-sra 15921  df-rgmod 15922  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-phl 16526  df-ocv 16559  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-cmp 17110  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-flim 17630  df-fcls 17632  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-nm 18101  df-ngp 18102  df-nlm 18105  df-cncf 18378  df-clm 18557  df-cph 18600  df-cfil 18677  df-cmet 18679  df-cms 18753  df-bn 18754  df-hl 18755
  Copyright terms: Public domain W3C validator