MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjth Unicode version

Theorem pjth 18805
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector  A can be decomposed uniquely into a member  x of a closed subspace  H and a member  y of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjth.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjth.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjth.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
pjth.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
pjth.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
pjth  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  =  V )

Proof of Theorem pjth
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlphl 18784 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
213ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  W  e.  PreHil )
3 phllmod 16536 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  W  e.  LMod )
5 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  e.  L )
6 pjth.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 pjth.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
86, 7lssss 15696 . . . . . 6  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
983ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_  V )
10 pjth.o . . . . . 6  |-  O  =  ( ocv `  W
)
116, 10, 7ocvlss 16574 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  C_  V )  ->  ( O `  U )  e.  L )
122, 9, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( O `  U )  e.  L )
13 pjth.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
147, 13lsmcl 15838 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L  /\  ( O `  U )  e.  L )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L )
154, 5, 12, 14syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L )
166, 7lssss 15696 . . 3  |-  ( ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L  ->  ( U  .(+) 
( O `  U
) )  C_  V
)
1715, 16syl 15 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  C_  V )
18 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
19 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
20 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
21 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
22 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  CHil )
23 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  U  e.  L )
24 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
25 pjth.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
26 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
276, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26pjthlem2 18804 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )
2827ex 423 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( U  .(+) 
( O `  U
) ) ) )
2928ssrdv 3187 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  V  C_  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) )
3017, 29eqssd 3198 1  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  =  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    C_ wss 3154   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   +g cplusg 13210   .icip 13215   TopOpenctopn 13328   -gcsg 14367   LSSumclsm 14947   LModclmod 15629   LSubSpclss 15691   PreHilcphl 16530   ocvcocv 16562   Clsdccld 16755   normcnm 18101   CHilchl 18758
This theorem is referenced by:  pjth2  18806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-mhm 14417  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-mulg 14494  df-subg 14620  df-ghm 14683  df-cntz 14795  df-lsm 14949  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-invr 15456  df-dvr 15467  df-rnghom 15498  df-drng 15516  df-subrg 15545  df-staf 15612  df-srng 15613  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lmhm 15781  df-lvec 15858  df-sra 15927  df-rgmod 15928  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-phl 16532  df-ocv 16565  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-cmp 17116  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-flim 17636  df-fcls 17638  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-nm 18107  df-ngp 18108  df-nlm 18111  df-cncf 18384  df-clm 18563  df-cph 18606  df-cfil 18683  df-cmet 18685  df-cms 18759  df-bn 18760  df-hl 18761
  Copyright terms: Public domain W3C validator