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Theorem pjthlem1 18801
Description: Lemma for pjth 18803. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjthlem.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
pjthlem.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
pjthlem.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
pjthlem.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
pjthlem.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjthlem.1  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
pjthlem.2  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pjthlem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pjthlem.5  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
pjthlem.7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
pjthlem.8  |-  T  =  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
pjthlem1  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x,  .-    x, A   
x, B    x, N    ph, x    x, U    x, V    x, T    x, W
Allowed substitution hints:    .+ ( x)    ., ( x)    L( x)

Proof of Theorem pjthlem1
StepHypRef Expression
1 pjthlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
2 hlcph 18781 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
4 pjthlem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 pjthlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
6 pjthlem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 pjthlem.l . . . . . 6  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
86, 7lssss 15694 . . . . 5  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
95, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
10 pjthlem.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
119, 10sseldd 3181 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
12 pjthlem.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
136, 12cphipcl 18627 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  CC )
143, 4, 11, 13syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  e.  CC )
1514abscld 11918 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  e.  RR )
1615recnd 8861 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  e.  CC )
1715resqcld 11271 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1817renegcld 9210 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  e.  RR )
196, 12reipcl 18633 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  B  e.  V )  ->  ( B  .,  B )  e.  RR )
203, 11, 19syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  e.  RR )
21 2re 9815 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
22 readdcl 8820 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )
24 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2524a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
26 peano2re 8985 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  .,  B )  e.  RR  ->  (
( B  .,  B
)  +  1 )  e.  RR )
2720, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR )
286, 12ipge0 18634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( B  .,  B
) )
293, 11, 28syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  .,  B ) )
3020ltp1d 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  <  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
3125, 20, 27, 29, 30lelttrd 8974 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
3227ltp1d 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  <  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  +  1 ) )
3320recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  e.  CC )
34 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
35 addass 8824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B 
.,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
3634, 34, 35mp3an23 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  .,  B )  e.  CC  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B 
.,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
3733, 36syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B  .,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
38 df-2 9804 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3938oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  .,  B )  +  2 )  =  ( ( B  .,  B )  +  ( 1  +  1 ) )
4037, 39syl6reqr 2334 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  =  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  +  1 ) )
4132, 40breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  <  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )
4225, 27, 23, 31, 41lttrd 8977 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )
43 cphlmod 18610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
443, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
45 pjthlem.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )
46 hlphl 18782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
471, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
48 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
49 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
5048, 12, 6, 49ipcl 16537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
5147, 4, 11, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5248, 49hlress 18785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  CHil  ->  RR  C_  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
531, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  RR  C_  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5453, 27sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5520, 29ge0p1rpd 10416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR+ )
5655rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  =/=  0 )
5748, 49cphdivcl 18618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( A  .,  B
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
( B  .,  B
)  +  1 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( A 
.,  B )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
583, 51, 54, 56, 57syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5945, 58syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
60 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
6148, 60, 49, 7lssvscl 15712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  B  e.  U )
)  ->  ( T
( .s `  W
) B )  e.  U )
6244, 5, 59, 10, 61syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  U )
63 pjthlem.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
64 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )
6564fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
6665breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  (
( N `  A
)  <_  ( N `  ( A  .-  x
) )  <->  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ) )
6766rspcv 2880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T ( .s `  W ) B )  e.  U  ->  ( A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) )  ->  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ) )
6862, 63, 67sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
69 cphngp 18609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
703, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
71 pjthlem.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( norm `  W
)
726, 71nmcl 18137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
7370, 4, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
746, 48, 60, 49lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  B  e.  V )  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  V )
7544, 59, 11, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  V )
76 pjthlem.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .-  =  ( -g `  W )
776, 76lmodvsubcl 15670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )
7844, 4, 75, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )
796, 71nmcl 18137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) )  e.  RR )
8070, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  e.  RR )
816, 71nmge0 18138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
8270, 4, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
836, 71nmge0 18138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
8470, 78, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
8573, 80, 82, 84le2sqd 11280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) )  <->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
8668, 85mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ^
2 ) )
8780resqcld 11271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
8873resqcld 11271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
8987, 88subge0d 9362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )  <->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9086, 89mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
91 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ZZ
92 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
9355, 91, 92sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
9417, 93rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
9594, 23remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  RR )
9695recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  CC )
9796negcld 9144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  CC )
986, 12cphipcl 18627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  A )  e.  CC )
993, 4, 4, 98syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  .,  A
)  e.  CC )
10097, 99pncand 9158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) )  +  ( A  .,  A
) )  -  ( A  .,  A ) )  =  -u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
1016, 12, 71nmsq 18630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  (
( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1023, 78, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) )
10312, 6, 76cphsubdir 18643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V ) )  -> 
( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
1043, 4, 75, 78, 103syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
10512, 6, 76cphsubdi 18644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V ) )  ->  ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1063, 4, 4, 75, 105syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) )
107106oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
1086, 12cphipcl 18627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
1093, 4, 75, 108syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
11012, 6, 76cphsubdi 18644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( T ( .s
`  W ) B )  e.  V  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V ) )  ->  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( ( T ( .s
`  W ) B )  .,  A )  -  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1113, 75, 4, 75, 110syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  A )  -  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1126, 12cphipcl 18627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  A )  e.  CC )
1133, 75, 4, 112syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  A
)  e.  CC )
1146, 12cphipcl 18627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
1153, 75, 75, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
116113, 115subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  e.  CC )
117111, 116eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  e.  CC )
11899, 109, 117subsub4d 9188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  (
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) ) )
11994recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
12027recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  CC )
12134a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
122119, 120, 121adddid 8859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) ) )
12340oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 ) ) )
12412, 6, 48, 49, 60cphassr 18647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) ) )
1253, 59, 4, 11, 124syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) ) )
12614, 120, 56divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  CC )
12745, 126syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
128127cjcld 11681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  T
)  e.  CC )
129128, 14mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) )  =  ( ( A 
.,  B )  x.  ( * `  T
) ) )
13014cjcld 11681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  B ) )  e.  CC )
13114, 130, 120, 56divassd 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.,  B )  x.  ( * `  ( A  .,  B ) ) )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( A 
.,  B )  x.  ( ( * `  ( A  .,  B ) )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
13214absvalsqd 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  ( A  .,  B ) ) ) )
133132oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( A  .,  B )  x.  ( * `  ( A  .,  B ) ) )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
13445fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( * `
 T )  =  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
13514, 120, 56cjdivd 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( * `  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
13627cjred 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  =  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
137136oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( A  .,  B ) )  /  ( * `
 ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `
 ( A  .,  B ) )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
138135, 137eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
139134, 138syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * `  T
)  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
140139oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( A  .,  B )  x.  ( ( * `
 ( A  .,  B ) )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
141131, 133, 1403eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
142125, 129, 1413eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
14317recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
144143, 120mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) )
145120sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
146144, 145oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
147143, 120, 120, 56, 56divcan5d 9562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
148146, 147eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14993rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
15093rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 )
151143, 120, 149, 150div23d 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
152142, 148, 1513eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
15394, 27remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  RR )
154152, 153eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  RR )
155154cjred 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )
15612, 6cphipcj 18635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A ) )
1573, 4, 75, 156syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A ) )
158155, 157, 1523eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  A
)  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
15912, 6, 48, 49, 60cph2ass 18648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )  /\  ( B  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) )  =  ( ( T  x.  ( * `  T ) )  x.  ( B  .,  B
) ) )
1603, 59, 59, 11, 11, 159syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( T  x.  ( * `
 T ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
16145fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( abs `  T )  =  ( abs `  ( ( A  .,  B )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
16214, 120, 56absdivd 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) ) )
16355rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
16427, 163absidd 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  =  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
165164oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) )  /  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  .,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
166162, 165eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
167161, 166syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
168167oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) ^
2 ) )
169127absvalsqd 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
) ^ 2 )  =  ( T  x.  ( * `  T
) ) )
17016, 120, 56sqdivd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
171168, 169, 1703eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( T  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
172171oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  ( * `  T
) )  x.  ( B  .,  B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
173160, 172eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
174158, 173oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
175 pncan2 9058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  -  ( B  .,  B ) )  =  1 )
17633, 34, 175sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  -  ( B  .,  B ) )  =  1 )
177176oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  -  ( B 
.,  B ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) )
178119, 120, 33subdid 9235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  -  ( B 
.,  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
179177, 178eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
180174, 111, 1793eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) )
181152, 180oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) ) )
182122, 123, 1813eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
183182oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  -  (
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
184107, 118, 1833eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) ) )
185102, 104, 1843eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
18699, 96negsubd 9163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  +  -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )  =  ( ( A  .,  A
)  -  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
18799, 97addcomd 9014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  +  -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )  =  (
-u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  +  ( A 
.,  A ) ) )
188185, 186, 1873eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) )  +  ( A  .,  A
) ) )
1896, 12, 71nmsq 18630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( N `  A
) ^ 2 )  =  ( A  .,  A ) )
1903, 4, 189syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  =  ( A 
.,  A ) )
191188, 190oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  +  ( A 
.,  A ) )  -  ( A  .,  A ) ) )
19223renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B 
.,  B )  +  2 )  e.  RR )
193192recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B 
.,  B )  +  2 )  e.  CC )
194143, 193, 149, 150div23d 9573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
19523recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  CC )
196119, 195mulneg2d 9233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  =  -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) )
197194, 196eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) )
198100, 191, 1973eqtr4rd 2326 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
19990, 198breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
20017, 192remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  RR )
201200, 93ge0divd 10424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  <->  0  <_  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
202199, 201mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
203 mulneg12 9218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  CC )  ->  ( -u ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
204143, 195, 203syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
205202, 204breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( -u (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
206 prodge02 9604 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )  /\  (
0  <  ( ( B  .,  B )  +  2 )  /\  0  <_  ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) ) )  ->  0  <_  -u (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) )
20718, 23, 42, 205, 206syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 ) )
20817le0neg1d 9344 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  <_  0  <->  0  <_  -u ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) )
209207, 208mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0 )
21015sqge0d 11272 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^
2 ) )
211 letri3 8907 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) ) )
21217, 24, 211sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) ) )
213209, 210, 212mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  0 )
21416, 213sqeq0d 11244 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  =  0 )
21514, 214abs00d 11928 1  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ^cexp 11104   *ccj 11581   abscabs 11719   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   .icip 13213   -gcsg 14365   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   PreHilcphl 16528   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100   CPreHilccph 18602   CHilchl 18756
This theorem is referenced by:  pjthlem2  18802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-phl 16530  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634  df-fcls 17636  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nlm 18109  df-cncf 18382  df-clm 18561  df-cph 18604  df-cfil 18681  df-cmet 18683  df-cms 18757  df-bn 18758  df-hl 18759
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