Theorem pjthlem1 9207

Description: Lemma for pjth 9221.

Hypotheses

Ref	Expression
pjthlem1.1	|- A e. H~
pjthlem1.2	|- B e. H~
pjthlem1.3	|- D e. H~
pjthlem1.4	|- S e. CC
pjthlem1.5	|- C = (A -h B)

Assertion

Ref	Expression
pjthlem1	|- ((normh` (B -h A)) <_ (normh` ((B +h (S .h D)) -h A)) <-> ((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (S .h D)))^2))

Proof of Theorem pjthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjthlem1.2	. . . . 5 |- B e. H~
2		pjthlem1.1	. . . . 5 |- A e. H~
3	1, 2	normsub 8992	. . . 4 |- (normh` (B -h A)) = (normh` (A -h B))
4		pjthlem1.5	. . . . 5 |- C = (A -h B)
5	4	fveq2i 3724	. . . 4 |- (normh` C) = (normh` (A -h B))
6	3, 5	eqtr4 1497	. . 3 |- (normh` (B -h A)) = (normh` C)
7		pjthlem1.4	. . . . . . 7 |- S e. CC
8		pjthlem1.3	. . . . . . 7 |- D e. H~
9	7, 8	hvmulcl 8868	. . . . . 6 |- (S .h D) e. H~
10	1, 9	hvaddcl 8872	. . . . 5 |- (B +h (S .h D)) e. H~
11	10, 2	normsub 8992	. . . 4 |- (normh` ((B +h (S .h D)) -h A)) = (normh` (A -h (B +h (S .h D))))
12	4	opreq1i 3968	. . . . . 6 |- (C -h (S .h D)) = ((A -h B) -h (S .h D))
13	2, 1, 9	hvsubass 8906	. . . . . 6 |- ((A -h B) -h (S .h D)) = (A -h (B +h (S .h D)))
14	12, 13	eqtr2 1495	. . . . 5 |- (A -h (B +h (S .h D))) = (C -h (S .h D))
15	14	fveq2i 3724	. . . 4 |- (normh` (A -h (B +h (S .h D)))) = (normh` (C -h (S .h D)))
16	11, 15	eqtr 1494	. . 3 |- (normh` ((B +h (S .h D)) -h A)) = (normh` (C -h (S .h D)))
17	6, 16	breq12i 2625	. 2 |- ((normh` (B -h A)) <_ (normh` ((B +h (S .h D)) -h A)) <-> (normh` C) <_ (normh` (C -h (S .h D))))
18	2, 1	hvsubcl 8875	. . . . 5 |- (A -h B) e. H~
19	4, 18	eqeltr 1543	. . . 4 |- C e. H~
20		normge0t 8976	. . . 4 |- (C e. H~ -> 0 <_ (normh` C))
21	19, 20	ax-mp 7	. . 3 |- 0 <_ (normh` C)
22	19, 9	hvsubcl 8875	. . . 4 |- (C -h (S .h D)) e. H~
23		normge0t 8976	. . . 4 |- ((C -h (S .h D)) e. H~ -> 0 <_ (normh` (C -h (S .h D))))
24	22, 23	ax-mp 7	. . 3 |- 0 <_ (normh` (C -h (S .h D)))
25	19	normcl 8982	. . . 4 |- (normh` C) e. RR
26	22	normcl 8982	. . . 4 |- (normh` (C -h (S .h D))) e. RR
27	25, 26	le2sq 6575	. . 3 |- ((0 <_ (normh` C) /\ 0 <_ (normh` (C -h (S .h D)))) -> ((normh` C) <_ (normh` (C -h (S .h D))) <-> ((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (S .h D)))^2)))
28	21, 24, 27	mp2an 696	. 2 |- ((normh` C) <_ (normh` (C -h (S .h D))) <-> ((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (S .h D)))^2))
29	17, 28	bitr 173	1 |- ((normh` (B -h A)) <_ (normh` ((B +h (S .h D)) -h A)) <-> ((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (S .h D)))^2))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2616  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  0cc0 5221   <_ cle 5282  2c2 5922  ^cexp 6518  H~chil 8772   +h cva 8773   .h csm 8774   -h cmv 8776  normhcno 8778

This theorem is referenced by:  pjthlem9 9215

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hv0cl 8857  ax-hfvmul 8859  ax-hvmulid 8860  ax-hvmulass 8861  ax-hvdistr1 8862  ax-hvmul0 8864  ax-hfi 8930  ax-his1 8933  ax-his3 8935  ax-his4 8936

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-n0 6061  df-z 6097  df-seq1 6263  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-hnorm 8821  df-hvsub 8824

Copyright terms: Public domain