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Theorem pjthlem1 19206
Description: Lemma for pjth 19208. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjthlem.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
pjthlem.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
pjthlem.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
pjthlem.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
pjthlem.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjthlem.1  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
pjthlem.2  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pjthlem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pjthlem.5  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
pjthlem.7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
pjthlem.8  |-  T  =  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
pjthlem1  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x,  .-    x, A   
x, B    x, N    ph, x    x, U    x, V    x, T    x, W
Allowed substitution hints:    .+ ( x)    ., ( x)    L( x)

Proof of Theorem pjthlem1
StepHypRef Expression
1 pjthlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
2 hlcph 19186 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
4 pjthlem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 pjthlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
6 pjthlem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 pjthlem.l . . . . . 6  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
86, 7lssss 15941 . . . . 5  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
95, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
10 pjthlem.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
119, 10sseldd 3293 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
12 pjthlem.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
136, 12cphipcl 19026 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  CC )
143, 4, 11, 13syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  e.  CC )
1514abscld 12166 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  e.  RR )
1615recnd 9048 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  e.  CC )
1715resqcld 11477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1817renegcld 9397 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  e.  RR )
196, 12reipcl 19032 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  B  e.  V )  ->  ( B  .,  B )  e.  RR )
203, 11, 19syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  e.  RR )
21 2re 10002 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
22 readdcl 9007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )
24 0re 9025 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
26 peano2re 9172 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  .,  B )  e.  RR  ->  (
( B  .,  B
)  +  1 )  e.  RR )
2720, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR )
286, 12ipge0 19033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( B  .,  B
) )
293, 11, 28syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  .,  B ) )
3020ltp1d 9874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  <  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
3125, 20, 27, 29, 30lelttrd 9161 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
3227ltp1d 9874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  <  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  +  1 ) )
3320recnd 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  e.  CC )
34 ax-1cn 8982 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
35 addass 9011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B 
.,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
3634, 34, 35mp3an23 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  .,  B )  e.  CC  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B 
.,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
3733, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B  .,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
38 df-2 9991 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3938oveq2i 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  .,  B )  +  2 )  =  ( ( B  .,  B )  +  ( 1  +  1 ) )
4037, 39syl6reqr 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  =  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  +  1 ) )
4132, 40breqtrrd 4180 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  <  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )
4225, 27, 23, 31, 41lttrd 9164 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )
43 cphlmod 19009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
443, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
45 pjthlem.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )
46 hlphl 19187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
471, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
48 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
49 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
5048, 12, 6, 49ipcl 16788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
5147, 4, 11, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5248, 49hlress 19190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  CHil  ->  RR  C_  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
531, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  RR  C_  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5453, 27sseldd 3293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5520, 29ge0p1rpd 10607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR+ )
5655rpne0d 10586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  =/=  0 )
5748, 49cphdivcl 19017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( A  .,  B
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
( B  .,  B
)  +  1 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( A 
.,  B )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
583, 51, 54, 56, 57syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5945, 58syl5eqel 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
60 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
6148, 60, 49, 7lssvscl 15959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  B  e.  U )
)  ->  ( T
( .s `  W
) B )  e.  U )
6244, 5, 59, 10, 61syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  U )
63 pjthlem.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
64 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )
6564fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
6665breq2d 4166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  (
( N `  A
)  <_  ( N `  ( A  .-  x
) )  <->  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ) )
6766rspcv 2992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T ( .s `  W ) B )  e.  U  ->  ( A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) )  ->  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ) )
6862, 63, 67sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
69 cphngp 19008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
703, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
71 pjthlem.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( norm `  W
)
726, 71nmcl 18534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
7370, 4, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
746, 48, 60, 49lmodvscl 15895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  B  e.  V )  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  V )
7544, 59, 11, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  V )
76 pjthlem.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .-  =  ( -g `  W )
776, 76lmodvsubcl 15917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )
7844, 4, 75, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )
796, 71nmcl 18534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) )  e.  RR )
8070, 78, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  e.  RR )
816, 71nmge0 18535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
8270, 4, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
836, 71nmge0 18535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
8470, 78, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
8573, 80, 82, 84le2sqd 11486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) )  <->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
8668, 85mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ^
2 ) )
8780resqcld 11477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
8873resqcld 11477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
8987, 88subge0d 9549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )  <->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9086, 89mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
91 2z 10245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ZZ
92 rpexpcl 11328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
9355, 91, 92sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
9417, 93rerpdivcld 10608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
9594, 23remulcld 9050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  RR )
9695recnd 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  CC )
9796negcld 9331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  CC )
986, 12cphipcl 19026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  A )  e.  CC )
993, 4, 4, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  .,  A
)  e.  CC )
10097, 99pncand 9345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) )  +  ( A  .,  A
) )  -  ( A  .,  A ) )  =  -u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
1016, 12, 71nmsq 19029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  (
( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1023, 78, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) )
10312, 6, 76cphsubdir 19042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V ) )  -> 
( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
1043, 4, 75, 78, 103syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
10512, 6, 76cphsubdi 19043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V ) )  ->  ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1063, 4, 4, 75, 105syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) )
107106oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
1086, 12cphipcl 19026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
1093, 4, 75, 108syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
11012, 6, 76cphsubdi 19043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( T ( .s
`  W ) B )  e.  V  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V ) )  ->  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( ( T ( .s
`  W ) B )  .,  A )  -  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1113, 75, 4, 75, 110syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  A )  -  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1126, 12cphipcl 19026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  A )  e.  CC )
1133, 75, 4, 112syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  A
)  e.  CC )
1146, 12cphipcl 19026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
1153, 75, 75, 114syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
116113, 115subcld 9344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  e.  CC )
117111, 116eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  e.  CC )
11899, 109, 117subsub4d 9375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  (
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) ) )
11994recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
12027recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  CC )
12134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
122119, 120, 121adddid 9046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) ) )
12340oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 ) ) )
12412, 6, 48, 49, 60cphassr 19046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) ) )
1253, 59, 4, 11, 124syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) ) )
12614, 120, 56divcld 9723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  CC )
12745, 126syl5eqel 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
128127cjcld 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  T
)  e.  CC )
129128, 14mulcomd 9043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) )  =  ( ( A 
.,  B )  x.  ( * `  T
) ) )
13014cjcld 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  B ) )  e.  CC )
13114, 130, 120, 56divassd 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.,  B )  x.  ( * `  ( A  .,  B ) ) )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( A 
.,  B )  x.  ( ( * `  ( A  .,  B ) )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
13214absvalsqd 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  ( A  .,  B ) ) ) )
133132oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( A  .,  B )  x.  ( * `  ( A  .,  B ) ) )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
13445fveq2i 5672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( * `
 T )  =  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
13514, 120, 56cjdivd 11956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( * `  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
13627cjred 11959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  =  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
137136oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( A  .,  B ) )  /  ( * `
 ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `
 ( A  .,  B ) )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
138135, 137eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
139134, 138syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * `  T
)  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
140139oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( A  .,  B )  x.  ( ( * `
 ( A  .,  B ) )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
141131, 133, 1403eqtr4rd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
142125, 129, 1413eqtrd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
14317recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
144143, 120mulcomd 9043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) )
145120sqvald 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
146144, 145oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
147143, 120, 120, 56, 56divcan5d 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
148146, 147eqtr2d 2421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14993rpcnd 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
15093rpne0d 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 )
151143, 120, 149, 150div23d 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
152142, 148, 1513eqtrd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
15394, 27remulcld 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  RR )
154152, 153eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  RR )
155154cjred 11959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )
15612, 6cphipcj 19034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A ) )
1573, 4, 75, 156syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A ) )
158155, 157, 1523eqtr3d 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  A
)  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
15912, 6, 48, 49, 60cph2ass 19047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )  /\  ( B  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) )  =  ( ( T  x.  ( * `  T ) )  x.  ( B  .,  B
) ) )
1603, 59, 59, 11, 11, 159syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( T  x.  ( * `
 T ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
16145fveq2i 5672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( abs `  T )  =  ( abs `  ( ( A  .,  B )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
16214, 120, 56absdivd 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) ) )
16355rpge0d 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
16427, 163absidd 12153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  =  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
165164oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) )  /  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  .,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
166162, 165eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
167161, 166syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
168167oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) ^
2 ) )
169127absvalsqd 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
) ^ 2 )  =  ( T  x.  ( * `  T
) ) )
17016, 120, 56sqdivd 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
171168, 169, 1703eqtr3d 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( T  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
172171oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  ( * `  T
) )  x.  ( B  .,  B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
173160, 172eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
174158, 173oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
175 pncan2 9245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  -  ( B  .,  B ) )  =  1 )
17633, 34, 175sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  -  ( B  .,  B ) )  =  1 )
177176oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  -  ( B 
.,  B ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) )
178119, 120, 33subdid 9422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  -  ( B 
.,  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
179177, 178eqtr3d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
180174, 111, 1793eqtr4d 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) )
181152, 180oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) ) )
182122, 123, 1813eqtr4rd 2431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
183182oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  -  (
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
184107, 118, 1833eqtrd 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) ) )
185102, 104, 1843eqtrd 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
18699, 96negsubd 9350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  +  -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )  =  ( ( A  .,  A
)  -  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
18799, 97addcomd 9201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  +  -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )  =  (
-u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  +  ( A 
.,  A ) ) )
188185, 186, 1873eqtr2d 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) )  +  ( A  .,  A
) ) )
1896, 12, 71nmsq 19029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( N `  A
) ^ 2 )  =  ( A  .,  A ) )
1903, 4, 189syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  =  ( A 
.,  A ) )
191188, 190oveq12d 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  +  ( A 
.,  A ) )  -  ( A  .,  A ) ) )
19223renegcld 9397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B 
.,  B )  +  2 )  e.  RR )
193192recnd 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B 
.,  B )  +  2 )  e.  CC )
194143, 193, 149, 150div23d 9760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
19523recnd 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  CC )
196119, 195mulneg2d 9420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  =  -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) )
197194, 196eqtrd 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) )
198100, 191, 1973eqtr4rd 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
19990, 198breqtrrd 4180 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
20017, 192remulcld 9050 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  RR )
201200, 93ge0divd 10615 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  <->  0  <_  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
202199, 201mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
203 mulneg12 9405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  CC )  ->  ( -u ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
204143, 195, 203syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
205202, 204breqtrrd 4180 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( -u (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
206 prodge02 9791 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )  /\  (
0  <  ( ( B  .,  B )  +  2 )  /\  0  <_  ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) ) )  ->  0  <_  -u (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) )
20718, 23, 42, 205, 206syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 ) )
20817le0neg1d 9531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  <_  0  <->  0  <_  -u ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) )
209207, 208mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0 )
21015sqge0d 11478 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^
2 ) )
211 letri3 9094 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) ) )
21217, 24, 211sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) ) )
213209, 210, 212mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  0 )
21416, 213sqeq0d 11450 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  =  0 )
21514, 214abs00d 12176 1  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224   -ucneg 9225    / cdiv 9610   2c2 9982   ZZcz 10215   RR+crp 10545   ^cexp 11310   *ccj 11829   abscabs 11967   Basecbs 13397   +g cplusg 13457  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   .icip 13462   -gcsg 14616   LModclmod 15878   LSubSpclss 15936   PreHilcphl 16779   normcnm 18496  NrmGrpcngp 18497   CPreHilccph 19001   CHilchl 19157
This theorem is referenced by:  pjthlem2  19207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-ghm 14932  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-dvr 15716  df-rnghom 15747  df-drng 15765  df-subrg 15794  df-staf 15861  df-srng 15862  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lmhm 16026  df-lvec 16103  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-phl 16781  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-flim 17893  df-fcls 17895  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-nm 18502  df-ngp 18503  df-nlm 18506  df-cncf 18780  df-clm 18960  df-cph 19003  df-cfil 19080  df-cmet 19082  df-cms 19158  df-bn 19159  df-hl 19160
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