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Theorem pjthlem1 19343
Description: Lemma for pjth 19345. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjthlem.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
pjthlem.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
pjthlem.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
pjthlem.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
pjthlem.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjthlem.1  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
pjthlem.2  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pjthlem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pjthlem.5  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
pjthlem.7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
pjthlem.8  |-  T  =  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
pjthlem1  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x,  .-    x, A   
x, B    x, N    ph, x    x, U    x, V    x, T    x, W
Allowed substitution hints:    .+ ( x)    ., ( x)    L( x)

Proof of Theorem pjthlem1
StepHypRef Expression
1 pjthlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
2 hlcph 19323 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
4 pjthlem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 pjthlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
6 pjthlem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 pjthlem.l . . . . . 6  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
86, 7lssss 16018 . . . . 5  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
95, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
10 pjthlem.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
119, 10sseldd 3351 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
12 pjthlem.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
136, 12cphipcl 19159 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  CC )
143, 4, 11, 13syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  e.  CC )
1514abscld 12243 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  e.  RR )
1615recnd 9119 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  e.  CC )
1715resqcld 11554 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1817renegcld 9469 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  e.  RR )
196, 12reipcl 19165 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  B  e.  V )  ->  ( B  .,  B )  e.  RR )
203, 11, 19syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  e.  RR )
21 2re 10074 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
22 readdcl 9078 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )
24 0re 9096 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
26 peano2re 9244 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  .,  B )  e.  RR  ->  (
( B  .,  B
)  +  1 )  e.  RR )
2720, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR )
286, 12ipge0 19166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( B  .,  B
) )
293, 11, 28syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  .,  B ) )
3020ltp1d 9946 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  <  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
3125, 20, 27, 29, 30lelttrd 9233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
3227ltp1d 9946 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  <  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  +  1 ) )
3320recnd 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  e.  CC )
34 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
35 addass 9082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B 
.,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
3634, 34, 35mp3an23 1272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  .,  B )  e.  CC  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B 
.,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
3733, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B  .,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
38 df-2 10063 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3938oveq2i 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  .,  B )  +  2 )  =  ( ( B  .,  B )  +  ( 1  +  1 ) )
4037, 39syl6reqr 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  =  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  +  1 ) )
4132, 40breqtrrd 4241 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  <  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )
4225, 27, 23, 31, 41lttrd 9236 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )
43 cphlmod 19142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
443, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
45 pjthlem.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )
46 hlphl 19324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
471, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
48 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
49 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
5048, 12, 6, 49ipcl 16869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
5147, 4, 11, 50syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5248, 49hlress 19327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  CHil  ->  RR  C_  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
531, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  RR  C_  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5453, 27sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5520, 29ge0p1rpd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR+ )
5655rpne0d 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  =/=  0 )
5748, 49cphdivcl 19150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( A  .,  B
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
( B  .,  B
)  +  1 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( A 
.,  B )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
583, 51, 54, 56, 57syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5945, 58syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
60 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
6148, 60, 49, 7lssvscl 16036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  B  e.  U )
)  ->  ( T
( .s `  W
) B )  e.  U )
6244, 5, 59, 10, 61syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  U )
63 pjthlem.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
64 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )
6564fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
6665breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  (
( N `  A
)  <_  ( N `  ( A  .-  x
) )  <->  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ) )
6766rspcv 3050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T ( .s `  W ) B )  e.  U  ->  ( A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) )  ->  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ) )
6862, 63, 67sylc 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
69 cphngp 19141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
703, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
71 pjthlem.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( norm `  W
)
726, 71nmcl 18667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
7370, 4, 72syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
746, 48, 60, 49lmodvscl 15972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  B  e.  V )  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  V )
7544, 59, 11, 74syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  V )
76 pjthlem.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .-  =  ( -g `  W )
776, 76lmodvsubcl 15994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )
7844, 4, 75, 77syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )
796, 71nmcl 18667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) )  e.  RR )
8070, 78, 79syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  e.  RR )
816, 71nmge0 18668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
8270, 4, 81syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
836, 71nmge0 18668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
8470, 78, 83syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
8573, 80, 82, 84le2sqd 11563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) )  <->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
8668, 85mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ^
2 ) )
8780resqcld 11554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
8873resqcld 11554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
8987, 88subge0d 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )  <->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9086, 89mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
91 2z 10317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ZZ
92 rpexpcl 11405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
9355, 91, 92sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
9417, 93rerpdivcld 10680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
9594, 23remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  RR )
9695recnd 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  CC )
9796negcld 9403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  CC )
986, 12cphipcl 19159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  A )  e.  CC )
993, 4, 4, 98syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  .,  A
)  e.  CC )
10097, 99pncand 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) )  +  ( A  .,  A
) )  -  ( A  .,  A ) )  =  -u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
1016, 12, 71nmsq 19162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  (
( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1023, 78, 101syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) )
10312, 6, 76cphsubdir 19175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V ) )  -> 
( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
1043, 4, 75, 78, 103syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
10512, 6, 76cphsubdi 19176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V ) )  ->  ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1063, 4, 4, 75, 105syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) )
107106oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
1086, 12cphipcl 19159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
1093, 4, 75, 108syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
11012, 6, 76cphsubdi 19176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( T ( .s
`  W ) B )  e.  V  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V ) )  ->  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( ( T ( .s
`  W ) B )  .,  A )  -  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1113, 75, 4, 75, 110syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  A )  -  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1126, 12cphipcl 19159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  A )  e.  CC )
1133, 75, 4, 112syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  A
)  e.  CC )
1146, 12cphipcl 19159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
1153, 75, 75, 114syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
116113, 115subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  e.  CC )
117111, 116eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  e.  CC )
11899, 109, 117subsub4d 9447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  (
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) ) )
11994recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
12027recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  CC )
12134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
122119, 120, 121adddid 9117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) ) )
12340oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 ) ) )
12412, 6, 48, 49, 60cphassr 19179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) ) )
1253, 59, 4, 11, 124syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) ) )
12614, 120, 56divcld 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  CC )
12745, 126syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
128127cjcld 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  T
)  e.  CC )
129128, 14mulcomd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) )  =  ( ( A 
.,  B )  x.  ( * `  T
) ) )
13014cjcld 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  B ) )  e.  CC )
13114, 130, 120, 56divassd 9830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.,  B )  x.  ( * `  ( A  .,  B ) ) )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( A 
.,  B )  x.  ( ( * `  ( A  .,  B ) )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
13214absvalsqd 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  ( A  .,  B ) ) ) )
133132oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( A  .,  B )  x.  ( * `  ( A  .,  B ) ) )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
13445fveq2i 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( * `
 T )  =  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
13514, 120, 56cjdivd 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( * `  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
13627cjred 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  =  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
137136oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( A  .,  B ) )  /  ( * `
 ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `
 ( A  .,  B ) )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
138135, 137eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
139134, 138syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * `  T
)  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
140139oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( A  .,  B )  x.  ( ( * `
 ( A  .,  B ) )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
141131, 133, 1403eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
142125, 129, 1413eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
14317recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
144143, 120mulcomd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) )
145120sqvald 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
146144, 145oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
147143, 120, 120, 56, 56divcan5d 9821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
148146, 147eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14993rpcnd 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
15093rpne0d 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 )
151143, 120, 149, 150div23d 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
152142, 148, 1513eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
15394, 27remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  RR )
154152, 153eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  RR )
155154cjred 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )
15612, 6cphipcj 19167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A ) )
1573, 4, 75, 156syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A ) )
158155, 157, 1523eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  A
)  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
15912, 6, 48, 49, 60cph2ass 19180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )  /\  ( B  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) )  =  ( ( T  x.  ( * `  T ) )  x.  ( B  .,  B
) ) )
1603, 59, 59, 11, 11, 159syl122anc 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( T  x.  ( * `
 T ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
16145fveq2i 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( abs `  T )  =  ( abs `  ( ( A  .,  B )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
16214, 120, 56absdivd 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) ) )
16355rpge0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
16427, 163absidd 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  =  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
165164oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) )  /  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  .,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
166162, 165eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
167161, 166syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
168167oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) ^
2 ) )
169127absvalsqd 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
) ^ 2 )  =  ( T  x.  ( * `  T
) ) )
17016, 120, 56sqdivd 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
171168, 169, 1703eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( T  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
172171oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  ( * `  T
) )  x.  ( B  .,  B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
173160, 172eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
174158, 173oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
175 pncan2 9317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  -  ( B  .,  B ) )  =  1 )
17633, 34, 175sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  -  ( B  .,  B ) )  =  1 )
177176oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  -  ( B 
.,  B ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) )
178119, 120, 33subdid 9494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  -  ( B 
.,  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
179177, 178eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
180174, 111, 1793eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) )
181152, 180oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) ) )
182122, 123, 1813eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
183182oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  -  (
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
184107, 118, 1833eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) ) )
185102, 104, 1843eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
18699, 96negsubd 9422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  +  -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )  =  ( ( A  .,  A
)  -  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
18799, 97addcomd 9273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  +  -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )  =  (
-u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  +  ( A 
.,  A ) ) )
188185, 186, 1873eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) )  +  ( A  .,  A
) ) )
1896, 12, 71nmsq 19162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( N `  A
) ^ 2 )  =  ( A  .,  A ) )
1903, 4, 189syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  =  ( A 
.,  A ) )
191188, 190oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  +  ( A 
.,  A ) )  -  ( A  .,  A ) ) )
19223renegcld 9469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B 
.,  B )  +  2 )  e.  RR )
193192recnd 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B 
.,  B )  +  2 )  e.  CC )
194143, 193, 149, 150div23d 9832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
19523recnd 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  CC )
196119, 195mulneg2d 9492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  =  -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) )
197194, 196eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) )
198100, 191, 1973eqtr4rd 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
19990, 198breqtrrd 4241 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
20017, 192remulcld 9121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  RR )
201200, 93ge0divd 10687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  <->  0  <_  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
202199, 201mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
203 mulneg12 9477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  CC )  ->  ( -u ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
204143, 195, 203syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
205202, 204breqtrrd 4241 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( -u (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
206 prodge02 9863 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )  /\  (
0  <  ( ( B  .,  B )  +  2 )  /\  0  <_  ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) ) )  ->  0  <_  -u (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) )
20718, 23, 42, 205, 206syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 ) )
20817le0neg1d 9603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  <_  0  <->  0  <_  -u ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) )
209207, 208mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0 )
21015sqge0d 11555 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^
2 ) )
211 letri3 9165 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) ) )
21217, 24, 211sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) ) )
213209, 210, 212mpbir2and 890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  0 )
21416, 213sqeq0d 11527 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  =  0 )
21514, 214abs00d 12253 1  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   2c2 10054   ZZcz 10287   RR+crp 10617   ^cexp 11387   *ccj 11906   abscabs 12044   Basecbs 13474   +g cplusg 13534  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   .icip 13539   -gcsg 14693   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   PreHilcphl 16860   normcnm 18629  NrmGrpcngp 18630   CPreHilccph 19134   CHilchl 19292
This theorem is referenced by:  pjthlem2  19344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-rnghom 15824  df-drng 15842  df-subrg 15871  df-staf 15938  df-srng 15939  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lmhm 16103  df-lvec 16180  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-phl 16862  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-flim 17976  df-fcls 17978  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-nm 18635  df-ngp 18636  df-nlm 18639  df-cncf 18913  df-clm 19093  df-cph 19136  df-cfil 19213  df-cmet 19215  df-cms 19293  df-bn 19294  df-hl 19295
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