Theorem pjthlem14 9147

Description: Lemma for pjth 9148.

Hypotheses

Ref	Expression
pjthlem14.1	|- A e. H~
pjthlem14.2	|- H e. CH
pjthlem14.3	|- B e. H
pjthlem14.4	|- C = (A -h B)

Assertion

Ref	Expression
pjthlem14	|- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))

Distinct variable groups:   x,z,y,A   z,B,x,y   z,C,x,y   z,H,x,y

Proof of Theorem pjthlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3954	. . . . . . . 8 |- (x = if(x e. H, x, 0h) -> (C .ih x) = (C .ih if(x e. H, x, 0h)))
2	1	eqeq1d 1475	. . . . . . 7 |- (x = if(x e. H, x, 0h) -> ((C .ih x) = 0 <-> (C .ih if(x e. H, x, 0h)) = 0))
3	2	imbi2d 610	. . . . . 6 |- (x = if(x e. H, x, 0h) -> ((A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih x) = 0) <-> (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih if(x e. H, x, 0h)) = 0)))
4		pjthlem14.1	. . . . . . 7 |- A e. H~
5		pjthlem14.2	. . . . . . 7 |- H e. CH
6		pjthlem14.3	. . . . . . 7 |- B e. H
7		ch0 9019	. . . . . . . . 9 |- (H e. CH -> 0h e. H)
8	5, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- 0h e. H
9	8	elimel 2384	. . . . . . 7 |- if(x e. H, x, 0h) e. H
10		pjthlem14.4	. . . . . . 7 |- C = (A -h B)
11	4, 5, 6, 9, 10	pjthlem13 9146	. . . . . 6 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih if(x e. H, x, 0h)) = 0)
12	3, 11	dedth 2373	. . . . 5 |- (x e. H -> (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih x) = 0))
13	12	com12 11	. . . 4 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (x e. H -> (C .ih x) = 0))
14	13	r19.21aiv 1705	. . 3 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> A.x e. H (C .ih x) = 0)
15	5	chshi 9018	. . . . 5 |- H e. SH
16		shocelt 9071	. . . . 5 |- (H e. SH -> (C e. (_|_` H) <-> (C e. H~ /\ A.x e. H (C .ih x) = 0)))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- (C e. (_|_` H) <-> (C e. H~ /\ A.x e. H (C .ih x) = 0))
18	5, 6	cheli 9024	. . . . . 6 |- B e. H~
19	4, 18	hvsubcl 8812	. . . . 5 |- (A -h B) e. H~
20	10, 19	eqeltr 1536	. . . 4 |- C e. H~
21	17, 20	mpbiran 726	. . 3 |- (C e. (_|_` H) <-> A.x e. H (C .ih x) = 0)
22	14, 21	sylibr 200	. 2 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> C e. (_|_` H))
23	4, 18	hvsubval 8811	. . . . 5 |- (A -h B) = (A +h (-u1 .h B))
24	23	opreq2i 3957	. . . 4 |- (B +h (A -h B)) = (B +h (A +h (-u1 .h B)))
25	10	opreq2i 3957	. . . 4 |- (B +h C) = (B +h (A -h B))
26	18	hvnegid 8820	. . . . . 6 |- (B +h (-u1 .h B)) = 0h
27	26	opreq2i 3957	. . . . 5 |- (A +h (B +h (-u1 .h B))) = (A +h 0h)
28		ax1cn 5241	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
29	28	negcl 5341	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
30	29, 18	hvmulcl 8805	. . . . . 6 |- (-u1 .h B) e. H~
31	4, 18, 30	hvadd12 8845	. . . . 5 |- (A +h (B +h (-u1 .h B))) = (B +h (A +h (-u1 .h B)))
32		ax-hvaddid 8795	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> (A +h 0h) = A)
33	4, 32	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A +h 0h) = A
34	27, 31, 33	3eqtr3r 1496	. . . 4 |- A = (B +h (A +h (-u1 .h B)))
35	24, 25, 34	3eqtr4r 1498	. . 3 |- A = (B +h C)
36		rcla4eopr 3975	. . 3 |- ((B e. H /\ C e. (_|_` H) /\ A = (B +h C)) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))
37	6, 35, 36	mp3an13 904	. 2 |- (C e. (_|_` H) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))
38	22, 37	syl 10	1 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  ifcif 2351   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  0cc0 5206  1c1 5207  -ucneg 5265   <_ cle 5267  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  0hc0v 8730   -h cmv 8731   .ih csp 8732  normhcno 8733  SHcsh 8736  CHcch 8737  _|_cort 8738

This theorem is referenced by:  pjth 9148

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-sh 8997  df-ch 9013  df-oc 9045

Copyright terms: Public domain