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Theorem pjthlem2 18804
Description: Lemma for pjth 18805. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjthlem.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
pjthlem.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
pjthlem.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
pjthlem.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
pjthlem.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjthlem.1  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
pjthlem.2  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pjthlem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pjthlem.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
pjthlem.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjthlem.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
pjthlem.3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
pjthlem2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )

Proof of Theorem pjthlem2
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjthlem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 pjthlem.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
3 pjthlem.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  W
)
4 pjthlem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
5 hlcph 18783 . . . . 5  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
7 pjthlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
8 pjthlem.l . . . . 5  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
97, 8syl6eleq 2375 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
10 pjthlem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
11 hlcms 18785 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. CMetSp
)
124, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. CMetSp )
131, 8lssss 15696 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
147, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
15 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( Ws  U )  =  ( Ws  U )
16 pjthlem.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
1715, 1, 16cmsss 18774 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  U  C_  V )  ->  (
( Ws  U )  e. CMetSp  <->  U  e.  ( Clsd `  J )
) )
1812, 14, 17syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ws  U )  e. CMetSp 
<->  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1910, 18mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Ws  U )  e. CMetSp )
20 pjthlem.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
211, 2, 3, 6, 9, 19, 20minvec 18802 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
22 reurex 2756 . . 3  |-  ( E! x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) )  ->  E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2321, 22syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
246adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  CPreHil )
25 cphlmod 18612 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
2624, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
27 lmodabl 15674 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2826, 27syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  Abel )
297adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  e.  L )
3029, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  C_  V
)
31 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  x  e.  U )
3230, 31sseldd 3183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  x  e.  V )
3320adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A  e.  V )
34 pjthlem.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
351, 34, 2ablpncan3 15120 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  (
x  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  =  A )
3628, 32, 33, 35syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  =  A )
378lsssssubg 15717 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
3826, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
3938, 29sseldd 3183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
40 cphphl 18609 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
4124, 40syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  PreHil )
42 pjthlem.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( ocv `  W
)
431, 42, 8ocvlss 16574 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  C_  V )  ->  ( O `  U )  e.  L )
4441, 30, 43syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( O `  U )  e.  L
)
4538, 44sseldd 3183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( O `  U )  e.  (SubGrp `  W ) )
461, 2lmodvsubcl 15672 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( A  .-  x )  e.  V )
4726, 33, 32, 46syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( A  .-  x )  e.  V
)
48 pjthlem.h . . . . . . . . . 10  |-  .,  =  ( .i `  W )
494ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  CHil )
5029adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  U  e.  L )
5147adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( A  .-  x
)  e.  V )
52 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
5326adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
5429adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  U  e.  L )
55 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  U )
5631adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  U )
5734, 8lssvacl 15713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  /\  ( w  e.  U  /\  x  e.  U ) )  -> 
( w  .+  x
)  e.  U )
5853, 54, 55, 56, 57syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( w  .+  x
)  e.  U )
59 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
60 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  ( A  .-  y )  =  ( A  .-  (
w  .+  x )
) )
6160fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( w  .+  x ) ) ) )
6261breq2d 4037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  (
w  .+  x )
) ) ) )
6362rspcv 2882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  .+  x )  e.  U  ->  ( A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  ( w  .+  x
) ) ) ) )
6458, 59, 63sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  ( w 
.+  x ) ) ) )
65 lmodgrp 15636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
6626, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  W  e.  Grp )
6833adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  A  e.  V )
6932adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  V )
7030sselda 3182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  V )
711, 34, 2grpsubsub4 14560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( A  e.  V  /\  x  e.  V  /\  w  e.  V
) )  ->  (
( A  .-  x
)  .-  w )  =  ( A  .-  ( w  .+  x ) ) )
7267, 68, 69, 70, 71syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .-  w
)  =  ( A 
.-  ( w  .+  x ) ) )
7372fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  (
( A  .-  x
)  .-  w )
)  =  ( N `
 ( A  .-  ( w  .+  x ) ) ) )
7464, 73breqtrrd 4051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w
) ) )
7574ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A. w  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w ) ) )
7675adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  A. w  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w
) ) )
77 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  .-  x
)  .,  z )  /  ( ( z 
.,  z )  +  1 ) )  =  ( ( ( A 
.-  x )  .,  z )  /  (
( z  .,  z
)  +  1 ) )
781, 3, 34, 2, 48, 8, 49, 50, 51, 52, 76, 77pjthlem1 18803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .,  z
)  =  0 )
7924adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  CPreHil )
80 cphclm 18627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e. CMod )
82 eqid 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
8382clm0 18572 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
8481, 83syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  0  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8578, 84eqtrd 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .,  z
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8685ralrimiva 2628 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A. z  e.  U  ( ( A  .-  x )  .,  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
87 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
881, 48, 82, 87, 42elocv 16570 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .-  x )  e.  ( O `  U )  <->  ( U  C_  V  /\  ( A 
.-  x )  e.  V  /\  A. z  e.  U  ( ( A  .-  x )  .,  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
8930, 47, 86, 88syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( A  .-  x )  e.  ( O `  U ) )
90 pjthlem.s . . . . . . 7  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9134, 90lsmelvali 14963 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( O `  U )  e.  (SubGrp `  W )
)  /\  ( x  e.  U  /\  ( A  .-  x )  e.  ( O `  U
) ) )  -> 
( x  .+  ( A  .-  x ) )  e.  ( U  .(+)  ( O `  U ) ) )
9239, 45, 31, 89, 91syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  e.  ( U  .(+)  ( O `  U ) ) )
9336, 92eqeltrrd 2360 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A  e.  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) )
9493expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  ( A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  A  e.  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) ) )
9594rexlimdva 2669 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) )  ->  A  e.  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) ) )
9623, 95mpd 14 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   E!wreu 2547    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    <_ cle 8870    / cdiv 9425   Basecbs 13150   ↾s cress 13151   +g cplusg 13210  Scalarcsca 13213   .icip 13215   TopOpenctopn 13328   0gc0g 13402   Grpcgrp 14364   -gcsg 14367  SubGrpcsubg 14617   LSSumclsm 14947   Abelcabel 15092   LModclmod 15629   LSubSpclss 15691   PreHilcphl 16530   ocvcocv 16562   Clsdccld 16755   normcnm 18101  CModcclm 18562   CPreHilccph 18604  CMetSpccms 18756   CHilchl 18758
This theorem is referenced by:  pjth  18805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-mhm 14417  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-mulg 14494  df-subg 14620  df-ghm 14683  df-cntz 14795  df-lsm 14949  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-invr 15456  df-dvr 15467  df-rnghom 15498  df-drng 15516  df-subrg 15545  df-staf 15612  df-srng 15613  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lmhm 15781  df-lvec 15858  df-sra 15927  df-rgmod 15928  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-phl 16532  df-ocv 16565  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-cmp 17116  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-flim 17636  df-fcls 17638  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-nm 18107  df-ngp 18108  df-nlm 18111  df-cncf 18384  df-clm 18563  df-cph 18606  df-cfil 18683  df-cmet 18685  df-cms 18759  df-bn 18760  df-hl 18761
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