Theorem pjthlem9 9222

Description: Lemma for pjth 9228.

Hypotheses

Ref	Expression
pjthlem9.1	|- A e. H~
pjthlem9.2	|- B e. H~
pjthlem9.3	|- D e. H~
pjthlem9.4	|- R = (1 / (D .ih D))
pjthlem9.5	|- S = (R x. (C .ih D))
pjthlem9.6	|- C = (A -h B)

Assertion

Ref	Expression
pjthlem9	|- (D =/= 0h -> ((normh` (B -h A)) <_ (normh` ((B +h (S .h D)) -h A)) <-> ((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (S .h D)))^2)))

Proof of Theorem pjthlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjthlem9.3	. . 3 |- D e. H~
2		pjthlem9.4	. . 3 |- R = (1 / (D .ih D))
3		pjthlem9.6	. . . 4 |- C = (A -h B)
4		pjthlem9.1	. . . . 5 |- A e. H~
5		pjthlem9.2	. . . . 5 |- B e. H~
6	4, 5	hvsubcl 8886	. . . 4 |- (A -h B) e. H~
7	3, 6	eqeltr 1547	. . 3 |- C e. H~
8		pjthlem9.5	. . 3 |- S = (R x. (C .ih D))
9	1, 2, 7, 8	pjthlem4 9217	. 2 |- (D =/= 0h -> S e. CC)
10		opreq1 3974	. . . . . . . 8 |- (S = if(S e. CC, S, 0) -> (S .h D) = (if(S e. CC, S, 0) .h D))
11	10	opreq2d 3982	. . . . . . 7 |- (S = if(S e. CC, S, 0) -> (B +h (S .h D)) = (B +h (if(S e. CC, S, 0) .h D)))
12	11	opreq1d 3981	. . . . . 6 |- (S = if(S e. CC, S, 0) -> ((B +h (S .h D)) -h A) = ((B +h (if(S e. CC, S, 0) .h D)) -h A))
13	12	fveq2d 3734	. . . . 5 |- (S = if(S e. CC, S, 0) -> (normh` ((B +h (S .h D)) -h A)) = (normh` ((B +h (if(S e. CC, S, 0) .h D)) -h A)))
14	13	breq2d 2635	. . . 4 |- (S = if(S e. CC, S, 0) -> ((normh` (B -h A)) <_ (normh` ((B +h (S .h D)) -h A)) <-> (normh` (B -h A)) <_ (normh` ((B +h (if(S e. CC, S, 0) .h D)) -h A))))
15	10	opreq2d 3982	. . . . . . 7 |- (S = if(S e. CC, S, 0) -> (C -h (S .h D)) = (C -h (if(S e. CC, S, 0) .h D)))
16	15	fveq2d 3734	. . . . . 6 |- (S = if(S e. CC, S, 0) -> (normh` (C -h (S .h D))) = (normh` (C -h (if(S e. CC, S, 0) .h D))))
17	16	opreq1d 3981	. . . . 5 |- (S = if(S e. CC, S, 0) -> ((normh` (C -h (S .h D)))^2) = ((normh` (C -h (if(S e. CC, S, 0) .h D)))^2))
18	17	breq2d 2635	. . . 4 |- (S = if(S e. CC, S, 0) -> (((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (S .h D)))^2) <-> ((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (if(S e. CC, S, 0) .h D)))^2)))
19	14, 18	bibi12d 631	. . 3 |- (S = if(S e. CC, S, 0) -> (((normh` (B -h A)) <_ (normh` ((B +h (S .h D)) -h A)) <-> ((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (S .h D)))^2)) <-> ((normh` (B -h A)) <_ (normh` ((B +h (if(S e. CC, S, 0) .h D)) -h A)) <-> ((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (if(S e. CC, S, 0) .h D)))^2))))
20		0cn 5340	. . . . 5 |- 0 e. CC
21	20	elimel 2398	. . . 4 |- if(S e. CC, S, 0) e. CC
22	4, 5, 1, 21, 3	pjthlem1 9214	. . 3 |- ((normh` (B -h A)) <_ (normh` ((B +h (if(S e. CC, S, 0) .h D)) -h A)) <-> ((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (if(S e. CC, S, 0) .h D)))^2))
23	19, 22	dedth 2387	. 2 |- (S e. CC -> ((normh` (B -h A)) <_ (normh` ((B +h (S .h D)) -h A)) <-> ((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (S .h D)))^2)))
24	9, 23	syl 10	1 |- (D =/= 0h -> ((normh` (B -h A)) <_ (normh` ((B +h (S .h D)) -h A)) <-> ((normh` C)^2) <_ ((normh` (C -h (S .h D)))^2)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  ifcif 2365   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   x. cmul 5251   / cdiv 5306   <_ cle 5307  2c2 5963  ^cexp 6569  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785  0hc0v 8786   -h cmv 8787   .ih csp 8788  normhcno 8789

This theorem is referenced by:  pjthlem10 9223

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835

Copyright terms: Public domain