Theorem pjvalt 9239

Description: Value of a projection.

Assertion

Ref	Expression
pjvalt	|- ((H e. CH /\ A e. H~) -> ((proj` H)` A) = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)})

Distinct variable groups:   x,y,H   x,A,y

Proof of Theorem pjvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjmvalt 9238	. . . 4 |- (H e. CH -> (proj` H) = {<.z, w>. | (z e. H~ /\ w = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)z = (x +h y)})})
2	1	fveq1d 3726	. . 3 |- (H e. CH -> ((proj` H)` A) = ({<.z, w>. | (z e. H~ /\ w = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)z = (x +h y)})}` A))
3	2	adantr 389	. 2 |- ((H e. CH /\ A e. H~) -> ((proj` H)` A) = ({<.z, w>. | (z e. H~ /\ w = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)z = (x +h y)})}` A))
4		eqeq1 1481	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (z = (x +h y) <-> A = (x +h y)))
5	4	rexbidv 1664	. . . . . . 7 |- (z = A -> (E.y e. (_|_` H)z = (x +h y) <-> E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)))
6	5	rabbisdv 1807	. . . . . 6 |- (z = A -> {x e. H | E.y e. (_|_` H)z = (x +h y)} = {x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)})
7	6	unieqd 2512	. . . . 5 |- (z = A -> U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)z = (x +h y)} = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)})
8		eqid 1475	. . . . 5 |- {<.z, w>. | (z e. H~ /\ w = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)z = (x +h y)})} = {<.z, w>. | (z e. H~ /\ w = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)z = (x +h y)})}
9	7, 8	fvopab4g 3779	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)} e. V) -> ({<.z, w>. | (z e. H~ /\ w = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)z = (x +h y)})}` A) = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)})
10		rabexg 2724	. . . . 5 |- (H e. CH -> {x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)} e. V)
11		uniexg 2871	. . . . 5 |- ({x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)} e. V -> U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)} e. V)
12	10, 11	syl 10	. . . 4 |- (H e. CH -> U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)} e. V)
13	9, 12	sylan2 451	. . 3 |- ((A e. H~ /\ H e. CH) -> ({<.z, w>. | (z e. H~ /\ w = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)z = (x +h y)})}` A) = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)})
14	13	ancoms 436	. 2 |- ((H e. CH /\ A e. H~) -> ({<.z, w>. | (z e. H~ /\ w = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)z = (x +h y)})}` A) = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)})
15	3, 14	eqtrd 1507	1 |- ((H e. CH /\ A e. H~) -> ((proj` H)` A) = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  {crab 1648  Vcvv 1811  U.cuni 2503  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  H~chil 8788   +h cva 8789  CHcch 8798  _|_cort 8799  projcpj 8806

This theorem is referenced by:  axpjclt 9240  pjeq2t 9241  pjpj0 9255  pjspansnt 9500

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-pj 9237

Copyright terms: Public domain