Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  plimfil Unicode version

Theorem plimfil 24926
Description: The predicate "is a limit of a filter". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
plimfil.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
plimfil  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J ) `  { L } )  C_  F ) )

Proof of Theorem plimfil
StepHypRef Expression
1 plimfil.x . . . . 5  |-  X  = 
U. J
21toptopon 16634 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 elflim 17629 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( L  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) ) )
42, 3sylanb 460 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( L  e.  X  /\  ( ( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) ) )
54baibd 880 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) )
653impa 1151 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J ) `  { L } )  C_  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3127   {csn 3614   U.cuni 3801   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Topctop 16594  TopOnctopon 16595   neicnei 16797   Filcfil 17503    fLim cflim 17592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-top 16599  df-topon 16602  df-fbas 17483  df-fil 17504  df-flim 17597
  Copyright terms: Public domain W3C validator