Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  plimfil Unicode version

Theorem plimfil 24890
Description: The predicate "is a limit of a filter". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
plimfil.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
plimfil  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J ) `  { L } )  C_  F ) )

Proof of Theorem plimfil
StepHypRef Expression
1 plimfil.x . . . . 5  |-  X  = 
U. J
21toptopon 16598 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 elflim 17593 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( L  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) ) )
42, 3sylanb 460 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( L  e.  X  /\  ( ( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) ) )
54baibd 880 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) )
653impa 1151 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J ) `  { L } )  C_  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3094   {csn 3581   U.cuni 3768   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Topctop 16558  TopOnctopon 16559   neicnei 16761   Filcfil 17467    fLim cflim 17556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-top 16563  df-topon 16566  df-fbas 17447  df-fil 17468  df-flim 17561
  Copyright terms: Public domain W3C validator