Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  plimfil Unicode version

Theorem plimfil 24969
Description: The predicate "is a limit of a filter". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
plimfil.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
plimfil  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J ) `  { L } )  C_  F ) )

Proof of Theorem plimfil
StepHypRef Expression
1 plimfil.x . . . . 5  |-  X  = 
U. J
21toptopon 16667 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 elflim 17662 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( L  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) ) )
42, 3sylanb 458 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( L  e.  X  /\  ( ( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) ) )
54baibd 875 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) )
653impa 1146 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J ) `  { L } )  C_  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685    C_ wss 3153   {csn 3641   U.cuni 3828   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Topctop 16627  TopOnctopon 16628   neicnei 16830   Filcfil 17536    fLim cflim 17625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-top 16632  df-topon 16635  df-fbas 17516  df-fil 17537  df-flim 17630
  Copyright terms: Public domain W3C validator