Theorem plpv 5113

Description: Value of addition on positive reals.

Assertion

Ref	Expression
plpv	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))})

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem plpv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plp 5088	. 2 |- +P. = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {f | E.g e. w E.h e. v f = (g +Q h)})}
2	1	genpv 5102	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  (class class class)co 3963   +Q cplq 4981  P.cnp 4985   +P. cpp 4987

This theorem is referenced by:  addcompr 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-plp 5088

Copyright terms: Public domain