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Theorem pm11.71 27596
Description: Theorem *11.71 in [WhiteheadRussell] p. 166. (Contributed by Andrew Salmon, 24-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
pm11.71  |-  ( ( E. x ph  /\  E. y ch )  -> 
( ( A. x
( ph  ->  ps )  /\  A. y ( ch 
->  th ) )  <->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y    ps, y    ch, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)    ch( y)    th( y)

Proof of Theorem pm11.71
StepHypRef Expression
1 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ y ( ph  ->  ps )
2 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ x
( ch  ->  th )
31, 2aaan 1825 . . 3  |-  ( A. x A. y ( (
ph  ->  ps )  /\  ( ch  ->  th )
)  <->  ( A. x
( ph  ->  ps )  /\  A. y ( ch 
->  th ) ) )
4 prth 554 . . . 4  |-  ( ( ( ph  ->  ps )  /\  ( ch  ->  th ) )  ->  (
( ph  /\  ch )  ->  ( ps  /\  th ) ) )
542alimi 1547 . . 3  |-  ( A. x A. y ( (
ph  ->  ps )  /\  ( ch  ->  th )
)  ->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) ) )
63, 5sylbir 204 . 2  |-  ( ( A. x ( ph  ->  ps )  /\  A. y ( ch  ->  th ) )  ->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) ) )
7 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ x ch
87nfex 1767 . . . . 5  |-  F/ x E. y ch
9 exim 1562 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  ( E. y
( ph  /\  ch )  ->  E. y ( ps 
/\  th ) ) )
10 19.42v 1846 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ph  /\  ch )  <->  ( ph  /\  E. y ch ) )
11 19.42v 1846 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ps  /\  th )  <->  ( ps  /\  E. y th ) )
129, 10, 113imtr3g 260 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  ( ( ph  /\ 
E. y ch )  ->  ( ps  /\  E. y th ) ) )
13 pm3.21 435 . . . . . . 7  |-  ( E. y ch  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  E. y ch ) ) )
14 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ps  /\  E. y th )  ->  ps )
1514imim2i 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E. y ch )  ->  ( ps  /\  E. y th ) )  ->  (
( ph  /\  E. y ch )  ->  ps )
)
1613, 15syl9 66 . . . . . 6  |-  ( E. y ch  ->  (
( ( ph  /\  E. y ch )  -> 
( ps  /\  E. y th ) )  -> 
( ph  ->  ps )
) )
1712, 16syl5 28 . . . . 5  |-  ( E. y ch  ->  ( A. y ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  ( ph  ->  ps ) ) )
188, 17alimd 1744 . . . 4  |-  ( E. y ch  ->  ( A. x A. y ( ( ph  /\  ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  A. x
( ph  ->  ps )
) )
1918adantl 452 . . 3  |-  ( ( E. x ph  /\  E. y ch )  -> 
( A. x A. y ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) )
20 ax-7 1708 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( (
ph  /\  ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  A. y A. x ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) ) )
21 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ y
ph
2221nfex 1767 . . . . . 6  |-  F/ y E. x ph
23 exim 1562 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  ( E. x
( ph  /\  ch )  ->  E. x ( ps 
/\  th ) ) )
24 19.41v 1842 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( ph  /\  ch )  <->  ( E. x ph  /\  ch ) )
25 19.41v 1842 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( ps  /\  th )  <->  ( E. x ps  /\  th ) )
2623, 24, 253imtr3g 260 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  ( ( E. x ph  /\  ch )  ->  ( E. x ps  /\  th ) ) )
27 pm3.2 434 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ph  ->  ( ch  ->  ( E. x ph  /\  ch ) ) )
28 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x ps  /\  th )  ->  th )
2928imim2i 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E. x ph  /\ 
ch )  ->  ( E. x ps  /\  th ) )  ->  (
( E. x ph  /\ 
ch )  ->  th )
)
3027, 29syl9 66 . . . . . . 7  |-  ( E. x ph  ->  (
( ( E. x ph  /\  ch )  -> 
( E. x ps 
/\  th ) )  -> 
( ch  ->  th )
) )
3126, 30syl5 28 . . . . . 6  |-  ( E. x ph  ->  ( A. x ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
3222, 31alimd 1744 . . . . 5  |-  ( E. x ph  ->  ( A. y A. x ( ( ph  /\  ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  A. y
( ch  ->  th )
) )
3320, 32syl5 28 . . . 4  |-  ( E. x ph  ->  ( A. x A. y ( ( ph  /\  ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  A. y
( ch  ->  th )
) )
3433adantr 451 . . 3  |-  ( ( E. x ph  /\  E. y ch )  -> 
( A. x A. y ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  A. y ( ch 
->  th ) ) )
3519, 34jcad 519 . 2  |-  ( ( E. x ph  /\  E. y ch )  -> 
( A. x A. y ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) )  ->  ( A. x
( ph  ->  ps )  /\  A. y ( ch 
->  th ) ) ) )
366, 35impbid2 195 1  |-  ( ( E. x ph  /\  E. y ch )  -> 
( ( A. x
( ph  ->  ps )  /\  A. y ( ch 
->  th ) )  <->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
ch )  ->  ( ps  /\  th ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532
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