Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm54.43lem Unicode version

Theorem pm54.43lem 7840
 Description: In Theorem *54.43 of [WhiteheadRussell] p. 360, the number 1 is defined as the collection of all sets with cardinality 1 (i.e. all singletons; see card1 7809), so that their means, in our notation, . Here we show that this is equivalent to so that we can use the latter more convenient notation in pm54.43 7841. (Contributed by NM, 4-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
pm54.43lem
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem pm54.43lem
StepHypRef Expression
1 carden2b 7808 . . . 4
2 1onn 6839 . . . . 5
3 cardnn 7804 . . . . 5
42, 3ax-mp 8 . . . 4
51, 4syl6eq 2450 . . 3
64eqeq2i 2412 . . . . 5
76biimpri 198 . . . 4
8 1n0 6696 . . . . . . . 8
9 df-ne 2567 . . . . . . . 8
108, 9mpbi 200 . . . . . . 7
11 eqeq1 2408 . . . . . . 7
1210, 11mtbiri 295 . . . . . 6
13 ndmfv 5712 . . . . . 6
1412, 13nsyl2 121 . . . . 5
15 1on 6688 . . . . . 6
16 onenon 7790 . . . . . 6
1715, 16ax-mp 8 . . . . 5
18 carden2 7828 . . . . 5
1914, 17, 18sylancl 644 . . . 4
207, 19mpbid 202 . . 3
215, 20impbii 181 . 2
22 elex 2922 . . . 4
2314, 22syl 16 . . 3
24 fveq2 5685 . . . 4
2524eqeq1d 2410 . . 3
2623, 25elab3 3047 . 2
2721, 26bitr4i 244 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 177   wceq 1649   wcel 1721  cab 2388   wne 2565  cvv 2914  c0 3586   class class class wbr 4170  con0 4539  com 4802   cdm 4835  cfv 5411  c1o 6674   cen 7063  ccrd 7776 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2383  ax-sep 4288  ax-nul 4296  ax-pow 4335  ax-pr 4361  ax-un 4658 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2389  df-cleq 2395  df-clel 2398  df-nfc 2527  df-ne 2567  df-ral 2669  df-rex 2670  df-rab 2673  df-v 2916  df-sbc 3120  df-dif 3281  df-un 3283  df-in 3285  df-ss 3292  df-pss 3294  df-nul 3587  df-if 3698  df-pw 3759  df-sn 3778  df-pr 3779  df-tp 3780  df-op 3781  df-uni 3974  df-int 4009  df-br 4171  df-opab 4225  df-mpt 4226  df-tr 4261  df-eprel 4452  df-id 4456  df-po 4461  df-so 4462  df-fr 4499  df-we 4501  df-ord 4542  df-on 4543  df-lim 4544  df-suc 4545  df-om 4803  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5375  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-1o 6681  df-er 6862  df-en 7067  df-dom 7068  df-sdom 7069  df-fin 7070  df-card 7780
 Copyright terms: Public domain W3C validator