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Theorem pmapglbx 29088
Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements. Index-set version of pmapglb 29089, where we read  S as  S ( i ). Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
pmapglb.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapglbx  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I 
( M `  S
) )
Distinct variable groups:    y, i, B    i, I, y    i, K, y    y, S
Allowed substitution hints:    S( i)    G( y, i)    M( y, i)

Proof of Theorem pmapglbx
StepHypRef Expression
1 hlclat 28678 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
21ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  CLat )
3 pmapglb.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2256 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
53, 4atbase 28609 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
65adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  B
)
7 r19.29 2654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  E. i  e.  I  y  =  S )  ->  E. i  e.  I 
( S  e.  B  /\  y  =  S
) )
8 eleq1a 2325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  B  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) )
98imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  B  /\  y  =  S )  ->  y  e.  B )
109rexlimivw 2634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  I  ( S  e.  B  /\  y  =  S )  ->  y  e.  B )
117, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  E. i  e.  I  y  =  S )  -> 
y  e.  B )
1211ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B ) )
1312ad2antlr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B
) )
1413abssdv 3189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }  C_  B )
15 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
16 pmapglb.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( glb `  K
)
173, 15, 16clatleglb 14157 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  p  e.  B  /\  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )  ->  ( p ( le
`  K ) ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z ) )
182, 6, 14, 17syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z ) )
19 vex 2743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
20 eqeq1 2262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  S  <->  z  =  S ) )
2120rexbidv 2535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  ( E. i  e.  I 
y  =  S  <->  E. i  e.  I  z  =  S ) )
2219, 21elab 2865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }  <->  E. i  e.  I  z  =  S )
2322imbi1i 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z )  <->  ( E. i  e.  I  z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
24 r19.23v 2630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  I  (
z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <-> 
( E. i  e.  I  z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
2523, 24bitr4i 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I 
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
2625albii 1554 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( z  e. 
{ y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p
( le `  K
) z )  <->  A. z A. i  e.  I 
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
27 df-ral 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. z
( z  e.  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z ) )
28 ralcom4 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. z A. i  e.  I  ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z ) )
2926, 27, 283bitr4i 270 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  A. z
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
30 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  p ( le `  K ) S
31 breq2 3967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
p ( le `  K ) z  <->  p ( le `  K ) S ) )
3230, 31ceqsalg 2763 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  B  ->  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S ) )
3332ralimi 2589 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  A. i  e.  I  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S ) )
34 ralbi 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S )  ->  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3629, 35syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3736ad2antlr 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3818, 37bitrd 246 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3938rabbidva 2731 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) }  =  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  A. i  e.  I  p
( le `  K
) S } )
40393adant3 980 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) }  =  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  A. i  e.  I  p
( le `  K
) S } )
41 simp1 960 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  K  e.  HL )
4212abssdv 3189 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )
433, 16clatglbcl 14145 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )  ->  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B )
441, 42, 43syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B
)
45443adant3 980 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( G `  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
)  e.  B )
46 pmapglb.m . . . . 5  |-  M  =  ( pmap `  K
)
473, 15, 4, 46pmapval 29076 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B
)  ->  ( M `  ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) } )
4841, 45, 47syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) } )
49 iinrab 3905 . . . 4  |-  ( I  =/=  (/)  ->  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  | 
A. i  e.  I  p ( le `  K ) S }
)
50493ad2ant3 983 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  | 
A. i  e.  I  p ( le `  K ) S }
)
5140, 48, 503eqtr4d 2298 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
52 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ i  K  e.  HL
53 nfra1 2564 . . . 4  |-  F/ i A. i  e.  I  S  e.  B
54 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ i  I  =/=  (/)
5552, 53, 54nf3an 1740 . . 3  |-  F/ i ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )
56 simpl1 963 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  K  e.  HL )
57 ra4 2574 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  S  e.  B ) )
5857imp 420 . . . . 5  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
59583ad2antl2 1123 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
603, 15, 4, 46pmapval 29076 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( M `  S
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
6156, 59, 60syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  ( M `  S )  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
6255, 61iineq2d 3866 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  |^|_ i  e.  I  ( M `  S )  =  |^|_ i  e.  I  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K
) S } )
6351, 62eqtr4d 2291 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I 
( M `  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   {crab 2519    C_ wss 3094   (/)c0 3397   |^|_ciin 3847   class class class wbr 3963   ` cfv 4638   Basecbs 13075   lecple 13142   glbcglb 14004   CLatccla 14140   Atomscatm 28583   HLchlt 28670   pmapcpmap 28816
This theorem is referenced by:  pmapglb  29089  pmapglb2xN  29091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-poset 14007  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-lat 14079  df-clat 14141  df-ats 28587  df-hlat 28671  df-pmap 28823
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