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Theorem pmapglbx 28647
Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements. Index-set version of pmapglb 28648, where we read  S as  S ( i ). Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
pmapglb.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapglbx  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I 
( M `  S
) )
Distinct variable groups:    y, i, B    i, I, y    i, K, y    y, S
Allowed substitution hints:    S( i)    G( y, i)    M( y, i)

Proof of Theorem pmapglbx
StepHypRef Expression
1 hlclat 28237 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
21ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  CLat )
3 pmapglb.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2253 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
53, 4atbase 28168 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
65adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  B
)
7 r19.29 2645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  E. i  e.  I  y  =  S )  ->  E. i  e.  I 
( S  e.  B  /\  y  =  S
) )
8 eleq1a 2322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  B  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) )
98imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  B  /\  y  =  S )  ->  y  e.  B )
109rexlimivw 2625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  I  ( S  e.  B  /\  y  =  S )  ->  y  e.  B )
117, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  E. i  e.  I  y  =  S )  -> 
y  e.  B )
1211ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B ) )
1312ad2antlr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B
) )
1413abssdv 3168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }  C_  B )
15 eqid 2253 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
16 pmapglb.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( glb `  K
)
173, 15, 16clatleglb 14074 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  p  e.  B  /\  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )  ->  ( p ( le
`  K ) ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z ) )
182, 6, 14, 17syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z ) )
19 vex 2730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
20 eqeq1 2259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  S  <->  z  =  S ) )
2120rexbidv 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  ( E. i  e.  I 
y  =  S  <->  E. i  e.  I  z  =  S ) )
2219, 21elab 2851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }  <->  E. i  e.  I  z  =  S )
2322imbi1i 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z )  <->  ( E. i  e.  I  z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
24 r19.23v 2621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  I  (
z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <-> 
( E. i  e.  I  z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
2523, 24bitr4i 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I 
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
2625albii 1554 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( z  e. 
{ y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p
( le `  K
) z )  <->  A. z A. i  e.  I 
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
27 df-ral 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. z
( z  e.  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z ) )
28 ralcom4 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. z A. i  e.  I  ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z ) )
2926, 27, 283bitr4i 270 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  A. z
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
30 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  p ( le `  K ) S
31 breq2 3924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
p ( le `  K ) z  <->  p ( le `  K ) S ) )
3230, 31ceqsalg 2750 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  B  ->  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S ) )
3332ralimi 2580 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  A. i  e.  I  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S ) )
34 ralbi 2641 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S )  ->  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3629, 35syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3736ad2antlr 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3818, 37bitrd 246 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3938rabbidva 2718 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) }  =  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  A. i  e.  I  p
( le `  K
) S } )
40393adant3 980 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) }  =  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  A. i  e.  I  p
( le `  K
) S } )
41 simp1 960 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  K  e.  HL )
4212abssdv 3168 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )
433, 16clatglbcl 14062 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )  ->  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B )
441, 42, 43syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B
)
45443adant3 980 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( G `  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
)  e.  B )
46 pmapglb.m . . . . 5  |-  M  =  ( pmap `  K
)
473, 15, 4, 46pmapval 28635 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B
)  ->  ( M `  ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) } )
4841, 45, 47syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) } )
49 iinrab 3862 . . . 4  |-  ( I  =/=  (/)  ->  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  | 
A. i  e.  I  p ( le `  K ) S }
)
50493ad2ant3 983 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  | 
A. i  e.  I  p ( le `  K ) S }
)
5140, 48, 503eqtr4d 2295 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
52 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ i  K  e.  HL
53 nfra1 2555 . . . 4  |-  F/ i A. i  e.  I  S  e.  B
54 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ i  I  =/=  (/)
5552, 53, 54nf3an 1740 . . 3  |-  F/ i ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )
56 simpl1 963 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  K  e.  HL )
57 ra4 2565 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  S  e.  B ) )
5857imp 420 . . . . 5  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
59583ad2antl2 1123 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
603, 15, 4, 46pmapval 28635 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( M `  S
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
6156, 59, 60syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  ( M `  S )  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
6255, 61iineq2d 3823 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  |^|_ i  e.  I  ( M `  S )  =  |^|_ i  e.  I  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K
) S } )
6351, 62eqtr4d 2288 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I 
( M `  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   {crab 2512    C_ wss 3078   (/)c0 3362   |^|_ciin 3804   class class class wbr 3920   ` cfv 4592   Basecbs 13022   lecple 13089   glbcglb 13921   CLatccla 14057   Atomscatm 28142   HLchlt 28229   pmapcpmap 28375
This theorem is referenced by:  pmapglb  28648  pmapglb2xN  28650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-lat 13996  df-clat 14058  df-ats 28146  df-hlat 28230  df-pmap 28382
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