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Theorem pmapglbx 30405
Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements. Index-set version of pmapglb 30406, where we read  S as  S ( i ). Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
pmapglb.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapglbx  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I 
( M `  S
) )
Distinct variable groups:    y, i, B    i, I, y    i, K, y    y, S
Allowed substitution hints:    S( i)    G( y, i)    M( y, i)

Proof of Theorem pmapglbx
Dummy variables  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlclat 29995 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
21ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  K  e.  CLat )
3 pmapglb.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
53, 4atbase 29926 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
65adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  p  e.  B
)
7 r19.29 2838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  E. i  e.  I  y  =  S )  ->  E. i  e.  I 
( S  e.  B  /\  y  =  S
) )
8 eleq1a 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  B  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) )
98imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  B  /\  y  =  S )  ->  y  e.  B )
109rexlimivw 2818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  I  ( S  e.  B  /\  y  =  S )  ->  y  e.  B )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  E. i  e.  I  y  =  S )  -> 
y  e.  B )
1211ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B ) )
1312ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B
) )
1413abssdv 3409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }  C_  B )
15 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
16 pmapglb.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( glb `  K
)
173, 15, 16clatleglb 14541 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  p  e.  B  /\  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )  ->  ( p ( le
`  K ) ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z ) )
182, 6, 14, 17syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z ) )
19 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
20 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  S  <->  z  =  S ) )
2120rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  ( E. i  e.  I 
y  =  S  <->  E. i  e.  I  z  =  S ) )
2219, 21elab 3074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }  <->  E. i  e.  I  z  =  S )
2322imbi1i 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z )  <->  ( E. i  e.  I  z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
24 r19.23v 2814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  I  (
z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <-> 
( E. i  e.  I  z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
2523, 24bitr4i 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I 
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
2625albii 1575 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( z  e. 
{ y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p
( le `  K
) z )  <->  A. z A. i  e.  I 
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
27 df-ral 2702 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. z
( z  e.  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  ->  p ( le `  K ) z ) )
28 ralcom4 2966 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. z A. i  e.  I  ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z ) )
2926, 27, 283bitr4i 269 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  A. z
( z  =  S  ->  p ( le
`  K ) z ) )
30 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  p ( le `  K ) S
31 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
p ( le `  K ) z  <->  p ( le `  K ) S ) )
3230, 31ceqsalg 2972 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  B  ->  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S ) )
3332ralimi 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  A. i  e.  I  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S ) )
34 ralbi 2834 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  I  ( A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  p ( le
`  K ) S )  ->  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( A. i  e.  I  A. z ( z  =  S  ->  p ( le `  K ) z )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3629, 35syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3736ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( A. z  e.  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } p ( le `  K ) z  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3818, 37bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  <->  A. i  e.  I  p ( le `  K ) S ) )
3938rabbidva 2939 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) }  =  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  A. i  e.  I  p
( le `  K
) S } )
40393adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) }  =  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  A. i  e.  I  p
( le `  K
) S } )
41 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  K  e.  HL )
4212abssdv 3409 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )
433, 16clatglbcl 14529 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S }  C_  B )  ->  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B )
441, 42, 43syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B
)
45443adant3 977 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( G `  { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
)  e.  B )
46 pmapglb.m . . . . 5  |-  M  =  ( pmap `  K
)
473, 15, 4, 46pmapval 30393 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } )  e.  B
)  ->  ( M `  ( G `  {
y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) } )
4841, 45, 47syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) ( G `
 { y  |  E. i  e.  I 
y  =  S }
) } )
49 iinrab 4145 . . . 4  |-  ( I  =/=  (/)  ->  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  | 
A. i  e.  I  p ( le `  K ) S }
)
50493ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  | 
A. i  e.  I  p ( le `  K ) S }
)
5140, 48, 503eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
52 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ i  K  e.  HL
53 nfra1 2748 . . . 4  |-  F/ i A. i  e.  I  S  e.  B
54 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ i  I  =/=  (/)
5552, 53, 54nf3an 1849 . . 3  |-  F/ i ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )
56 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  K  e.  HL )
57 rsp 2758 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  S  e.  B ) )
5857imp 419 . . . . 5  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
59583ad2antl2 1120 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
603, 15, 4, 46pmapval 30393 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( M `  S
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
6156, 59, 60syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  /\  i  e.  I )  ->  ( M `  S )  =  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p ( le `  K ) S }
)
6255, 61iineq2d 4105 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  |^|_ i  e.  I  ( M `  S )  =  |^|_ i  e.  I  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p ( le `  K
) S } )
6351, 62eqtr4d 2470 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B  /\  I  =/=  (/) )  ->  ( M `  ( G `  { y  |  E. i  e.  I  y  =  S } ) )  =  |^|_ i  e.  I 
( M `  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   |^|_ciin 4086   class class class wbr 4204   ` cfv 5445   Basecbs 13457   lecple 13524   glbcglb 14388   CLatccla 14524   Atomscatm 29900   HLchlt 29987   pmapcpmap 30133
This theorem is referenced by:  pmapglb  30406  pmapglb2xN  30408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-poset 14391  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-lat 14463  df-clat 14525  df-ats 29904  df-hlat 29988  df-pmap 30140
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