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Theorem pmapjoin 30586
Description: The projective map of the join of two lattice elements. Part of Equation 15.5.3 of [MaedaMaeda] p. 63. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjoin.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapjoin.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pmapjoin.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
pmapjoin.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapjoin  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Y )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Y
) ) )

Proof of Theorem pmapjoin
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) X )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) ) )
3 pmapjoin.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
53, 4atbase 30024 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
6 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
7 pmapjoin.j . . . . . . . . . . 11  |-  .\/  =  ( join `  K )
83, 6, 7latlej1 14481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
98adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  X ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) )
10 simpl1 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  Lat )
11 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  p  e.  B )
12 simpl2 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  X  e.  B )
133, 7latjcl 14471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
1413adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B
)
153, 6lattr 14477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B ) )  ->  ( (
p ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
1610, 11, 12, 14, 15syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
p ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
179, 16mpan2d 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) X  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
1817expimpd 587 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  B  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
195, 18sylani 636 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
202, 19jcad 520 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
21 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) Y )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) ) )
233, 6, 7latlej2 14482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
2423adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  Y ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) )
25 simpl3 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  Y  e.  B )
263, 6lattr 14477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B ) )  ->  ( (
p ( le `  K ) Y  /\  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
2710, 11, 25, 14, 26syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
p ( le `  K ) Y  /\  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
2824, 27mpan2d 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) Y  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
2928expimpd 587 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  B  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
305, 29sylani 636 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
3122, 30jcad 520 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
3220, 31jaod 370 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  p ( le `  K ) X )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  p ( le `  K ) Y ) )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) ) )
33 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) ) )
35 pmapjoin.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  =  ( pmap `  K
)
363, 6, 4, 35elpmap 30492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
37363adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
383, 6, 4, 35elpmap 30492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( r  e.  ( M `  Y )  <-> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) Y ) ) )
39383adant2 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( r  e.  ( M `  Y )  <-> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) Y ) ) )
4037, 39anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  <->  ( ( q  e.  ( Atoms `  K
)  /\  q ( le `  K ) X )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  r ( le `  K ) Y ) ) ) )
41 an4 798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) X )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) Y ) )  <->  ( ( q  e.  ( Atoms `  K
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) ) )
4240, 41syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  <->  ( ( q  e.  ( Atoms `  K
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) ) ) )
4342adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
q  e.  ( M `
 X )  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  <->  ( (
q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) ) ) )
443, 4atbase 30024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  B )
453, 4atbase 30024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  ->  r  e.  B )
4644, 45anim12i 550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )
47 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  K  e.  Lat )
48 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  q  e.  B )
49 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
50 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  r  e.  B )
51 simpll3 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
523, 6, 7latjlej12 14488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( q  e.  B  /\  X  e.  B
)  /\  ( r  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( q ( le `  K ) X  /\  r ( le `  K ) Y )  ->  (
q  .\/  r )
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
5347, 48, 49, 50, 51, 52syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
q ( le `  K ) X  /\  r ( le `  K ) Y )  ->  ( q  .\/  r ) ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
54 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  p  e.  B )
553, 7latjcl 14471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( q  .\/  r
)  e.  B )
5647, 48, 50, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( q  .\/  r )  e.  B
)
5713ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B
)
583, 6lattr 14477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  ( q  .\/  r
)  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) ( q  .\/  r )  /\  (
q  .\/  r )
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
5947, 54, 56, 57, 58syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  /\  ( q  .\/  r
) ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
6059exp3acom23 1381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
q  .\/  r )
( le `  K
) ( X  .\/  Y )  ->  ( p
( le `  K
) ( q  .\/  r )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6153, 60syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
q ( le `  K ) X  /\  r ( le `  K ) Y )  ->  ( p ( le `  K ) ( q  .\/  r
)  ->  p ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6261expimpd 587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( q  e.  B  /\  r  e.  B
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( q  .\/  r
)  ->  p ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6346, 62sylani 636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( q ( le
`  K ) X  /\  r ( le
`  K ) Y ) )  ->  (
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  ->  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
6443, 63sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
q  e.  ( M `
 X )  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  -> 
( p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6564rexlimdvv 2828 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
6665expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  B  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  ->  p ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
675, 66sylani 636 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
6834, 67jcad 520 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
6932, 68jaod 370 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) X )  \/  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) ) )
70 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
713, 4, 35pmapssat 30493 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  C_  ( Atoms `  K ) )
72713adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  X
)  C_  ( Atoms `  K ) )
733, 4, 35pmapssat 30493 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
74733adant2 976 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
75 pmapjoin.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( + P `  K
)
766, 7, 4, 75elpadd 30533 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( M `  X ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( M `  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Y )
)  <->  ( ( p  e.  ( M `  X )  \/  p  e.  ( M `  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) ) )
7770, 72, 74, 76syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Y ) )  <->  ( (
p  e.  ( M `
 X )  \/  p  e.  ( M `
 Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) ) ) ) )
783, 6, 4, 35elpmap 30492 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  X )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X ) ) )
79783adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  X )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X ) ) )
803, 6, 4, 35elpmap 30492 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  Y )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
81803adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  Y )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
8279, 81orbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( M `  X
)  \/  p  e.  ( M `  Y
) )  <->  ( (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) X )  \/  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) ) )
8382orbi1d 684 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( p  e.  ( M `  X )  \/  p  e.  ( M `  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) )  <->  ( (
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) ) )
8477, 83bitrd 245 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Y ) )  <->  ( (
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) ) )
853, 6, 4, 35elpmap 30492 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Y ) )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
8670, 13, 85syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Y ) )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
8769, 84, 863imtr4d 260 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Y ) )  ->  p  e.  ( M `  ( X  .\/  Y
) ) ) )
8887ssrdv 3346 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Y )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   joincjn 14393   Latclat 14466   Atomscatm 29998   pmapcpmap 30231   + Pcpadd 30529
This theorem is referenced by:  pmapjat1  30587  hlmod1i  30590  paddunN  30661  pl42lem2N  30714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-lub 14423  df-join 14425  df-lat 14467  df-ats 30002  df-pmap 30238  df-padd 30530
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