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Theorem pmapjoin 30110
Description: The projective map of the join of two lattice elements. Part of Equation 15.5.3 of [MaedaMaeda] p. 63. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjoin.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapjoin.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pmapjoin.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
pmapjoin.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapjoin  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Y )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Y
) ) )

Proof of Theorem pmapjoin
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) X )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
21a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) ) )
3 pmapjoin.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
53, 4atbase 29548 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
6 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
7 pmapjoin.j . . . . . . . . . . 11  |-  .\/  =  ( join `  K )
83, 6, 7latlej1 14265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
98adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  X ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) )
10 simpl1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  K  e.  Lat )
11 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  p  e.  B )
12 simpl2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  X  e.  B )
133, 7latjcl 14255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
1413adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B
)
153, 6lattr 14261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B ) )  ->  ( (
p ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
1610, 11, 12, 14, 15syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
p ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
179, 16mpan2d 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) X  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
1817expimpd 586 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  B  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
195, 18sylani 635 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
202, 19jcad 519 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
21 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) Y )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
2221a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) ) )
233, 6, 7latlej2 14266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
2423adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  Y ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) )
25 simpl3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  Y  e.  B )
263, 6lattr 14261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B ) )  ->  ( (
p ( le `  K ) Y  /\  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
2710, 11, 25, 14, 26syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
p ( le `  K ) Y  /\  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
2824, 27mpan2d 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( p
( le `  K
) Y  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
2928expimpd 586 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  B  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
305, 29sylani 635 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
3122, 30jcad 519 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
3220, 31jaod 369 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  p ( le `  K ) X )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  p ( le `  K ) Y ) )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) ) )
33 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
3433a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) ) )
35 pmapjoin.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  =  ( pmap `  K
)
363, 6, 4, 35elpmap 30016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
37363adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( q  e.  ( M `  X )  <-> 
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) X ) ) )
383, 6, 4, 35elpmap 30016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( r  e.  ( M `  Y )  <-> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) Y ) ) )
39383adant2 974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( r  e.  ( M `  Y )  <-> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) Y ) ) )
4037, 39anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  <->  ( ( q  e.  ( Atoms `  K
)  /\  q ( le `  K ) X )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  /\  r ( le `  K ) Y ) ) ) )
41 an4 797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) X )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) Y ) )  <->  ( ( q  e.  ( Atoms `  K
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) ) )
4240, 41syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( q  e.  ( M `  X
)  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  <->  ( ( q  e.  ( Atoms `  K
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) ) ) )
4342adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
q  e.  ( M `
 X )  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  <->  ( (
q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) ) ) )
443, 4atbase 29548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  B )
453, 4atbase 29548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  ->  r  e.  B )
4644, 45anim12i 549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )
47 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  K  e.  Lat )
48 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  q  e.  B )
49 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
50 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  r  e.  B )
51 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
523, 6, 7latjlej12 14272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( q  e.  B  /\  X  e.  B
)  /\  ( r  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( q ( le `  K ) X  /\  r ( le `  K ) Y )  ->  (
q  .\/  r )
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
5347, 48, 49, 50, 51, 52syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
q ( le `  K ) X  /\  r ( le `  K ) Y )  ->  ( q  .\/  r ) ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
54 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  p  e.  B )
553, 7latjcl 14255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( q  .\/  r
)  e.  B )
5647, 48, 50, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( q  .\/  r )  e.  B
)
5713ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B
)
583, 6lattr 14261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  ( q  .\/  r
)  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) ( q  .\/  r )  /\  (
q  .\/  r )
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) )
5947, 54, 56, 57, 58syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  /\  ( q  .\/  r
) ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
6059exp3acom23 1372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
q  .\/  r )
( le `  K
) ( X  .\/  Y )  ->  ( p
( le `  K
) ( q  .\/  r )  ->  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6153, 60syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  p  e.  B )  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  ->  ( (
q ( le `  K ) X  /\  r ( le `  K ) Y )  ->  ( p ( le `  K ) ( q  .\/  r
)  ->  p ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6261expimpd 586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( q  e.  B  /\  r  e.  B
)  /\  ( q
( le `  K
) X  /\  r
( le `  K
) Y ) )  ->  ( p ( le `  K ) ( q  .\/  r
)  ->  p ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6346, 62sylani 635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( q ( le
`  K ) X  /\  r ( le
`  K ) Y ) )  ->  (
p ( le `  K ) ( q 
.\/  r )  ->  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
6443, 63sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( (
q  e.  ( M `
 X )  /\  r  e.  ( M `  Y ) )  -> 
( p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) ) )
6564rexlimdvv 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  B
)  ->  ( E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
6665expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  B  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) )  ->  p ( le `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
675, 66sylani 635 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
6834, 67jcad 519 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
6932, 68jaod 369 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) X )  \/  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) ) ) )
70 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
713, 4, 35pmapssat 30017 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  C_  ( Atoms `  K ) )
72713adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  X
)  C_  ( Atoms `  K ) )
733, 4, 35pmapssat 30017 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
74733adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
75 pmapjoin.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( + P `  K
)
766, 7, 4, 75elpadd 30057 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( M `  X ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( M `  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Y )
)  <->  ( ( p  e.  ( M `  X )  \/  p  e.  ( M `  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) ) )
7770, 72, 74, 76syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Y ) )  <->  ( (
p  e.  ( M `
 X )  \/  p  e.  ( M `
 Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y ) p ( le `  K ) ( q 
.\/  r ) ) ) ) )
783, 6, 4, 35elpmap 30016 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  X )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X ) ) )
79783adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  X )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X ) ) )
803, 6, 4, 35elpmap 30016 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  Y )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
81803adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  Y )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) )
8279, 81orbi12d 690 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( p  e.  ( M `  X
)  \/  p  e.  ( M `  Y
) )  <->  ( (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) X )  \/  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) ) ) )
8382orbi1d 683 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( p  e.  ( M `  X )  \/  p  e.  ( M `  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( M `  X ) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) )  <->  ( (
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) ) )
8477, 83bitrd 244 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Y ) )  <->  ( (
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) X )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  E. q  e.  ( M `  X
) E. r  e.  ( M `  Y
) p ( le
`  K ) ( q  .\/  r ) ) ) ) )
853, 6, 4, 35elpmap 30016 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Y ) )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
8670, 13, 85syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( M `  ( X 
.\/  Y ) )  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) ) ) )
8769, 84, 863imtr4d 259 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  ( ( M `  X
)  .+  ( M `  Y ) )  ->  p  e.  ( M `  ( X  .\/  Y
) ) ) )
8887ssrdv 3261 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  .+  ( M `  Y )
)  C_  ( M `  ( X  .\/  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   lecple 13312   joincjn 14177   Latclat 14250   Atomscatm 29522   pmapcpmap 29755   + Pcpadd 30053
This theorem is referenced by:  pmapjat1  30111  hlmod1i  30114  paddunN  30185  pl42lem2N  30238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-undef 6385  df-riota 6391  df-poset 14179  df-lub 14207  df-join 14209  df-lat 14251  df-ats 29526  df-pmap 29762  df-padd 30054
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