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Theorem pmaple 30019
Description: The projective map of a Hilbert lattice preserves ordering. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmaple.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmaple.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pmaple.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmaple  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( M `  X )  C_  ( M `  Y )
) )

Proof of Theorem pmaple
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlpos 29624 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
2 pmaple.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
42, 3atbase 29548 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
5 pmaple.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .<_  =  ( le `  K )
62, 5postr 14186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
76exp4b 590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
873expd 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( p  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p 
.<_  Y ) ) ) ) ) )
98com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( p  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p 
.<_  Y ) ) ) ) ) )
109com34 77 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  (
p  e.  B  -> 
( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) ) ) )
11103imp 1145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  B  -> 
( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
124, 11syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  (
p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1312com34 77 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( X  .<_  Y  ->  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1413com23 72 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1514ralrimdv 2708 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K )
( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
161, 15syl3an1 1215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) ( p  .<_  X  ->  p 
.<_  Y ) ) )
17 ss2rab 3325 . . . 4  |-  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  <->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) ( p 
.<_  X  ->  p  .<_  Y ) )
1816, 17syl6ibr 218 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
19 hlclat 29617 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
20 ssrab2 3334 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  C_  ( Atoms `  K )
212, 3atssbase 29549 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  C_  B
2220, 21sstri 3264 . . . . . . . 8  |-  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  C_  B
23 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
242, 5, 23lubss 14324 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y }  C_  B  /\  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  ->  ( ( lub `  K ) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) )
2522, 24mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  ->  ( ( lub `  K ) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) )
2625ex 423 . . . . . 6  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
2719, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
28273ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
29 hlomcmat 29623 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
) )
30293ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat ) )
31 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
322, 5, 23, 3atlatmstc 29578 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  =  X )
3330, 31, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  =  X )
34 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
352, 5, 23, 3atlatmstc 29578 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  =  Y )
3630, 34, 35syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  =  Y )
3733, 36breq12d 4117 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  <->  X  .<_  Y ) )
3828, 37sylibd 205 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  X  .<_  Y )
)
3918, 38impbid 183 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
40 pmaple.m . . . . 5  |-  M  =  ( pmap `  K
)
412, 5, 3, 40pmapval 30015 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)
42413adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  X
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)
432, 5, 3, 40pmapval 30015 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)
44433adant2 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)
4542, 44sseq12d 3283 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
4639, 45bitr4d 247 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( M `  X )  C_  ( M `  Y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   {crab 2623    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   ` cfv 5337   Basecbs 13245   lecple 13312   Posetcpo 14173   lubclub 14175   CLatccla 14312   OMLcoml 29434   Atomscatm 29522   AtLatcal 29523   HLchlt 29609   pmapcpmap 29755
This theorem is referenced by:  pmap11  30020  hlmod1i  30114  paddunN  30185  pmapojoinN  30226  pl42N  30241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-undef 6385  df-riota 6391  df-poset 14179  df-plt 14191  df-lub 14207  df-glb 14208  df-join 14209  df-meet 14210  df-p0 14244  df-lat 14251  df-clat 14313  df-oposet 29435  df-ol 29437  df-oml 29438  df-covers 29525  df-ats 29526  df-atl 29557  df-cvlat 29581  df-hlat 29610  df-pmap 29762
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