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Theorem pmaple 29229
Description: The projective map of a Hilbert lattice preserves ordering. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmaple.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmaple.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pmaple.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmaple  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( M `  X )  C_  ( M `  Y )
) )

Proof of Theorem pmaple
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlpos 28834 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
2 pmaple.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 eqid 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
42, 3atbase 28758 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
5 pmaple.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .<_  =  ( le `  K )
62, 5postr 14083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
76exp4b 590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
873expd 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( p  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p 
.<_  Y ) ) ) ) ) )
98com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( p  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p 
.<_  Y ) ) ) ) ) )
109com34 77 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  (
p  e.  B  -> 
( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) ) ) )
11103imp 1145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  B  -> 
( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
124, 11syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  (
p  .<_  X  ->  ( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1312com34 77 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( X  .<_  Y  ->  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1413com23 72 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  (
p  e.  ( Atoms `  K )  ->  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
1514ralrimdv 2633 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K )
( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
161, 15syl3an1 1215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) ( p  .<_  X  ->  p 
.<_  Y ) ) )
17 ss2rab 3250 . . . 4  |-  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  <->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) ( p 
.<_  X  ->  p  .<_  Y ) )
1816, 17syl6ibr 218 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
19 hlclat 28827 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
20 ssrab2 3259 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  C_  ( Atoms `  K )
212, 3atssbase 28759 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  C_  B
2220, 21sstri 3189 . . . . . . . 8  |-  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  C_  B
23 eqid 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
242, 5, 23lubss 14221 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y }  C_  B  /\  { p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  ->  ( ( lub `  K ) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) )
2522, 24mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  ->  ( ( lub `  K ) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) )
2625ex 423 . . . . . 6  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
2719, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
28273ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  .<_  ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  Y } ) ) )
29 hlomcmat 28833 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
) )
30293ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat ) )
31 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
322, 5, 23, 3atlatmstc 28788 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  =  X )
3330, 31, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)  =  X )
34 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
352, 5, 23, 3atlatmstc 28788 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  Y  e.  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  =  Y )
3630, 34, 35syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  =  Y )
3733, 36breq12d 4037 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  {
p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X } )  .<_  ( ( lub `  K
) `  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)  <->  X  .<_  Y ) )
3828, 37sylibd 205 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }  ->  X  .<_  Y )
)
3918, 38impbid 183 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }  C_ 
{ p  e.  (
Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
40 pmaple.m . . . . 5  |-  M  =  ( pmap `  K
)
412, 5, 3, 40pmapval 29225 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  X
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)
42413adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  X
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  X }
)
432, 5, 3, 40pmapval 29225 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)
44433adant2 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M `  Y
)  =  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
)
4542, 44sseq12d 3208 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p 
.<_  X }  C_  { p  e.  ( Atoms `  K )  |  p  .<_  Y }
) )
4639, 45bitr4d 247 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( M `  X )  C_  ( M `  Y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544   {crab 2548    C_ wss 3153   class class class wbr 4024   ` cfv 5221   Basecbs 13144   lecple 13211   Posetcpo 14070   lubclub 14072   CLatccla 14209   OMLcoml 28644   Atomscatm 28732   AtLatcal 28733   HLchlt 28819   pmapcpmap 28965
This theorem is referenced by:  pmap11  29230  hlmod1i  29324  paddunN  29395  pmapojoinN  29436  pl42N  29451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-lat 14148  df-clat 14210  df-oposet 28645  df-ol 28647  df-oml 28648  df-covers 28735  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820  df-pmap 28972
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