Theorem pmaple 30243

Description: The projective map of a Hilbert lattice preserves ordering. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmaple.b	|- B = ( Base ` K )
pmaple.l	|- .<_ = ( le ` K )
pmaple.m	|- M = ( pmap ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmaple	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) ) )

Proof of Theorem pmaple

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlpos 29848	. . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
2		pmaple.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` K )
3		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
4	2, 3	atbase 29772	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
5		pmaple.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .<_ = ( le ` K )
6	2, 5	postr 14365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Poset /\ ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( p .<_ X /\ X .<_ Y ) -> p .<_ Y ) )
7	6	exp4b 591	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Poset -> ( ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
8	7	3expd 1170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Poset -> ( p e. B -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
9	8	com23 74	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. Poset -> ( X e. B -> ( p e. B -> ( Y e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
10	9	com34 79	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Poset -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( p e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
11	10	3imp 1147	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
12	4, 11	syl5 30	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
13	12	com34 79	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( X .<_ Y -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
14	13	com23 74	. . . . . 6 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
15	14	ralrimdv 2755	. . . . 5 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
16	1, 15	syl3an1 1217	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
17		ss2rab 3379	. . . 4 |- ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } <-> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) )
18	16, 17	syl6ibr 219	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
19		hlclat 29841	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
20		ssrab2 3388	. . . . . . . . 9 |- { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ ( Atoms ` K )
21	2, 3	atssbase 29773	. . . . . . . . 9 |- ( Atoms ` K ) C_ B
22	20, 21	sstri 3317	. . . . . . . 8 |- { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ B
23		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
24	2, 5, 23	lubss 14503	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CLat /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ B /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
25	22, 24	mp3an2 1267	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
26	25	ex 424	. . . . . 6 |- ( K e. CLat -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
27	19, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
28	27	3ad2ant1 978	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
29		hlomcmat 29847	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) )
30	29	3ad2ant1 978	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) )
31		simp2 958	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
32	2, 5, 23, 3	atlatmstc 29802	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) = X )
33	30, 31, 32	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) = X )
34		simp3 959	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
35	2, 5, 23, 3	atlatmstc 29802	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) = Y )
36	30, 34, 35	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) = Y )
37	33, 36	breq12d 4185	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) <-> X .<_ Y ) )
38	28, 37	sylibd 206	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> X .<_ Y ) )
39	18, 38	impbid 184	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
40		pmaple.m	. . . . 5 |- M = ( pmap ` K )
41	2, 5, 3, 40	pmapval 30239	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( M ` X ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } )
42	41	3adant3 977	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M ` X ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } )
43	2, 5, 3, 40	pmapval 30239	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ Y e. B ) -> ( M ` Y ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } )
44	43	3adant2 976	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M ` Y ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } )
45	42, 44	sseq12d 3337	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) <-> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
46	39, 45	bitr4d 248	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   Basecbs 13424   lecple 13491   Posetcpo 14352   lubclub 14354   CLatccla 14491   OMLcoml 29658   Atomscatm 29746   AtLatcal 29747   HLchlt 29833   pmapcpmap 29979

This theorem is referenced by:  pmap11  30244  hlmod1i  30338  paddunN  30409  pmapojoinN  30450  pl42N  30465

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-pmap 29986