Theorem pmaple 29200

Description: The projective map of a Hilbert lattice preserves ordering. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmaple.b	|- B = ( Base ` K )
pmaple.l	|- .<_ = ( le ` K )
pmaple.m	|- M = ( pmap ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmaple	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) ) )

Proof of Theorem pmaple

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlpos 28805	. . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
2		pmaple.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` K )
3		eqid 2258	. . . . . . . . . 10 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
4	2, 3	atbase 28729	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
5		pmaple.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .<_ = ( le ` K )
6	2, 5	postr 14050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Poset /\ ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( p .<_ X /\ X .<_ Y ) -> p .<_ Y ) )
7	6	exp4b 593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Poset -> ( ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
8	7	3expd 1173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Poset -> ( p e. B -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
9	8	com23 74	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. Poset -> ( X e. B -> ( p e. B -> ( Y e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
10	9	com34 79	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Poset -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( p e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
11	10	3imp 1150	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
12	4, 11	syl5 30	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
13	12	com34 79	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( X .<_ Y -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
14	13	com23 74	. . . . . 6 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
15	14	ralrimdv 2607	. . . . 5 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
16	1, 15	syl3an1 1220	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
17		ss2rab 3224	. . . 4 |- ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } <-> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) )
18	16, 17	syl6ibr 220	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
19		hlclat 28798	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
20		ssrab2 3233	. . . . . . . . 9 |- { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ ( Atoms ` K )
21	2, 3	atssbase 28730	. . . . . . . . 9 |- ( Atoms ` K ) C_ B
22	20, 21	sstri 3163	. . . . . . . 8 |- { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ B
23		eqid 2258	. . . . . . . . 9 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
24	2, 5, 23	lubss 14188	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CLat /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ B /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
25	22, 24	mp3an2 1270	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
26	25	ex 425	. . . . . 6 |- ( K e. CLat -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
27	19, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
28	27	3ad2ant1 981	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
29		hlomcmat 28804	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) )
30	29	3ad2ant1 981	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) )
31		simp2 961	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
32	2, 5, 23, 3	atlatmstc 28759	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) = X )
33	30, 31, 32	syl2anc 645	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) = X )
34		simp3 962	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
35	2, 5, 23, 3	atlatmstc 28759	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) = Y )
36	30, 34, 35	syl2anc 645	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) = Y )
37	33, 36	breq12d 4010	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) <-> X .<_ Y ) )
38	28, 37	sylibd 207	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> X .<_ Y ) )
39	18, 38	impbid 185	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
40		pmaple.m	. . . . 5 |- M = ( pmap ` K )
41	2, 5, 3, 40	pmapval 29196	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( M ` X ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } )
42	41	3adant3 980	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M ` X ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } )
43	2, 5, 3, 40	pmapval 29196	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ Y e. B ) -> ( M ` Y ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } )
44	43	3adant2 979	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M ` Y ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } )
45	42, 44	sseq12d 3182	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) <-> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
46	39, 45	bitr4d 249	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 6   <-> wb 178   /\ w3a 939   = wceq 1619   e. wcel 1621   A.wral 2518   {crab 2522   C_ wss 3127   class class class wbr 3997   ` cfv 4673   Basecbs 13111   lecple 13178   Posetcpo 14037   lubclub 14039   CLatccla 14176   OMLcoml 28615   Atomscatm 28703   AtLatcal 28704   HLchlt 28790   pmapcpmap 28936

This theorem is referenced by:  pmap11  29201  hlmod1i  29295  paddunN  29366  pmapojoinN  29407  pl42N  29422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-poset 14043  df-plt 14055  df-lub 14071  df-glb 14072  df-join 14073  df-meet 14074  df-p0 14108  df-lat 14115  df-clat 14177  df-oposet 28616  df-ol 28618  df-oml 28619  df-covers 28706  df-ats 28707  df-atl 28738  df-cvlat 28762  df-hlat 28791  df-pmap 28943