Theorem pmaple 30459

Description: The projective map of a Hilbert lattice preserves ordering. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmaple.b	|- B = ( Base ` K )
pmaple.l	|- .<_ = ( le ` K )
pmaple.m	|- M = ( pmap ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmaple	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) ) )

Proof of Theorem pmaple

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlpos 30064	. . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
2		pmaple.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` K )
3		eqid 2435	. . . . . . . . . 10 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
4	2, 3	atbase 29988	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
5		pmaple.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .<_ = ( le ` K )
6	2, 5	postr 14400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Poset /\ ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( p .<_ X /\ X .<_ Y ) -> p .<_ Y ) )
7	6	exp4b 591	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Poset -> ( ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
8	7	3expd 1170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Poset -> ( p e. B -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
9	8	com23 74	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. Poset -> ( X e. B -> ( p e. B -> ( Y e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
10	9	com34 79	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Poset -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( p e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) ) ) )
11	10	3imp 1147	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. B -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
12	4, 11	syl5 30	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
13	12	com34 79	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( X .<_ Y -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
14	13	com23 74	. . . . . 6 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
15	14	ralrimdv 2787	. . . . 5 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
16	1, 15	syl3an1 1217	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
17		ss2rab 3411	. . . 4 |- ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } <-> A. p e. ( Atoms ` K ) ( p .<_ X -> p .<_ Y ) )
18	16, 17	syl6ibr 219	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
19		hlclat 30057	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
20		ssrab2 3420	. . . . . . . . 9 |- { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ ( Atoms ` K )
21	2, 3	atssbase 29989	. . . . . . . . 9 |- ( Atoms ` K ) C_ B
22	20, 21	sstri 3349	. . . . . . . 8 |- { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ B
23		eqid 2435	. . . . . . . . 9 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
24	2, 5, 23	lubss 14538	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CLat /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } C_ B /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
25	22, 24	mp3an2 1267	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
26	25	ex 424	. . . . . 6 |- ( K e. CLat -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
27	19, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
28	27	3ad2ant1 978	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) ) )
29		hlomcmat 30063	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) )
30	29	3ad2ant1 978	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) )
31		simp2 958	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
32	2, 5, 23, 3	atlatmstc 30018	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) = X )
33	30, 31, 32	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) = X )
34		simp3 959	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
35	2, 5, 23, 3	atlatmstc 30018	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) = Y )
36	30, 34, 35	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) = Y )
37	33, 36	breq12d 4217	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) <-> X .<_ Y ) )
38	28, 37	sylibd 206	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } -> X .<_ Y ) )
39	18, 38	impbid 184	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
40		pmaple.m	. . . . 5 |- M = ( pmap ` K )
41	2, 5, 3, 40	pmapval 30455	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( M ` X ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } )
42	41	3adant3 977	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M ` X ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } )
43	2, 5, 3, 40	pmapval 30455	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ Y e. B ) -> ( M ` Y ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } )
44	43	3adant2 976	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M ` Y ) = { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } )
45	42, 44	sseq12d 3369	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) <-> { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ X } C_ { p e. ( Atoms ` K ) | p .<_ Y } ) )
46	39, 45	bitr4d 248	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> ( M ` X ) C_ ( M ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ w3a 936   = wceq 1652   e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   Basecbs 13459   lecple 13526   Posetcpo 14387   lubclub 14389   CLatccla 14526   OMLcoml 29874   Atomscatm 29962   AtLatcal 29963   HLchlt 30049   pmapcpmap 30195

This theorem is referenced by:  pmap11  30460  hlmod1i  30554  paddunN  30625  pmapojoinN  30666  pl42N  30681

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14393  df-plt 14405  df-lub 14421  df-glb 14422  df-join 14423  df-meet 14424  df-p0 14458  df-lat 14465  df-clat 14527  df-oposet 29875  df-ol 29877  df-oml 29878  df-covers 29965  df-ats 29966  df-atl 29997  df-cvlat 30021  df-hlat 30050  df-pmap 30202