Theorem pn0sr 5182

Description: A signed real plus its negative is zero.

Assertion

Ref	Expression
pn0sr	|- (A e. R. -> (A +R (A .R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1idsr 5179	. . 3 |- (A e. R. -> (A .R 1R) = A)
2	1	opreq1d 3960	. 2 |- (A e. R. -> ((A .R 1R) +R (A .R -1R)) = (A +R (A .R -1R)))
3		00sr 5180	. . 3 |- (A e. R. -> (A .R 0R) = 0R)
4		m1r 5163	. . . . . 6 |- -1R e. R.
5	4	elisseti 1809	. . . . 5 |- -1R e. V
6		1r 5162	. . . . . 6 |- 1R e. R.
7	6	elisseti 1809	. . . . 5 |- 1R e. V
8	5, 7	distrsr 5172	. . . 4 |- (A .R (-1R +R 1R)) = ((A .R -1R) +R (A .R 1R))
9		m1p1sr 5173	. . . . 5 |- (-1R +R 1R) = 0R
10	9	opreq2i 3957	. . . 4 |- (A .R (-1R +R 1R)) = (A .R 0R)
11		oprex 3968	. . . . 5 |- (A .R -1R) e. V
12		oprex 3968	. . . . 5 |- (A .R 1R) e. V
13	11, 12	addcomsr 5168	. . . 4 |- ((A .R -1R) +R (A .R 1R)) = ((A .R 1R) +R (A .R -1R))
14	8, 10, 13	3eqtr3 1495	. . 3 |- (A .R 0R) = ((A .R 1R) +R (A .R -1R))
15	3, 14	syl5eqr 1513	. 2 |- (A e. R. -> ((A .R 1R) +R (A .R -1R)) = 0R)
16	2, 15	eqtr3d 1501	1 |- (A e. R. -> (A +R (A .R -1R)) = 0R)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  R.cnr 4965  0Rc0r 4966  1Rc1r 4967  -1Rcm1r 4968   +R cplr 4969   .R cmr 4970

This theorem is referenced by:  negexsr 5183  sqgt0sr 5187  supsrlem2 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145

Copyright terms: Public domain