MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pn0sr Unicode version

Theorem pn0sr 8725
Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pn0sr  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )

Proof of Theorem pn0sr
StepHypRef Expression
1 1idsr 8722 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  1R )  =  A )
21oveq1d 5875 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
3 distrsr 8715 . . . 4  |-  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )
4 m1p1sr 8716 . . . . 5  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
54oveq2i 5871 . . . 4  |-  ( A  .R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( A  .R  0R )
6 addcomsr 8711 . . . 4  |-  ( ( A  .R  -1R )  +R  ( A  .R  1R ) )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )
73, 5, 63eqtr3i 2313 . . 3  |-  ( A  .R  0R )  =  ( ( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )
8 00sr 8723 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  0R )  =  0R )
97, 8syl5eqr 2331 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  1R )  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
102, 9eqtr3d 2319 1  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1625    e. wcel 1686  (class class class)co 5860   R.cnr 8491   0Rc0r 8492   1Rc1r 8493   -1Rcm1r 8494    +R cplr 8495    .R cmr 8496
This theorem is referenced by:  negexsr  8726  sqgt0sr  8730  map2psrpr  8734  axrnegex  8786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-ec 6664  df-qs 6668  df-ni 8498  df-pli 8499  df-mi 8500  df-lti 8501  df-plpq 8534  df-mpq 8535  df-ltpq 8536  df-enq 8537  df-nq 8538  df-erq 8539  df-plq 8540  df-mq 8541  df-1nq 8542  df-rq 8543  df-ltnq 8544  df-np 8607  df-1p 8608  df-plp 8609  df-mp 8610  df-ltp 8611  df-plpr 8681  df-mpr 8682  df-enr 8683  df-nr 8684  df-plr 8685  df-mr 8686  df-0r 8688  df-1r 8689  df-m1r 8690
  Copyright terms: Public domain W3C validator