MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3d Unicode version

Theorem pncan3d 9348
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
pncan3d  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )

Proof of Theorem pncan3d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 pncan3 9247 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6022   CCcc 8923    + caddc 8928    - cmin 9225
This theorem is referenced by:  xralrple  10725  quoremz  11165  intfrac2  11168  intfrac  11192  isercoll2  12391  iseralt  12407  mertenslem1  12590  eflt  12647  efival  12682  bitsmod  12877  bitsinv1lem  12882  odzdvds  13110  pcaddlem  13186  vdwapun  13271  vdwlem12  13289  odmodnn0  15107  mndodconglem  15108  minveclem4  19202  ivthlem2  19218  dvn2bss  19685  ftc2  19797  mdegmullem  19870  plymullem1  20002  dvtaylp  20155  dvntaylp  20156  dvntaylp0  20157  taylthlem1  20158  ulmbdd  20183  affineequiv  20536  mcubic  20556  quart1lem  20564  quart1  20565  asinsin  20601  birthdaylem2  20660  emcllem6  20708  perfectlem2  20883  lgseisenlem4  21005  lgsquadlem1  21007  dchrisumlem1  21052  dchrvmasum2if  21060  dchrisum0lem1  21079  selberg3  21122  smcnlem  22043  fprodser  25056  risefacfac  25119  fallfacfwd  25121  axsegconlem10  25581  itg2addnc  25961  itgsinexp  27419  sigarcol  27524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-ltxr 9060  df-sub 9227
  Copyright terms: Public domain W3C validator