Theorem pnfnemnf 5517

Description: Plus and minus infinity are distinguished elements of RR*.

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	|- +oo =/= -oo

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 4458	. . 3 |- -. +oo ~< +oo
2		df-mnf 5468	. . . . 5 |- -oo = P~ +oo
3	2	eqeq2i 1482	. . . 4 |- ( +oo = -oo <-> +oo = P~ +oo)
4		df-pnf 5467	. . . . . . 7 |- +oo = P~U.CC
5		axcnex 5247	. . . . . . . . 9 |- CC e. V
6	5	uniex 2865	. . . . . . . 8 |- U.CC e. V
7	6	pwex 2740	. . . . . . 7 |- P~U.CC e. V
8	4, 7	eqeltr 1541	. . . . . 6 |- +oo e. V
9	8	canth2 4470	. . . . 5 |- +oo ~< P~ +oo
10		breq2 2618	. . . . 5 |- ( +oo = P~ +oo -> ( +oo ~< +oo <-> +oo ~< P~ +oo))
11	9, 10	mpbiri 194	. . . 4 |- ( +oo = P~ +oo -> +oo ~< +oo)
12	3, 11	sylbi 199	. . 3 |- ( +oo = -oo -> +oo ~< +oo)
13	1, 12	mto 106	. 2 |- -. +oo = -oo
14		df-ne 1584	. 2 |- ( +oo =/= -oo <-> -. +oo = -oo)
15	13, 14	mpbir 190	1 |- +oo =/= -oo

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 954   =/= wne 1582  Vcvv 1807  P~cpw 2397  U.cuni 2498   class class class wbr 2614   ~< csdm 4356  CCcc 5212   +oocpnf 5463   -oocmnf 5464

This theorem is referenced by:  xrltnrt 5522  pnfnltt 5527  nltmnft 5528

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-nq 5018  df-np 5066  df-nr 5147  df-c 5220  df-pnf 5467  df-mnf 5468

Copyright terms: Public domain