Theorem pnfxr 5476

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals.

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pnf 5470	. . . . . 6 |- +oo = P~U.CC
2		axcnex 5250	. . . . . . . 8 |- CC e. V
3	2	uniex 2866	. . . . . . 7 |- U.CC e. V
4	3	pwex 2741	. . . . . 6 |- P~U.CC e. V
5	1, 4	eqeltr 1542	. . . . 5 |- +oo e. V
6	5	pri1 2447	. . . 4 |- +oo e. { +oo, -oo}
7	6	olci 271	. . 3 |- ( +oo e. RR \/ +oo e. { +oo, -oo})
8		elun 2170	. . 3 |- ( +oo e. (RR u. { +oo, -oo}) <-> ( +oo e. RR \/ +oo e. { +oo, -oo}))
9	7, 8	mpbir 190	. 2 |- +oo e. (RR u. { +oo, -oo})
10		df-xr 5472	. 2 |- RR* = (RR u. { +oo, -oo})
11	9, 10	eleqtrr 1545	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   \/ wo 222   e. wcel 957  Vcvv 1808   u. cun 2042  P~cpw 2398  {cpr 2407  U.cuni 2499  CCcc 5215  RRcr 5216   +oocpnf 5466   -oocmnf 5467  RR*cxr 5468

This theorem is referenced by:  ltxrt 5478  elxr 5518  ssxr 5523  xrltnrt 5524  ltpnft 5525  mnfltpnf 5527  pnfnltt 5529  pnfget 5531  nltpnftt 5549  xrret 5552  xrre2t 5553  xrsupsslem 6033  xrinfmsslem 6034  xrinfmss 6036  supxrpnf 6045  supxrunb1 6046  supxrunb2 6047  supxrbnd 6048  qbtwnxr 6229  elioc2t 6335  elico2t 6336  elicc2t 6337  ioomax 6338  ioopos 6339  ioossre 6341  unirnioo 6348  tgioolem 7876  isblo3i 8420  cdrci 10440  truni1 10445

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-qs 4259  df-ni 4983  df-nq 5021  df-np 5069  df-nr 5150  df-c 5223  df-pnf 5470  df-xr 5472

Copyright terms: Public domain