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Theorem pnrmopn 17407
Description: An open set in a perfectly normal space is a countable union of closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnrmopn  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
)
Distinct variable groups:    A, f    f, J

Proof of Theorem pnrmopn
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pnrmtop 17405 . . . 4  |-  ( J  e. PNrm  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32opncld 17097 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( U. J  \  A )  e.  (
Clsd `  J )
)
41, 3sylan 458 . . 3  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  ( U. J  \  A )  e.  ( Clsd `  J
) )
5 pnrmcld 17406 . . 3  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  ( U. J  \  A )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  E. g  e.  ( J  ^m  NN ) ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g )
64, 5syldan 457 . 2  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. g  e.  ( J  ^m  NN ) ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g )
71ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
8 elmapi 7038 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  ->  g : NN --> J )
98adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  g : NN --> J )
109ffvelrnda 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( g `  x
)  e.  J )
112opncld 17097 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( g `  x
)  e.  J )  ->  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
127, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( U. J  \ 
( g `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
13 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )
1412, 13fmptd 5893 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
15 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( Clsd `  J )  e.  _V
16 nnex 10006 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
1715, 16elmap 7042 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )  <->  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
1814, 17sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
)
19 iundif2 4158 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  ( U. J  \  |^|_ x  e.  NN  ( g `
 x ) )
20 ffn 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN --> J  -> 
g  Fn  NN )
21 fniinfv 5785 . . . . . . . . 9  |-  ( g  Fn  NN  ->  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  |^| ran  g )
229, 20, 213syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  |^| ran  g )
2322difeq2d 3465 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  ( U. J  \  |^|_ x  e.  NN  ( g `  x ) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
2419, 23syl5eq 2480 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
25 uniexg 4706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e. PNrm  ->  U. J  e.  _V )
26 difexg 4351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e. PNrm  ->  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  _V )
2827ralrimivw 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e. PNrm  ->  A. x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V )
2928adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  A. x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  e.  _V )
30 dfiun2g 4123 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  e.  _V  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  (
g `  x )
)  =  U. {
f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  (
g `  x )
) } )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  U. { f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  ( g `  x
) ) } )
3213rnmpt 5116 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  =  {
f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  (
g `  x )
) }
3332unieqi 4025 . . . . . . 7  |-  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  =  U. { f  |  E. x  e.  NN  f  =  ( U. J  \  ( g `  x
) ) }
3431, 33syl6eqr 2486 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  U_ x  e.  NN  ( U. J  \  ( g `  x
) )  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3524, 34eqtr3d 2470 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  ( U. J  \  |^| ran  g )  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
36 rneq 5095 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  ->  ran  f  =  ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3736unieqd 4026 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  ->  U. ran  f  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) )
3837eqeq2d 2447 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) )  -> 
( ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  U. ran  f  <->  ( U. J  \  |^| ran  g
)  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) ) ) )
3938rspcev 3052 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  (
g `  x )
) )  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( U. J  \  ( g `  x
) ) ) )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f )
4018, 35, 39syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  g  e.  ( J  ^m  NN ) )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f )
4140ad2ant2r 728 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  ->  E. f  e.  (
( Clsd `  J )  ^m  NN ) ( U. J  \  |^| ran  g
)  =  U. ran  f )
42 difeq2 3459 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  ( U. J  \  |^| ran  g ) )
4342eqcomd 2441 . . . . . . 7  |-  ( ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g  ->  ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) ) )
44 elssuni 4043 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
45 dfss4 3575 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  A )
4644, 45sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  J  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  A ) )  =  A )
4743, 46sylan9eqr 2490 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  J  /\  ( U. J  \  A
)  =  |^| ran  g )  ->  ( U. J  \  |^| ran  g )  =  A )
4847ad2ant2l 727 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( U. J  \  |^| ran  g )  =  A )
4948eqeq1d 2444 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( ( U. J  \ 
|^| ran  g )  =  U. ran  f  <->  A  =  U. ran  f ) )
5049rexbidv 2726 . . 3  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  -> 
( E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN )
( U. J  \  |^| ran  g )  = 
U. ran  f  <->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
) )
5141, 50mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  /\  ( g  e.  ( J  ^m  NN )  /\  ( U. J  \  A )  =  |^| ran  g ) )  ->  E. f  e.  (
( Clsd `  J )  ^m  NN ) A  = 
U. ran  f )
526, 51rexlimddv 2834 1  |-  ( ( J  e. PNrm  /\  A  e.  J )  ->  E. f  e.  ( ( Clsd `  J
)  ^m  NN ) A  =  U. ran  f
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   U.cuni 4015   |^|cint 4050   U_ciun 4093   |^|_ciin 4094    e. cmpt 4266   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   NNcn 10000   Topctop 16958   Clsdccld 17080  PNrmcpnrm 17376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-map 7020  df-nn 10001  df-top 16963  df-cld 17083  df-nrm 17381  df-pnrm 17383
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