Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnrmopn Structured version   Unicode version

Theorem pnrmopn 17407
 Description: An open set in a perfectly normal space is a countable union of closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pnrmopn PNrm
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem pnrmopn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pnrmtop 17405 . . . 4 PNrm
2 eqid 2436 . . . . 5
32opncld 17097 . . . 4
41, 3sylan 458 . . 3 PNrm
5 pnrmcld 17406 . . 3 PNrm
64, 5syldan 457 . 2 PNrm
71ad2antrr 707 . . . . . . . 8 PNrm
8 elmapi 7038 . . . . . . . . . 10
98adantl 453 . . . . . . . . 9 PNrm
109ffvelrnda 5870 . . . . . . . 8 PNrm
112opncld 17097 . . . . . . . 8
127, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . 7 PNrm
13 eqid 2436 . . . . . . 7
1412, 13fmptd 5893 . . . . . 6 PNrm
15 fvex 5742 . . . . . . 7
16 nnex 10006 . . . . . . 7
1715, 16elmap 7042 . . . . . 6
1814, 17sylibr 204 . . . . 5 PNrm
19 iundif2 4158 . . . . . . 7
20 ffn 5591 . . . . . . . . 9
21 fniinfv 5785 . . . . . . . . 9
229, 20, 213syl 19 . . . . . . . 8 PNrm
2322difeq2d 3465 . . . . . . 7 PNrm
2419, 23syl5eq 2480 . . . . . 6 PNrm
25 uniexg 4706 . . . . . . . . . . 11 PNrm
26 difexg 4351 . . . . . . . . . . 11
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10 PNrm
2827ralrimivw 2790 . . . . . . . . 9 PNrm
2928adantr 452 . . . . . . . 8 PNrm
30 dfiun2g 4123 . . . . . . . 8
3129, 30syl 16 . . . . . . 7 PNrm
3213rnmpt 5116 . . . . . . . 8
3332unieqi 4025 . . . . . . 7
3431, 33syl6eqr 2486 . . . . . 6 PNrm
3524, 34eqtr3d 2470 . . . . 5 PNrm
36 rneq 5095 . . . . . . . 8
3736unieqd 4026 . . . . . . 7
3837eqeq2d 2447 . . . . . 6
3938rspcev 3052 . . . . 5
4018, 35, 39syl2anc 643 . . . 4 PNrm
4140ad2ant2r 728 . . 3 PNrm
42 difeq2 3459 . . . . . . . 8
4342eqcomd 2441 . . . . . . 7
44 elssuni 4043 . . . . . . . 8
45 dfss4 3575 . . . . . . . 8
4644, 45sylib 189 . . . . . . 7
4743, 46sylan9eqr 2490 . . . . . 6
4847ad2ant2l 727 . . . . 5 PNrm
4948eqeq1d 2444 . . . 4 PNrm
5049rexbidv 2726 . . 3 PNrm
5141, 50mpbid 202 . 2 PNrm
526, 51rexlimddv 2834 1 PNrm
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  cuni 4015  cint 4050  ciun 4093  ciin 4094   cmpt 4266   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  cn 10000  ctop 16958  ccld 17080  PNrmcpnrm 17376 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-map 7020  df-nn 10001  df-top 16963  df-cld 17083  df-nrm 17381  df-pnrm 17383
 Copyright terms: Public domain W3C validator