MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt Unicode version

Theorem pnt 20690
Description: The Prime Number Theorem: the number of prime numbers less than  x tends asymptotically to  x  /  log (
x ) as  x goes to infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (π `  x )  /  (
x  /  ( log `  x ) ) ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem pnt
StepHypRef Expression
1 1re 8770 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 rexr 8810 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
31, 2ax-mp 10 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
4 1lt2 9818 . . . . . 6  |-  1  <  2
5 df-ioo 10591 . . . . . . 7  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
6 df-ico 10593 . . . . . . 7  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
7 xrltletr 10420 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  2  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  w )  ->  1  <  w
) )
85, 6, 7ixxss1 10605 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  1  <  2 )  ->  (
2 [,)  +oo )  C_  ( 1 (,)  +oo ) )
93, 4, 8mp2an 656 . . . . 5  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  (
1 (,)  +oo )
10 resmpt 4953 . . . . 5  |-  ( ( 2 [,)  +oo )  C_  ( 1 (,)  +oo )  ->  ( ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (π `  x )  /  (
x  /  ( log `  x ) ) ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (π `  x )  / 
( x  /  ( log `  x ) ) ) ) )
119, 10mp1i 13 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( (π `  x
)  /  ( x  /  ( log `  x
) ) ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (π `  x )  /  (
x  /  ( log `  x ) ) ) ) )
129sseli 3118 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )
13 ioossre 10643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
1413sseli 3118 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
1512, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
16 2re 9748 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
17 pnfxr 10387 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
18 elico2 10645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x  /\  x  <  +oo ) ) )
1916, 17, 18mp2an 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x  /\  x  <  +oo ) )
2019simp2bi 976 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  <_  x )
21 chtrpcl 20340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
( theta `  x )  e.  RR+ )
2215, 20, 21syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR+ )
23 0re 8771 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
2423a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
251a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
26 0lt1 9229 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
2726a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  0  <  1 )
28 eliooord 10641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
2928simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  1  <  x )
3024, 25, 14, 27, 29lttrd 8910 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  0  <  x )
3114, 30elrpd 10320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
3212, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
3322, 32rpdivcld 10339 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  e.  RR+ )
3433adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  e.  RR+ )
35 ppinncl 20339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(π `  x )  e.  NN )
3615, 20, 35syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (π `  x )  e.  NN )
3736nnrpd 10321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (π `  x )  e.  RR+ )
3814, 29rplogcld 19907 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
3912, 38syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
4037, 39rpmulcld 10338 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR+ )
4122, 40rpdivcld 10339 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR+ )
4241adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR+ )
4332ssriv 3126 . . . . . . . 8  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+
44 resmpt 4953 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) ) )
4543, 44ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )
46 pnt2 20689 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1
47 rlimres 11962 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  ~~> r  1 )
4846, 47mp1i 13 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  ~~> r  1 )
4945, 48syl5eqbrr 3997 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  ~~> r  1 )
50 chtppilim 20551 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1
5150a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ~~> r  1 )
52 ax-1ne0 8739 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
5352a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  =/=  0
)
5441rpne0d 10327 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  =/=  0 )
5554adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  =/=  0 )
5634, 42, 49, 51, 53, 55rlimdiv 12049 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( ( theta `  x )  /  x
)  /  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  ~~> r  ( 1  /  1 ) )
5715recnd 8794 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  CC )
58 chtcl 20274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
5914, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
6059recnd 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
6112, 60syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
6257, 61mulcomd 8789 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
x  x.  ( theta `  x ) )  =  ( ( theta `  x
)  x.  x ) )
6362oveq2d 5773 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( ( theta `  x
)  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  /  ( x  x.  ( theta `  x
) ) )  =  ( ( ( theta `  x )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  / 
( ( theta `  x
)  x.  x ) ) )
6440rpcnd 10324 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
6532rpne0d 10327 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  =/=  0 )
6622rpne0d 10327 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  =/=  0 )
6764, 57, 61, 65, 66divcan5d 9495 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( ( theta `  x
)  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  /  ( (
theta `  x )  x.  x ) )  =  ( ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x ) )
6863, 67eqtrd 2288 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( ( theta `  x
)  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  /  ( x  x.  ( theta `  x
) ) )  =  ( ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x ) )
6940rpne0d 10327 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) )  =/=  0
)
7061, 57, 61, 64, 65, 69, 66divdivdivd 9516 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  /  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( ( (
theta `  x )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  / 
( x  x.  ( theta `  x ) ) ) )
7136nncnd 9695 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (π `  x )  e.  CC )
7239rpcnd 10324 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
7339rpne0d 10327 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
7471, 57, 72, 65, 73divdiv2d 9501 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  / 
( x  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  x
) )
7568, 70, 743eqtr4d 2298 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  /  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( (π `  x
)  /  ( x  /  ( log `  x
) ) ) )
7675mpteq2ia 4042 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( ( ( theta `  x )  /  x )  /  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (π `  x )  /  (
x  /  ( log `  x ) ) ) )
77 ax-1cn 8728 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7877div1i 9421 . . . . 5  |-  ( 1  /  1 )  =  1
7956, 76, 783brtr3g 3994 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (π `  x )  / 
( x  /  ( log `  x ) ) ) )  ~~> r  1 )
8011, 79eqbrtrd 3983 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( (π `  x
)  /  ( x  /  ( log `  x
) ) ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  ~~> r  1 )
81 ppicl 20296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (π `  x )  e.  NN0 )
8214, 81syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (π `  x )  e.  NN0 )
8382nn0red 9951 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (π `  x )  e.  RR )
8431, 38rpdivcld 10339 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
x  /  ( log `  x ) )  e.  RR+ )
8583, 84rerpdivcld 10349 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  / 
( x  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
8685recnd 8794 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  / 
( x  /  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
8786adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
(π `  x )  / 
( x  /  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
88 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (π `  x )  /  (
x  /  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (π `  x )  /  (
x  /  ( log `  x ) ) ) )
8987, 88fmptd 5583 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( (π `  x )  / 
( x  /  ( log `  x ) ) ) ) : ( 1 (,)  +oo ) --> CC )
9013a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR )
9116a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  2  e.  RR )
9289, 90, 91rlimresb 11969 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( (π `  x
)  /  ( x  /  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1  <->  ( (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( (π `  x )  /  (
x  /  ( log `  x ) ) ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  ~~> r  1 ) )
9380, 92mpbird 225 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( (π `  x )  / 
( x  /  ( log `  x ) ) ) )  ~~> r  1 )
9493trud 1320 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (π `  x )  /  (
x  /  ( log `  x ) ) ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ w3a 939    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419    C_ wss 3094   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017    |` cres 4628   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    x. cmul 8675    +oocpnf 8797   RR*cxr 8799    < clt 8800    <_ cle 8801    / cdiv 9356   NNcn 9679   2c2 9728   NN0cn0 9897   RR+crp 10286   (,)cioo 10587   [,)cico 10589    ~~> r crli 11889   logclog 19839   thetaccht 20255  πcppi 20258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-disj 3935  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-o1 11894  df-lo1 11895  df-sum 12089  df-ef 12276  df-e 12277  df-sin 12278  df-cos 12279  df-pi 12281  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-prime 12686  df-pc 12817  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-cmp 17041  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-limc 19143  df-dv 19144  df-log 19841  df-cxp 19842  df-em 20214  df-cht 20261  df-vma 20262  df-chp 20263  df-ppi 20264  df-mu 20265
  Copyright terms: Public domain W3C validator