MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt2 Unicode version

Theorem pnt2 20757
Description: The Prime Number Theorem, version 2: the first Chebyshev function tends asymptotically to  x. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt2  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem pnt2
StepHypRef Expression
1 2re 9811 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
2 elicopnf 10734 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4 chprpcl 20441 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR+ )
53, 4sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR+ )
63simplbi 448 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
7 0re 8834 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
87a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
91a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  e.  RR )
10 2pos 9824 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
1110a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  2 )
123simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  <_  x )
138, 9, 6, 11, 12ltletrd 8972 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
146, 13elrpd 10384 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
155, 14rpdivcld 10403 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  e.  RR+ )
1615adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  e.  RR+ )
17 chtrpcl 20408 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
( theta `  x )  e.  RR+ )
183, 17sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR+ )
195, 18rpdivcld 10403 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR+ )
2019adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR+ )
2114ssriv 3186 . . . . . . 7  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+
2221a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+ )
23 pnt3 20756 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1
2423a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
2522, 24rlimres2 12030 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  x ) )  ~~> r  1 )
26 chpchtlim 20623 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1
2726a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1 )
28 ax-1ne0 8802 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
2928a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  =/=  0
)
3020rpne0d 10391 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  =/=  0
)
3116, 20, 25, 27, 29, 30rlimdiv 12114 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  ~~> r  ( 1  /  1 ) )
32 rpre 10356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
33 chpcl 20357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
3534recnd 8857 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
3614, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
3714rpcnne0d 10395 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
385rpcnne0d 10395 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
) )
3918rpcnne0d 10395 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) )
40 divdivdiv 9457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
)  /\  ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  /  x
)  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( x  x.  (ψ `  x
) ) ) )
4136, 37, 38, 39, 40syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( x  x.  (ψ `  x
) ) ) )
426recnd 8857 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  CC )
4342, 36mulcomd 8852 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
x  x.  (ψ `  x ) )  =  ( (ψ `  x
)  x.  x ) )
4443oveq2d 5836 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( theta `  x ) )  / 
( x  x.  (ψ `  x ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x ) )  /  ( (ψ `  x )  x.  x
) ) )
45 chtcl 20342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4632, 45syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4746recnd 8857 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
4814, 47syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
49 divcan5 9458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (
(ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( theta `  x ) )  / 
( (ψ `  x
)  x.  x ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5048, 37, 38, 49syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( theta `  x ) )  / 
( (ψ `  x
)  x.  x ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5141, 44, 503eqtrd 2321 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5251mpteq2ia 4104 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )
53 resmpt 5000 . . . . . 6  |-  ( ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) ) )
5421, 53ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5552, 54eqtr4i 2308 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )  =  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )
56 ax-1cn 8791 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5756div1i 9484 . . . 4  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5831, 55, 573brtr3g 4056 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  ~~> r  1 )
59 rerpdivcl 10377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
6046, 59mpancom 652 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
6160adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
6261recnd 8857 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  CC )
63 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )
6462, 63fmptd 5646 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) ) : RR+ --> CC )
65 rpssre 10360 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
6665a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
671a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  2  e.  RR )
6864, 66, 67rlimresb 12034 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  ~~> r  1  <-> 
( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  ~~> r  1 ) )
6958, 68mpbird 225 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  ~~> r  1 )
7069trud 1316 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1309    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448    C_ wss 3154   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079    |` cres 4691   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    x. cmul 8738    +oocpnf 8860    < clt 8863    <_ cle 8864    / cdiv 9419   2c2 9791   RR+crp 10350   [,)cico 10653    ~~> r crli 11954   thetaccht 20323  ψcchp 20325
This theorem is referenced by:  pnt  20758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10655  df-ioc 10656  df-ico 10657  df-icc 10658  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-fl 10920  df-mod 10969  df-seq 11042  df-exp 11100  df-fac 11284  df-bc 11311  df-hash 11333  df-shft 11557  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-limsup 11940  df-clim 11957  df-rlim 11958  df-o1 11959  df-lo1 11960  df-sum 12154  df-ef 12344  df-e 12345  df-sin 12346  df-cos 12347  df-pi 12349  df-dvds 12527  df-gcd 12681  df-prm 12754  df-pc 12885  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-sets 13149  df-ress 13150  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-starv 13218  df-sca 13219  df-vsca 13220  df-tset 13222  df-ple 13223  df-ds 13225  df-hom 13227  df-cco 13228  df-rest 13322  df-topn 13323  df-topgen 13339  df-pt 13340  df-prds 13343  df-xrs 13398  df-0g 13399  df-gsum 13400  df-qtop 13405  df-imas 13406  df-xps 13408  df-mre 13483  df-mrc 13484  df-acs 13486  df-mnd 14362  df-submnd 14411  df-mulg 14487  df-cntz 14788  df-cmn 15086  df-xmet 16368  df-met 16369  df-bl 16370  df-mopn 16371  df-cnfld 16373  df-top 16631  df-bases 16633  df-topon 16634  df-topsp 16635  df-cld 16751  df-ntr 16752  df-cls 16753  df-nei 16830  df-lp 16863  df-perf 16864  df-cn 16952  df-cnp 16953  df-haus 17038  df-cmp 17109  df-tx 17252  df-hmeo 17441  df-fbas 17515  df-fg 17516  df-fil 17536  df-fm 17628  df-flim 17629  df-flf 17630  df-xms 17880  df-ms 17881  df-tms 17882  df-cncf 18377  df-limc 19211  df-dv 19212  df-log 19909  df-cxp 19910  df-em 20282  df-cht 20329  df-vma 20330  df-chp 20331  df-ppi 20332  df-mu 20333
  Copyright terms: Public domain W3C validator