MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt2 Unicode version

Theorem pnt2 20724
Description: The Prime Number Theorem, version 2: the first Chebyshev function tends asymptotically to  x. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt2  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem pnt2
StepHypRef Expression
1 2re 9783 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
2 elicopnf 10705 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4 chprpcl 20408 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR+ )
53, 4sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR+ )
63simplbi 448 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
7 0re 8806 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
87a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
91a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  e.  RR )
10 2pos 9796 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
1110a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  2 )
123simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  <_  x )
138, 9, 6, 11, 12ltletrd 8944 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
146, 13elrpd 10355 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
155, 14rpdivcld 10374 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  e.  RR+ )
1615adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  e.  RR+ )
17 chtrpcl 20375 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
( theta `  x )  e.  RR+ )
183, 17sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR+ )
195, 18rpdivcld 10374 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR+ )
2019adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR+ )
2114ssriv 3159 . . . . . . 7  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+
2221a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+ )
23 pnt3 20723 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1
2423a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
2522, 24rlimres2 12000 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  x ) )  ~~> r  1 )
26 chpchtlim 20590 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1
2726a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1 )
28 ax-1ne0 8774 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
2928a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  =/=  0
)
3020rpne0d 10362 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  =/=  0
)
3116, 20, 25, 27, 29, 30rlimdiv 12084 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  ~~> r  ( 1  /  1 ) )
32 rpre 10327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
33 chpcl 20324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
3534recnd 8829 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
3614, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
3714rpcnne0d 10366 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
385rpcnne0d 10366 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
) )
3918rpcnne0d 10366 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) )
40 divdivdiv 9429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
)  /\  ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  /  x
)  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( x  x.  (ψ `  x
) ) ) )
4136, 37, 38, 39, 40syl22anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( x  x.  (ψ `  x
) ) ) )
426recnd 8829 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  CC )
4342, 36mulcomd 8824 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
x  x.  (ψ `  x ) )  =  ( (ψ `  x
)  x.  x ) )
4443oveq2d 5808 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( theta `  x ) )  / 
( x  x.  (ψ `  x ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x ) )  /  ( (ψ `  x )  x.  x
) ) )
45 chtcl 20309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4632, 45syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4746recnd 8829 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
4814, 47syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
49 divcan5 9430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (
(ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( theta `  x ) )  / 
( (ψ `  x
)  x.  x ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5048, 37, 38, 49syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( theta `  x ) )  / 
( (ψ `  x
)  x.  x ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5141, 44, 503eqtrd 2294 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5251mpteq2ia 4076 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )
53 resmpt 4988 . . . . . 6  |-  ( ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) ) )
5421, 53ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5552, 54eqtr4i 2281 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )  =  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )
56 ax-1cn 8763 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5756div1i 9456 . . . 4  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5831, 55, 573brtr3g 4028 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  ~~> r  1 )
59 rerpdivcl 10348 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
6046, 59mpancom 653 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
6160adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
6261recnd 8829 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  CC )
63 eqid 2258 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )
6462, 63fmptd 5618 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) ) : RR+ --> CC )
65 rpssre 10331 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
6665a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
671a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  2  e.  RR )
6864, 66, 67rlimresb 12004 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  ~~> r  1  <-> 
( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  ~~> r  1 ) )
6958, 68mpbird 225 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  ~~> r  1 )
7069trud 1320 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421    C_ wss 3127   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    |` cres 4663   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    x. cmul 8710    +oocpnf 8832    < clt 8835    <_ cle 8836    / cdiv 9391   2c2 9763   RR+crp 10321   [,)cico 10624    ~~> r crli 11924   thetaccht 20290  ψcchp 20292
This theorem is referenced by:  pnt  20725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-disj 3968  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ioc 10627  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-mod 10940  df-seq 11013  df-exp 11071  df-fac 11255  df-bc 11282  df-hash 11304  df-shft 11527  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-limsup 11910  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-o1 11929  df-lo1 11930  df-sum 12124  df-ef 12311  df-e 12312  df-sin 12313  df-cos 12314  df-pi 12316  df-divides 12494  df-gcd 12648  df-prime 12721  df-pc 12852  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cld 16718  df-ntr 16719  df-cls 16720  df-nei 16797  df-lp 16830  df-perf 16831  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-haus 17005  df-cmp 17076  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-fbas 17482  df-fg 17483  df-fil 17503  df-fm 17595  df-flim 17596  df-flf 17597  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-limc 19178  df-dv 19179  df-log 19876  df-cxp 19877  df-em 20249  df-cht 20296  df-vma 20297  df-chp 20298  df-ppi 20299  df-mu 20300
  Copyright terms: Public domain W3C validator