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Theorem pnt3 20756
Description: The Prime Number Theorem, version 3: the second Chebyshev function tends asymptotically to  x. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1
Dummy variables  a 
b  c  e  f  g  k  l  r  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem pnt3
StepHypRef Expression
1 eqid 2285 . . 3  |-  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) )  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) )
21pntrmax 20708 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. r  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b
31pntibnd 20737 . . . 4  |-  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )
4 simpll 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  b  e.  RR+ )
5 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )
6 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  (
( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  =  ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
) )
7 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  r  =  x )
86, 7oveq12d 5838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  x  ->  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r )  =  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )
98fveq2d 5490 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  =  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) ) )
109breq1d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )  <_  b )
)
1110cbvralv 2766 . . . . . . . 8  |-  ( A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b  <->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )  <_  b )
125, 11sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 x )  /  x ) )  <_ 
b )
13 simprll 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
14 simprlr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )
15 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( b  +  1 )  =  ( b  +  1 )
16 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( 1  /  ( b  +  1 ) ) )  x.  ( ( l  /  (; 3 2  x.  c
) )  /  (
( b  +  1 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
1  /  ( b  +  1 ) ) )  x.  ( ( l  /  (; 3 2  x.  c
) )  /  (
( b  +  1 ) ^ 2 ) ) )
17 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
18 breq2 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
y  <  z  <->  y  <  g ) )
19 oveq2 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  g  ->  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  =  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) )
2019breq1d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) ) )
2118, 20anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  g  ->  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) ) ) )
22 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  g  ->  z  =  g )
2322, 19oveq12d 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) )  =  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) )
2423raleqdv 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  g  ->  ( A. u  e.  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  A. u  e.  ( g [,] (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
2521, 24anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  g  ->  (
( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )  <->  ( ( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
2625cbvrexv 2767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( y  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) )
27 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  f  ->  (
y  <  g  <->  f  <  g ) )
28 oveq2 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  f  ->  (
k  x.  y )  =  ( k  x.  f ) )
2928breq2d 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) ) )
3027, 29anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  f  ->  (
( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) ) ) )
3130anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( y  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )  <->  ( ( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3231rexbidv 2566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  f  ->  ( E. g  e.  RR+  (
( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( f  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3326, 32syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  f  ->  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( f  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3433cbvralv 2766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( r (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
35 oveq1 5827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  x  ->  (
r (,)  +oo )  =  ( x (,)  +oo ) )
3635raleqdv 2744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  ( A. f  e.  (
r (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  (
( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
) )
3734, 36syl5bb 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  x  ->  ( A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
) )
3837ralbidv 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  x  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  (
x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  (
( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3938cbvrexv 2767 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  (
x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  (
( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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 u )  /  u ) )  <_ 
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4039ralbii 2569 . . . . . . . 8  |-  ( A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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 u )  /  u ) )  <_ 
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  (
x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  (
( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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4117, 40sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  ( x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
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) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
421, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 41pntleml 20755 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
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r ) )  <_ 
b )  /\  (
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
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 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1 )
4342expr 600 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
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r ) )  <_ 
b )  /\  (
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) ) )  -> 
( A. e  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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) )  ~~> r  1 ) )
4443rexlimdvva 2676 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
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z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 ) )
453, 44mpi 18 . . 3  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
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4645rexlimiva 2664 . 2  |-  ( E. b  e.  RR+  A. r  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1 )
472, 46ax-mp 10 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545   E.wrex 2546   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    +oocpnf 8860    < clt 8863    <_ cle 8864    - cmin 9033    / cdiv 9419   2c2 9791   3c3 9792  ;cdc 10120   RR+crp 10350   (,)cioo 10651   [,)cico 10653   [,]cicc 10654   ^cexp 11099   abscabs 11714    ~~> r crli 11954   expce 12338  ψcchp 20325
This theorem is referenced by:  pnt2  20757
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10655  df-ioc 10656  df-ico 10657  df-icc 10658  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-fl 10920  df-mod 10969  df-seq 11042  df-exp 11100  df-fac 11284  df-bc 11311  df-hash 11333  df-shft 11557  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-limsup 11940  df-clim 11957  df-rlim 11958  df-o1 11959  df-lo1 11960  df-sum 12154  df-ef 12344  df-e 12345  df-sin 12346  df-cos 12347  df-pi 12349  df-dvds 12527  df-gcd 12681  df-prm 12754  df-pc 12885  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-sets 13149  df-ress 13150  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-starv 13218  df-sca 13219  df-vsca 13220  df-tset 13222  df-ple 13223  df-ds 13225  df-hom 13227  df-cco 13228  df-rest 13322  df-topn 13323  df-topgen 13339  df-pt 13340  df-prds 13343  df-xrs 13398  df-0g 13399  df-gsum 13400  df-qtop 13405  df-imas 13406  df-xps 13408  df-mre 13483  df-mrc 13484  df-acs 13486  df-mnd 14362  df-submnd 14411  df-mulg 14487  df-cntz 14788  df-cmn 15086  df-xmet 16368  df-met 16369  df-bl 16370  df-mopn 16371  df-cnfld 16373  df-top 16631  df-bases 16633  df-topon 16634  df-topsp 16635  df-cld 16751  df-ntr 16752  df-cls 16753  df-nei 16830  df-lp 16863  df-perf 16864  df-cn 16952  df-cnp 16953  df-haus 17038  df-cmp 17109  df-tx 17252  df-hmeo 17441  df-fbas 17515  df-fg 17516  df-fil 17536  df-fm 17628  df-flim 17629  df-flf 17630  df-xms 17880  df-ms 17881  df-tms 17882  df-cncf 18377  df-limc 19211  df-dv 19212  df-log 19909  df-cxp 19910  df-em 20282  df-cht 20329  df-vma 20330  df-chp 20331  df-ppi 20332  df-mu 20333
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