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Theorem pnt3 21294
Description: The Prime Number Theorem, version 3: the second Chebyshev function tends asymptotically to  x. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1

Proof of Theorem pnt3
Dummy variables  a 
b  c  e  f  g  k  l  r  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) )  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) )
21pntrmax 21246 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. r  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b
31pntibnd 21275 . . . 4  |-  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )
4 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  b  e.  RR+ )
5 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )
6 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  (
( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  =  ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
) )
7 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  r  =  x )
86, 7oveq12d 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  x  ->  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r )  =  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )
98fveq2d 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  =  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) ) )
109breq1d 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )  <_  b )
)
1110cbvralv 2924 . . . . . . . 8  |-  ( A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b  <->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )  <_  b )
125, 11sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 x )  /  x ) )  <_ 
b )
13 simprll 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
14 simprlr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )
15 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( b  +  1 )  =  ( b  +  1 )
16 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( 1  /  ( b  +  1 ) ) )  x.  ( ( l  /  (; 3 2  x.  c
) )  /  (
( b  +  1 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
1  /  ( b  +  1 ) ) )  x.  ( ( l  /  (; 3 2  x.  c
) )  /  (
( b  +  1 ) ^ 2 ) ) )
17 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
18 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
y  <  z  <->  y  <  g ) )
19 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  g  ->  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  =  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) )
2019breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) ) )
2118, 20anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  g  ->  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) ) ) )
22 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  g  ->  z  =  g )
2322, 19oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) )  =  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) )
2423raleqdv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  g  ->  ( A. u  e.  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  A. u  e.  ( g [,] (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
2521, 24anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  g  ->  (
( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )  <->  ( ( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
2625cbvrexv 2925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( y  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) )
27 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  f  ->  (
y  <  g  <->  f  <  g ) )
28 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  f  ->  (
k  x.  y )  =  ( k  x.  f ) )
2928breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) ) )
3027, 29anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  f  ->  (
( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) ) ) )
3130anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( y  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )  <->  ( ( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3231rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  f  ->  ( E. g  e.  RR+  (
( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( f  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3326, 32syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  f  ->  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( f  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3433cbvralv 2924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( r (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
35 oveq1 6079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  x  ->  (
r (,)  +oo )  =  ( x (,)  +oo ) )
3635raleqdv 2902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  ( A. f  e.  (
r (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  (
( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
) )
3734, 36syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  x  ->  ( A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
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)  /  u ) )  <_  e )
) )
3837ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  x  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  (
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( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3938cbvrexv 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  (
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4039ralbii 2721 . . . . . . . 8  |-  ( A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  (
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( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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4117, 40sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
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r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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e ) ) )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  ( x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
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)  /  u ) )  <_  e )
)
421, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 41pntleml 21293 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
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b )  /\  (
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 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1 )
4342expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
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r ) )  <_ 
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( A. e  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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4443rexlimdvva 2829 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
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z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 ) )
453, 44mpi 17 . . 3  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
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4645rexlimiva 2817 . 2  |-  ( E. b  e.  RR+  A. r  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1 )
472, 46ax-mp 8 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    +oocpnf 9106    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280    / cdiv 9666   2c2 10038   3c3 10039  ;cdc 10371   RR+crp 10601   (,)cioo 10905   [,)cico 10907   [,]cicc 10908   ^cexp 11370   abscabs 12027    ~~> r crli 12267   expce 12652  ψcchp 20863
This theorem is referenced by:  pnt2  21295
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-o1 12272  df-lo1 12273  df-sum 12468  df-ef 12658  df-e 12659  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-prm 13068  df-pc 13199  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742  df-log 20442  df-cxp 20443  df-em 20819  df-cht 20867  df-vma 20868  df-chp 20869  df-ppi 20870  df-mu 20871
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