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Theorem pnt3 20873
Description: The Prime Number Theorem, version 3: the second Chebyshev function tends asymptotically to  x. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt3  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1

Proof of Theorem pnt3
Dummy variables  a 
b  c  e  f  g  k  l  r  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . 3  |-  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) )  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) )
21pntrmax 20825 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. r  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b
31pntibnd 20854 . . . 4  |-  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )
4 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  b  e.  RR+ )
5 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )
6 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  (
( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  =  ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
) )
7 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  r  =  x )
86, 7oveq12d 5963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  x  ->  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r )  =  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )
98fveq2d 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  =  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) ) )
109breq1d 4114 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )  <_  b )
)
1110cbvralv 2840 . . . . . . . 8  |-  ( A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  r
)  /  r ) )  <_  b  <->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  x
)  /  x ) )  <_  b )
125, 11sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 x )  /  x ) )  <_ 
b )
13 simprll 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
14 simprlr 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )
15 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( b  +  1 )  =  ( b  +  1 )
16 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  ( 1  /  ( b  +  1 ) ) )  x.  ( ( l  /  (; 3 2  x.  c
) )  /  (
( b  +  1 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
1  /  ( b  +  1 ) ) )  x.  ( ( l  /  (; 3 2  x.  c
) )  /  (
( b  +  1 ) ^ 2 ) ) )
17 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 r )  / 
r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
18 breq2 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
y  <  z  <->  y  <  g ) )
19 oveq2 5953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  g  ->  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  =  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) )
2019breq1d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) ) )
2118, 20anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  g  ->  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) ) ) )
22 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  g  ->  z  =  g )
2322, 19oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  g  ->  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) )  =  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) )
2423raleqdv 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  g  ->  ( A. u  e.  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  A. u  e.  ( g [,] (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
2521, 24anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  g  ->  (
( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )  <->  ( ( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
2625cbvrexv 2841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( y  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) )
27 breq1 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  f  ->  (
y  <  g  <->  f  <  g ) )
28 oveq2 5953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  f  ->  (
k  x.  y )  =  ( k  x.  f ) )
2928breq2d 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) ) )
3027, 29anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  f  ->  (
( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) ) ) )
3130anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( y  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )  <->  ( ( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3231rexbidv 2640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  f  ->  ( E. g  e.  RR+  (
( y  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( f  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3326, 32syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  f  ->  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  E. g  e.  RR+  ( ( f  <  g  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3433cbvralv 2840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( r (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
35 oveq1 5952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  x  ->  (
r (,)  +oo )  =  ( x (,)  +oo ) )
3635raleqdv 2818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  x  ->  ( A. f  e.  (
r (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  (
( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
)  <  ( k  x.  f ) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )
) )
3734, 36syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  x  ->  ( A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
e )  <->  A. f  e.  ( x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
) )  /\  A. u  e.  ( g [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  g
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)  /  u ) )  <_  e )
) )
3837ralbidv 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  x  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
r (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) ) `
 u )  /  u ) )  <_ 
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  (
x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  (
( f  <  g  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )
3938cbvrexv 2841 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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 u )  /  u ) )  <_ 
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  (
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4039ralbii 2643 . . . . . . . 8  |-  ( A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. r  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  (
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4117, 40sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
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r ) )  <_ 
b )  /\  (
( c  e.  RR+  /\  l  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. f  e.  ( x (,)  +oo ) E. g  e.  RR+  ( ( f  < 
g  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  g )  < 
( k  x.  f
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)  /  u ) )  <_  e )
)
421, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 41pntleml 20872 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
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r ) )  <_ 
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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 u )  /  u ) )  <_ 
e ) ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
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4342expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
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r ) )  <_ 
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( A. e  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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4443rexlimdvva 2750 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
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z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
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) ) `  u
)  /  u ) )  <_  e )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 ) )
453, 44mpi 16 . . 3  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR+  ( abs `  ( ( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
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4645rexlimiva 2738 . 2  |-  ( E. b  e.  RR+  A. r  e.  RR+  ( abs `  (
( ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a
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)  /  r ) )  <_  b  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1 )
472, 46ax-mp 8 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832    +oocpnf 8954    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127    / cdiv 9513   2c2 9885   3c3 9886  ;cdc 10216   RR+crp 10446   (,)cioo 10748   [,)cico 10750   [,]cicc 10751   ^cexp 11197   abscabs 11815    ~~> r crli 12055   expce 12440  ψcchp 20442
This theorem is referenced by:  pnt2  20874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-disj 4075  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-o1 12060  df-lo1 12061  df-sum 12256  df-ef 12446  df-e 12447  df-sin 12448  df-cos 12449  df-pi 12451  df-dvds 12629  df-gcd 12783  df-prm 12856  df-pc 12987  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-lp 16974  df-perf 16975  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-haus 17149  df-cmp 17220  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-limc 19320  df-dv 19321  df-log 20021  df-cxp 20022  df-em 20398  df-cht 20446  df-vma 20447  df-chp 20448  df-ppi 20449  df-mu 20450
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