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Theorem pntibnd 21244
Description: Lemma for pnt 21265. Establish smallness of  R on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntibnd  |-  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )
Distinct variable groups:    x, z,
y    u, k, x, y, z    e, c, k, l, u, x, y, z, R    e, a,
k, u, x, y, z
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntibnd
Dummy variables  n  m  v  b  d 
f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
21pntrmax 21215 . 2  |-  E. d  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d
31pntpbnd 21239 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ( 0 (,) 1
) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
4 reeanv 2839 . . 3  |-  ( E. d  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
)  <->  ( E. d  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ( 0 (,) 1
) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
) )
5 2rp 10577 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
6 rpmulcl 10593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  b )  e.  RR+ )
75, 6mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  RR+  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
8 2re 10029 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
9 1lt2 10102 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
10 rplogcl 20456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
118, 9, 10mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
12 rpaddcl 10592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  b
)  e.  RR+  /\  ( log `  2 )  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  e.  RR+ )
137, 11, 12sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  RR+  ->  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  e.  RR+ )
1413ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
) )  ->  (
( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  e.  RR+ )
15 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  RR+  ->  d  e.  RR+ )
16 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )
171, 15, 16pntibndlem1 21240 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  RR+  ->  ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  e.  ( 0 (,) 1
) )
1817ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
) )  ->  (
( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
19 elioore 10906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  e.  RR )
20 eliooord 10930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  e  /\  e  <  1 ) )
2120simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  0  <  e )
2219, 21elrpd 10606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  e.  RR+ )
2322rphalfcld 10620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  e.  RR+ )
2423rpred 10608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  e.  RR )
2523rpgt0d 10611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  0  <  ( e  /  2
) )
26 1re 9050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
28 rphalflt 10598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  RR+  ->  ( e  /  2 )  < 
e )
2922, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  <  e )
3020simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  <  1 )
3124, 19, 27, 29, 30lttrd 9191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  <  1 )
32 0xr 9091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
3326rexri 9097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR*
34 elioo2 10917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( e  /  2
)  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
e  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( e  /  2
)  /\  ( e  /  2 )  <  1 ) ) )
3532, 33, 34mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
e  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( e  /  2
)  /\  ( e  /  2 )  <  1 ) )
3624, 25, 31, 35syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
3736adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1
) )
38 oveq2 6052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
b  /  f )  =  ( b  / 
( e  /  2
) ) )
3938fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( exp `  ( b  / 
f ) )  =  ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) )
4039oveq1d 6059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo )  =  ( ( exp `  ( b  /  (
e  /  2 ) ) ) [,)  +oo ) )
41 breq2 4180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f  <->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) )
4241anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  <->  ( ( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( e  /  2
) ) ) )
4342rexbidv 2691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  <->  E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )
4443ralbidv 2690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  <->  A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( e  /  2
) ) ) )
4540, 44raleqbidv 2880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( A. m  e.  (
( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  <->  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  /  ( e  / 
2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )
4645rexbidv 2691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  <->  E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  ( e  /  2 ) ) ) )
4746rspcv 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( A. f  e.  (
0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  ->  E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  ( e  /  2 ) ) ) )
4837, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  ->  E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  /  ( e  / 
2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )
49 simp-4l 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
d  e.  RR+ )
50 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
d )
51 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  d )  -> 
b  e.  RR+ )
5251ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
b  e.  RR+ )
53 eqid 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( b  /  (
e  /  2 ) ) )  =  ( exp `  ( b  /  ( e  / 
2 ) ) )
54 eqid 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  =  ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )
55 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
e  e.  ( 0 (,) 1 ) )
56 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
g  e.  RR+ )
57 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  ->  A. m  e.  (
( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  ( e  /  2 ) ) )
581, 49, 16, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57pntibndlem3 21243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
5958rexlimdvaa 2795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  ( e  /  2 ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
6048, 59syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
6160ralrimdva 2760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  d )  -> 
( A. f  e.  ( 0 (,) 1
) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
6261impr 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
) )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
63 oveq1 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  (
c  /  e )  =  ( ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  /  e
) )
6463fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( exp `  ( c  / 
e ) )  =  ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) )
6564oveq1d 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo )  =  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  /  e
) ) [,)  +oo ) )
6665raleqdv 2874 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
6766rexbidv 2691 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
6867ralbidv 2690 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
69 oveq1 6051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
l  x.  e )  =  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )
7069oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
1  +  ( l  x.  e ) )  =  ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) ) )
7170oveq1d 6059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  =  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) )
7271breq1d 4186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) )
7372anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) ) )
7471oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) )  =  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) )
7574raleqdv 2874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( A. u  e.  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  A. u  e.  ( z [,] (
( 1  +  ( ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
7673, 75anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
7776rexbidv 2691 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
7877ralbidv 2690 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
7978rexralbidv 2714 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
8079ralbidv 2690 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
8168, 80rspc2ev 3024 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR+  /\  (
( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1 ) A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
8214, 18, 62, 81syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
) )  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
8382ex 424 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
)  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
8483rexlimivv 2799 . . 3  |-  ( E. d  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
)  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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854, 84sylbir 205 . 2  |-  ( ( E. d  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
d  /\  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ( 0 (,) 1
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b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
)  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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862, 3, 85mp2an 654 1  |-  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955    +oocpnf 9077   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251    / cdiv 9637   NNcn 9960   2c2 10009   3c3 10010   4c4 10011   RR+crp 10572   (,)cioo 10876   [,)cico 10878   [,]cicc 10879   abscabs 11998   expce 12623   logclog 20409  ψcchp 20832
This theorem is referenced by:  pnt3  21263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-disj 4147  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-o1 12243  df-lo1 12244  df-sum 12439  df-ef 12629  df-e 12630  df-sin 12631  df-cos 12632  df-pi 12634  df-dvds 12812  df-gcd 12966  df-prm 13039  df-pc 13170  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-cmp 17408  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-log 20411  df-cxp 20412  df-em 20788  df-cht 20836  df-vma 20837  df-chp 20838  df-ppi 20839  df-mu 20840
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