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Theorem pntibnd 20705
Description: Lemma for pnt 20726. Establish smallness of  R on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntibnd  |-  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )
Distinct variable groups:    x, z,
y    u, k, x, y, z    e, c, k, l, u, x, y, z, R    e, a,
k, u, x, y, z
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntibnd
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
21pntrmax 20676 . 2  |-  E. d  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d
31pntpbnd 20700 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ( 0 (,) 1
) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
4 reeanv 2682 . . 3  |-  ( E. d  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
)  <->  ( E. d  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ( 0 (,) 1
) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
) )
5 2rp 10327 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
6 rpmulcl 10343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  b )  e.  RR+ )
75, 6mpan 654 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  RR+  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
8 2re 9783 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
9 1lt2 9854 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
10 rplogcl 19921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
118, 9, 10mp2an 656 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
12 rpaddcl 10342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  b
)  e.  RR+  /\  ( log `  2 )  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  e.  RR+ )
137, 11, 12sylancl 646 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  RR+  ->  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  e.  RR+ )
1413ad2antlr 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
) )  ->  (
( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  e.  RR+ )
15 id 21 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  RR+  ->  d  e.  RR+ )
16 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )
171, 15, 16pntibndlem1 20701 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  RR+  ->  ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  e.  ( 0 (,) 1
) )
1817ad2antrr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
) )  ->  (
( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
19 elioore 10653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  e.  RR )
20 eliooord 10677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  e  /\  e  <  1 ) )
2120simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  0  <  e )
2219, 21elrpd 10356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  e.  RR+ )
2322rphalfcld 10370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  e.  RR+ )
2423rpred 10358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  e.  RR )
2523rpgt0d 10361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  0  <  ( e  /  2
) )
26 1re 8805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
2726a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
28 rphalflt 10348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  RR+  ->  ( e  /  2 )  < 
e )
2922, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  <  e )
3020simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  <  1 )
3124, 19, 27, 29, 30lttrd 8945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  <  1 )
32 0xr 8846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
33 rexr 8845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
3426, 33ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR*
35 elioo2 10664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( e  /  2
)  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
e  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( e  /  2
)  /\  ( e  /  2 )  <  1 ) ) )
3632, 34, 35mp2an 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
e  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( e  /  2
)  /\  ( e  /  2 )  <  1 ) )
3724, 25, 31, 36syl3anbrc 1141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
3837adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1
) )
39 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
b  /  f )  =  ( b  / 
( e  /  2
) ) )
4039fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( exp `  ( b  / 
f ) )  =  ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) )
4140oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo )  =  ( ( exp `  ( b  /  (
e  /  2 ) ) ) [,)  +oo ) )
42 breq2 4001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f  <->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) )
4342anbi2d 687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  (
( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  <->  ( ( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( e  /  2
) ) ) )
4443rexbidv 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  <->  E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )
4544ralbidv 2538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  <->  A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
( e  /  2
) ) ) )
4641, 45raleqbidv 2723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( A. m  e.  (
( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  <->  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  /  ( e  / 
2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )
4746rexbidv 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( e  / 
2 )  ->  ( E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  <->  E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  ( e  /  2 ) ) ) )
4847rcla4v 2855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( e  /  2 )  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( A. f  e.  (
0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  f
)  ->  E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  ( e  /  2 ) ) ) )
4938, 48syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  ->  E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  /  ( e  / 
2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )
50 simpll 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  d )  -> 
d  e.  RR+ )
5150ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
d  e.  RR+ )
52 simpllr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
d )
53 simplr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  d )  -> 
b  e.  RR+ )
5453ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
b  e.  RR+ )
55 eqid 2258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( exp `  ( b  /  (
e  /  2 ) ) )  =  ( exp `  ( b  /  ( e  / 
2 ) ) )
56 eqid 2258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  =  ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )
57 simplr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
e  e.  ( 0 (,) 1 ) )
58 simprl 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  -> 
g  e.  RR+ )
59 simprr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  ->  A. m  e.  (
( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  ( e  /  2 ) ) )
601, 51, 16, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 59pntibndlem3 20704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. m  e.  ( ( exp `  ( b  / 
( e  /  2
) ) ) [,) 
+oo ) A. v  e.  ( g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( v  < 
n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  (
e  /  2 ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
6160expr 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  g  e.  RR+ )  ->  ( A. m  e.  (
( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  ( e  /  2 ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
6261rexlimdva 2642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  ( e  /  2 ) ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  ( e  /  2 ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
6349, 62syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d )  /\  e  e.  (
0 (,) 1 ) )  ->  ( A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
6463ralrimdva 2608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  d )  -> 
( A. f  e.  ( 0 (,) 1
) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
6564impr 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
) )  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
66 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  (
c  /  e )  =  ( ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  /  e
) )
6766fveq2d 5462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( exp `  ( c  / 
e ) )  =  ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) )
6867oveq1d 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo )  =  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  /  e
) ) [,)  +oo ) )
6968raleqdv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
7069rexbidv 2539 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
7170ralbidv 2538 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2
) )  ->  ( A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
72 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
l  x.  e )  =  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )
7372oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
1  +  ( l  x.  e ) )  =  ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) ) )
7473oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  =  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) )
7574breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) )
7675anbi2d 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) ) )
7774oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) )  =  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) )
7877raleqdv 2717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( A. u  e.  (
z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  A. u  e.  ( z [,] (
( 1  +  ( ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e )
)
7976, 78anbi12d 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  (
( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
8079rexbidv 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( ( ( 1  / 
4 )  /  (
d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
8180ralbidv 2538 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
8281rexralbidv 2562 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
8382ralbidv 2538 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  ->  ( A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( ( 2  x.  b
)  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( ( ( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) ) )
8471, 83rcla42ev 2867 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  e.  RR+  /\  (
( 1  /  4
)  /  ( d  +  3 ) )  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( ( 2  x.  b )  +  ( log `  2 ) )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  / 
( d  +  3 ) )  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( ( ( 1  /  4 )  /  ( d  +  3 ) )  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1 ) A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
8514, 18, 65, 84syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
) )  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
8685ex 425 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
)  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) ) )
8786rexlimivv 2647 . . 3  |-  ( E. d  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  d  /\  A. f  e.  ( 0 (,) 1 ) E. g  e.  RR+  A. m  e.  ( ( exp `  (
b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
)  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e ) )
884, 87sylbir 206 . 2  |-  ( ( E. d  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
d  /\  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ( 0 (,) 1
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b  /  f ) ) [,)  +oo ) A. v  e.  (
g (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( v  <  n  /\  n  <_  ( m  x.  v ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  f )
)  ->  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
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( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
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892, 3, 88mp2an 656 1  |-  E. c  e.  RR+  E. l  e.  ( 0 (,) 1
) A. e  e.  ( 0 (,) 1
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c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( l  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( l  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    +oocpnf 8832   RR*cxr 8834    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005    / cdiv 9391   NNcn 9714   2c2 9763   3c3 9764   4c4 9765   RR+crp 10322   (,)cioo 10623   [,)cico 10625   [,]cicc 10626   abscabs 11685   expce 12306   logclog 19875  ψcchp 20293
This theorem is referenced by:  pnt3  20724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-disj 3968  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9934  df-z 9993  df-dec 10093  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-ioo 10627  df-ioc 10628  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-mod 10941  df-seq 11014  df-exp 11072  df-fac 11256  df-bc 11283  df-hash 11305  df-shft 11528  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-limsup 11911  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-o1 11930  df-lo1 11931  df-sum 12125  df-ef 12312  df-e 12313  df-sin 12314  df-cos 12315  df-pi 12317  df-divides 12495  df-gcd 12649  df-prime 12722  df-pc 12853  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-starv 13186  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-tset 13190  df-ple 13191  df-ds 13193  df-hom 13195  df-cco 13196  df-rest 13290  df-topn 13291  df-topgen 13307  df-pt 13308  df-prds 13311  df-xrs 13366  df-0g 13367  df-gsum 13368  df-qtop 13373  df-imas 13374  df-xps 13376  df-mre 13451  df-mrc 13452  df-acs 13454  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-mulg 14455  df-cntz 14756  df-cmn 15054  df-xmet 16336  df-met 16337  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-cnfld 16341  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-topsp 16603  df-cld 16719  df-ntr 16720  df-cls 16721  df-nei 16798  df-lp 16831  df-perf 16832  df-cn 16920  df-cnp 16921  df-haus 17006  df-cmp 17077  df-tx 17220  df-hmeo 17409  df-fbas 17483  df-fg 17484  df-fil 17504  df-fm 17596  df-flim 17597  df-flf 17598  df-xms 17848  df-ms 17849  df-tms 17850  df-cncf 18345  df-limc 19179  df-dv 19180  df-log 19877  df-cxp 19878  df-em 20250  df-cht 20297  df-vma 20298  df-chp 20299  df-ppi 20300  df-mu 20301
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