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Theorem pntlem3 20685
Description: Lemma for pnt 20690. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem3.A  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntlem3.1  |-  T  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
pntlem3.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem3.3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
Assertion
Ref Expression
pntlem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Distinct variable groups:    x, t,
y, z, A    u, a, x, y, z    u, C    u, t, R, x, y, z    t, a   
u, T, x    ph, t, x, y, u, z
Allowed substitution hints:    ph( a)    A( u, a)    C( x, y, z, t, a)    R( a)    T( y, z, t, a)

Proof of Theorem pntlem3
StepHypRef Expression
1 rpssre 10296 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 eqid 2256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32subcn 18297 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
43a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
5 ssid 3139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
6 cncfmptid 18343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
75, 5, 6mp2an 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC -cn-> CC )
87a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  p )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
92mulcn 18298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
109a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
11 pntlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1211adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  C  e.  RR+ )
1312rpcnd 10324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  C  e.  CC )
145a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  CC  C_  CC )
15 cncfmptc 18342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
p  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
1613, 14, 14, 15syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
17 3nn0 9915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  NN0
182expcn 18303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p ^ 3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p ^
3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
202cncfcn1 18341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
2119, 20syl6eleqr 2347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p ^
3 ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
222, 10, 16, 21cncfmpt2f 18345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
232, 4, 8, 22cncfmpt2f 18345 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
24 pntlem3.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
25 ssrab2 3200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  C_  ( 0 [,] A
)
2624, 25eqsstri 3150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  C_  ( 0 [,] A
)
27 0re 8771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
28 pntlem3.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2928rpred 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
30 iccssre 10662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0 [,] A
)  C_  RR )
3127, 29, 30sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] A
)  C_  RR )
3226, 31syl5ss 3132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  C_  RR )
33 0xr 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
3433a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
3528rpxrd 10323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3628rpge0d 10326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
37 ubicc2 10684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,] A
) )
3834, 35, 36, 37syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] A ) )
39 1rp 10290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
40 1re 8770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
41 elicopnf 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
z  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  1  <_ 
z ) ) )
4240, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  1  <_  z ) ) )
4342simprbda 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  z  e.  RR )
4427a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  e.  RR )
4540a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
46 0lt1 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  1
4746a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  1 )
4842simplbda 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  z )
4944, 45, 43, 47, 48ltletrd 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  z )
5043, 49elrpd 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  z  e.  RR+ )
51 pntlem3.A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
5251adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A )
53 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( R `  x )  =  ( R `  z ) )
54 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
5553, 54oveq12d 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( R `  x
)  /  x )  =  ( ( R `
 z )  / 
z ) )
5655fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  =  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) ) )
5756breq1d 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
) )
5857rcla4v 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  A  ->  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
5950, 52, 58sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  <_  A )
6059ralrimiva 2597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
61 oveq1 5764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  1  ->  (
y [,)  +oo )  =  ( 1 [,)  +oo ) )
6261raleqdv 2703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  1  ->  ( A. z  e.  (
y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  A  <->  A. z  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6362rcla4ev 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
)  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
6439, 60, 63sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
)
65 breq2 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  A  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  A
) )
6665rexralbidv 2558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  A  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6766, 24elrab2 2876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  T  <->  ( A  e.  ( 0 [,] A
)  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  A )
)
6838, 64, 67sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  T )
69 ne0i 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
71 elicc2 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) ) )
7227, 29, 71sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) ) )
7372biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  (
t  e.  RR  /\  0  <_  t  /\  t  <_  A ) )
7473simp2d 973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  0  <_  t )
7574a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7675ralrimiva 2597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
7724raleqi 2701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  T  0  <_  w  <->  A. w  e.  {
t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t } 0  <_  w
)
78 breq2 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  t  ->  (
0  <_  w  <->  0  <_  t ) )
7978ralrab2 2882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. w  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
0  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
8077, 79bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  T  0  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  0  <_  t ) )
8176, 80sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. w  e.  T 
0  <_  w )
82 breq1 3966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
8382ralbidv 2534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  T  x  <_  w  <->  A. w  e.  T  0  <_  w ) )
8483rcla4ev 2835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  T  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
8527, 81, 84sylancr 647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )
86 infmrcl 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8732, 70, 85, 86syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8887recnd 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC )
8988adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC )
90 elrp 10288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ 
<->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
9190biimpri 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ )
9287, 91sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ )
9317nn0zi 9980 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  ZZ
94 rpexpcl 11053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 )  e.  RR+ )
9592, 93, 94sylancl 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 )  e.  RR+ )
9612, 95rpmulcld 10338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  e.  RR+ )
97 cncfi 18325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC )  /\  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC  /\  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) )  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
9823, 89, 96, 97syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
9987ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
100 rphalfcl 10310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
101100adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
10299, 101ltaddrpd 10351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) ) )
103101rpred 10322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
10499, 103readdcld 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  e.  RR )
10599, 104ltnled 8899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  < 
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <->  -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
106102, 105mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
107 ax-resscn 8727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
10832, 107syl6ss 3133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
109108ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  CC )
110 ssralv 3179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T 
C_  CC  ->  ( A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
11232ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  RR )
113112sselda 3122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  u  e.  RR )
114104adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  e.  RR )
115113, 114ltnled 8899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <->  -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
11687ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
117103adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
118116, 117resubcld 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  e.  RR )
11999, 101ltsubrpd 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
120119adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
12132ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  T  C_  RR )
12285ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
123 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  u  e.  T )
124 infmrlb 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w  /\  u  e.  T
)  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  u
)
125121, 122, 123, 124syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  u
)
126118, 116, 113, 120, 125ltletrd 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  u
)
127113, 116, 117absdifltd 11846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  <->  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( s  /  2
) )  <  u  /\  u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) ) ) ) )
128127biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  (
s  /  2 ) )  <  u  /\  u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  /  2 ) ) )
129126, 128mpand 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 ) ) )
130 rphalflt 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  < 
s )
131130ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
s  /  2 )  <  s )
132113, 116resubcld 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  RR )
133132recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  CC )
134133abscld 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  e.  RR )
135 rpre 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
136135ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  s  e.  RR )
137 lttr 8832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  e.  RR  /\  (
s  /  2 )  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  /\  (
s  /  2 )  <  s )  -> 
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
138134, 117, 136, 137syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  /\  (
s  /  2 )  <  s )  -> 
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
139131, 138mpan2d 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  ( s  / 
2 )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
140129, 139syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  <  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
141115, 140sylbird 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( -.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u  ->  ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s ) )
142141con1d 118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( -.  ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
143113recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  u  e.  CC )
144 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  u  ->  p  =  u )
145 oveq1 5764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  u  ->  (
p ^ 3 )  =  ( u ^
3 ) )
146145oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  u  ->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) )  =  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )
147144, 146oveq12d 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  u  ->  (
p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) )  =  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) ) )
148 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) )  =  ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) )
149 ovex 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  e. 
_V
150147, 148, 149fvmpt 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  CC  ->  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  u
)  =  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
151143, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  u
)  =  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) ) )
15289ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC )
153 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
154 oveq1 5764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( p ^ 3 )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )
155154oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( C  x.  ( p ^ 3 ) )  =  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )
156153, 155oveq12d 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
157 ovex 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  e.  _V
158156, 148, 157fvmpt 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  CC  ->  ( (
p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
159152, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
160151, 159oveq12d 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) )
161160fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  =  ( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) ) )
162161breq1d 3973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  <->  ( abs `  ( ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
16311rpred 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
164163ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  C  e.  RR )
165 reexpcl 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( u  e.  RR  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( u ^ 3 )  e.  RR )
166113, 17, 165sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u ^ 3 )  e.  RR )
167164, 166remulcld 8796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( C  x.  ( u ^ 3 ) )  e.  RR )
168113, 167resubcld 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  RR )
16917a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  3  e.  NN0 )
170116, 169reexpcld 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 )  e.  RR )
171164, 170remulcld 8796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  e.  RR )
172116, 171resubcld 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  e.  RR )
173168, 172, 171absdifltd 11846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  <->  ( (
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  <  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  /\  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
174171recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  e.  CC )
175152, 174npcand 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
176175breq2d 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  <->  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
177 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ph )
178 pntlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
179177, 178sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) )  e.  T )
180 infmrlb 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w  /\  ( u  -  ( C  x.  (
u ^ 3 ) ) )  e.  T
)  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) ) )
181121, 122, 179, 180syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  (
u  -  ( C  x.  ( u ^
3 ) ) ) )
182116, 168lenltd 8898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <->  -.  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
183181, 182mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  -.  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
184183pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
185176, 184sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  -> 
( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u ) )
186185adantld 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  <  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  /\  ( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  <  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  +  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
187173, 186sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( u  -  ( C  x.  ( u ^ 3 ) ) )  -  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  -  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^
3 ) ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
188162, 187sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  (
p ^ 3 ) ) ) ) `  u )  -  (
( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  u
) )
189142, 188jad 156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  u  e.  T )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
190189ralimdva 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  T  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  A. u  e.  T  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
19170ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  =/=  (/) )
19285ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
193 infmrgelb 9667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )  /\  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  e.  RR )  ->  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2
) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. u  e.  T  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
194112, 191, 192, 104, 193syl31anc 1190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  / 
2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. u  e.  T  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  u )
)
195190, 194sylibrd 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  T  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
196111, 195syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  +  ( s  /  2 ) )  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
197106, 196mtod 170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
198197nrexdv 2617 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  -.  E. s  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )  <  s  ->  ( abs `  ( ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^
3 ) ) ) ) `  u )  -  ( ( p  e.  CC  |->  ( p  -  ( C  x.  ( p ^ 3 ) ) ) ) `
 sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  ( C  x.  ( sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ^ 3 ) ) ) )
19998, 198pm2.65da 562 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
200199adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
20132adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  C_  RR )
20270adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  T  =/=  (/) )
20385adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w
)
204135adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  s  e.  RR )
205 infmrgelb 9667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  T  x  <_  w )  /\  s  e.  RR )  ->  (
s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  T  s  <_  w ) )
206201, 202, 203, 204, 205syl31anc 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  T  s  <_  w ) )
20724raleqi 2701 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  T  s  <_  w  <->  A. w  e.  {
t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t } s  <_  w
)
208 breq2 3967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  t  ->  (
s  <_  w  <->  s  <_  t ) )
209208ralrab2 2882 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
s  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
210207, 209bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  T  s  <_  w  <->  A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
211206, 210syl6bb 254 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. t  e.  (
0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) ) )
212 rpgt0 10297 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR+  ->  0  < 
s )
213212adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  0  <  s )
21427a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
21587adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
216 ltletr 8846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  s  /\  s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
217214, 204, 215, 216syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( (
0  <  s  /\  s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
218213, 217mpand 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  <_  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
219211, 218sylbird 228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t  ->  s  <_  t )  ->  0  <  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
220200, 219mtod 170 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  -.  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
221 rexanali 2560 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t
)  <->  -.  A. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  s  <_  t ) )
222220, 221sylibr 205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] A
) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t ) )
223 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( R `  z )  =  ( R `  x ) )
224 id 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
225223, 224oveq12d 5775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( R `  z
)  /  z )  =  ( ( R `
 x )  /  x ) )
226225fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( R `
 z )  / 
z ) )  =  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) ) )
227226breq1d 3973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
) )
228227cbvralv 2717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t  <->  A. x  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
)
229 rpre 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
230229ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  RR )
231 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  <_  x )
232 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR+ )
233232rpred 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR )
234 elicopnf 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( y [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  y  <_  x ) ) )
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( x  e.  ( y [,)  +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  y  <_  x )
) )
236230, 231, 235mpbir2and 893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  ( y [,)  +oo ) )
237 pntlem3.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
238237pntrval 20638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
239238ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x ) )
240239oveq1d 5772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( R `  x )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  -  x )  /  x ) )
241 chpcl 20289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
242230, 241syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
243242recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  (ψ `  x
)  e.  CC )
244 rpcn 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
245244ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  CC )
246 rpne0 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
247246ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  x  =/=  0 )
248243, 245, 245, 247divsubdird 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  -  x )  /  x
)  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) ) )
249245, 247dividd 9467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( x  /  x )  =  1 )
250249oveq2d 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )
251240, 248, 2503eqtrrd 2293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  =  ( ( R `  x )  /  x ) )
252251fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  =  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) ) )
253252breq1d 3973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  t
) )
254 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  -.  s  <_  t )
255254ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  -.  s  <_  t )
25631ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  ( 0 [,] A )  C_  RR )
257256ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( 0 [,] A )  C_  RR )
258 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
t  e.  ( 0 [,] A ) )
259258adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  e.  ( 0 [,] A
) )
260257, 259sseldd 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  e.  RR )
261 simpllr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
s  e.  RR+ )
262261adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  s  e.  RR+ )
263262rpred 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  s  e.  RR )
264260, 263ltnled 8899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( t  <  s  <->  -.  s  <_  t ) )
265255, 264mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  t  <  s )
266229, 241syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
267 rerpdivcl 10313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
268266, 267mpancom 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
269268ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
270 resubcl 9044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  /  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 )  e.  RR )
271269, 40, 270sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  e.  RR )
272271recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
(ψ `  x )  /  x )  -  1 )  e.  CC )
273272abscld 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  e.  RR )
274 lelttr 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  e.  RR  /\  t  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <_  t  /\  t  <  s )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
275273, 260, 263, 274syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <_  t  /\  t  <  s )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
276265, 275mpan2d 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <_  t  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) )
277253, 276sylbird 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
t  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
278236, 277embantd 52 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( y  <_  x  /\  x  e.  RR+ )
)  ->  ( (
x  e.  ( y [,)  +oo )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
t )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
279278exp32 591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( y  <_  x  ->  ( x  e.  RR+  ->  ( ( x  e.  ( y [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) ) )
280279com24 83 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  e.  ( y [,)  +oo )  ->  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t )  ->  ( x  e.  RR+  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) ) )
281280ralimdv2 2594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  t  ->  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
282228, 281syl5bi 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  ( t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_ 
t ) )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
283282reximdva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
t  e.  ( 0 [,] A )  /\  -.  s  <_  t ) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
284283anassrs 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A ) )  /\  -.  s  <_ 
t )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
285284impancom 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A ) )  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t )  ->  ( -.  s  <_ 
t  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
286285expimpd 589 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR+ )  /\  t  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  (
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
287286rexlimdva 2638 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] A ) ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t  /\  -.  s  <_  t
)  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
288222, 287mpd 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
289 ssrexv 3180 . . . 4  |-  ( RR+  C_  RR  ->  ( E. y  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )  <  s
) ) )
2901, 288, 289mpsyl 61 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) )
291290ralrimiva 2597 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <  s ) )
292268recnd 8794 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
293292rgen 2579 . . . 4  |-  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC
294293a1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x )  e.  CC )
2951a1i 12 . . 3  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
296 ax-1cn 8728 . . . 4  |-  1  e.  CC
297296a1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
298294, 295, 297rlim2 11900 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1  <->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( y  <_  x  ->  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <  s ) ) )
299291, 298mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   {crab 2519    C_ wss 3094   (/)c0 3397   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   `'ccnv 4625   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   supcsup 7126   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    +oocpnf 8797   RR*cxr 8799    < clt 8800    <_ cle 8801    - cmin 8970    / cdiv 9356   2c2 9728   3c3 9729   NN0cn0 9897   ZZcz 9956   RR+crp 10286   [,)cico 10589   [,]cicc 10590   ^cexp 11035   abscabs 11649    ~~> r crli 11889   TopOpenctopn 13253  ℂfldccnfld 16304    Cn ccn 16881    tX ctx 17182   -cn->ccncf 18307  ψcchp 20257
This theorem is referenced by:  pntleml  20687
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-ef 12276  df-sin 12278  df-cos 12279  df-pi 12281  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-prime 12686  df-pc 12817  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-limc 19143  df-dv 19144  df-log 19841  df-vma 20262  df-chp 20263
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