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Theorem pntlemb 21274
Description: Lemma for pnt 21291. Unpack all the lower bounds contained in  W, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434,  Z is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
Assertion
Ref Expression
pntlemb  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
Distinct variable group:    E, a
Allowed substitution hints:    ph( a)    A( a)    B( a)    C( a)    D( a)    R( a)    U( a)    F( a)    K( a)    L( a)    W( a)    X( a)    Y( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntlemb
StepHypRef Expression
1 pntlem1.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
2 pntlem1.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
3 pntlem1.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
4 pntlem1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
5 pntlem1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
6 pntlem1.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( A  +  1 )
7 pntlem1.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
8 pntlem1.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
9 pntlem1.u2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
10 pntlem1.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( U  /  D
)
11 pntlem1.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
12 pntlem1.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
13 pntlem1.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
14 pntlem1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
15 pntlem1.w . . . . . . . 8  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlema 21273 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  RR+ )
1716rpred 10632 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
18 pnfxr 10697 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
19 elico2 10958 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( W [,)  +oo )  <->  ( Z  e.  RR  /\  W  <_  Z  /\  Z  <  +oo ) ) )
2017, 18, 19sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( W [,)  +oo )  <->  ( Z  e.  RR  /\  W  <_  Z  /\  Z  <  +oo ) ) )
211, 20mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  W  <_  Z  /\  Z  <  +oo ) )
2221simp1d 969 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
2321simp2d 970 . . 3  |-  ( ph  ->  W  <_  Z )
2422, 16, 23rpgecld 10667 . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
25 1re 9074 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
27 ere 12674 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
2924rpsqrcld 12197 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR+ )
3029rpred 10632 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  e.  RR )
31 1lt2 10126 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
32 egt2lt3 12788 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
3332simpli 445 . . . . . . . 8  |-  2  <  _e
34 2re 10053 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
3525, 34, 27lttri 9183 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  2  /\  2  <  _e )  ->  1  <  _e )
3631, 33, 35mp2an 654 . . . . . . 7  |-  1  <  _e
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  _e )
38 4re 10057 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
4032simpri 449 . . . . . . . . 9  |-  _e  <  3
41 3lt4 10129 . . . . . . . . 9  |-  3  <  4
42 3re 10055 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
4327, 42, 38lttri 9183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
4440, 41, 43mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  _e  <  4
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  _e  <  4 )
46 4nn 10119 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
47 nnrp 10605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
492, 3, 4, 5, 6, 7pntlemd 21271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR+  /\  D  e.  RR+  /\  F  e.  RR+ ) )
5049simp1d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  RR+ )
512, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pntlemc 21272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR+  /\  K  e.  RR+  /\  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E )  e.  RR+ ) ) )
5251simp1d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5350, 52rpmulcld 10648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR+ )
54 rpdivcl 10618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( L  x.  E )  e.  RR+ )  ->  (
4  /  ( L  x.  E ) )  e.  RR+ )
5548, 53, 54sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  RR+ )
5655rpred 10632 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  e.  RR )
5753rpred 10632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  e.  RR )
5852rpred 10632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
5950rpred 10632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
60 eliooord 10954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  L  /\  L  <  1 ) )
615, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0  <  L  /\  L  <  1
) )
6261simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  <  1 )
6359, 26, 52, 62ltmul1dd 10683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  ( 1  x.  E ) )
6452rpcnd 10634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
6564mulid2d 9090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  =  E )
6663, 65breqtrd 4223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  E )
6751simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
)
6867simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
69 eliooord 10954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
7170simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
7257, 58, 26, 66, 71lttrd 9215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( L  x.  E
)  <  1 )
73 4pos 10070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  4
7439, 73jctir 525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )
75 ltmul2 9845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  x.  E
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( L  x.  E )  <  1  <->  ( 4  x.  ( L  x.  E
) )  <  (
4  x.  1 ) ) )
7657, 26, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L  x.  E )  <  1  <->  ( 4  x.  ( L  x.  E ) )  <  ( 4  x.  1 ) ) )
7772, 76mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( L  x.  E )
)  <  ( 4  x.  1 ) )
78 4cn 10058 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  CC
7978mulid1i 9076 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  x.  1 )  =  4
8077, 79syl6breq 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( L  x.  E )
)  <  4 )
8139, 39, 53ltmuldivd 10675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( L  x.  E
) )  <  4  <->  4  <  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )
8280, 81mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  <  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )
8312simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
8483, 55rpaddcld 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR+ )
8584rpred 10632 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR )
8656, 83ltaddrp2d 10662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )
8785resqcld 11532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  e.  RR )
8813simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
8951simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
90 2z 10296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
91 rpexpcl 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( K ^ 2 )  e.  RR+ )
9289, 90, 91sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ^ 2 )  e.  RR+ )
9388, 92rpmulcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  x.  ( K ^ 2 ) )  e.  RR+ )
9446nnzi 10289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  ZZ
95 rpexpcl 11383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) )  e.  RR+  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR+ )
9693, 94, 95sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR+ )
97 3nn0 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  3  e.  NN0
98 2nn 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  NN
9997, 98decnncl 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |- ; 3 2  e.  NN
100 nnrp 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (; 3 2  e.  NN  -> ; 3
2  e.  RR+ )
10199, 100ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- ; 3 2  e.  RR+
102 rpmulcl 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (; 3
2  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (; 3 2  x.  B )  e.  RR+ )
103101, 4, 102sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  (; 3 2  x.  B
)  e.  RR+ )
10467simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
105 rpexpcl 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( E  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR+ )
10652, 90, 105sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR+ )
10750, 106rpmulcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  RR+ )
108104, 107rpmulcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  RR+ )
109103, 108rpdivcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  e.  RR+ )
110 3nn 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  3  e.  NN
111 nnrp 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
112110, 111ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e.  RR+
113 rpmulcl 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  ( U  x.  3 )  e.  RR+ )
1148, 112, 113sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( U  x.  3 )  e.  RR+ )
115114, 14rpaddcld 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  RR+ )
116109, 115rpmulcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  e.  RR+ )
117116rpred 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  e.  RR )
118117rpefcld 12689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  e.  RR+ )
11996, 118rpaddcld 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  e.  RR+ )
12087, 119ltaddrpd 10661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) ) )
121120, 15syl6breqr 4239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  W )
12287, 17, 22, 121, 23ltletrd 9214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  Z )
12324rprege0d 10639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )
)
124 resqrth 12044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 )  =  Z )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
) ^ 2 )  =  Z )
126122, 125breqtrrd 4225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  Z ) ^ 2 ) )
12784rprege0d 10639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ) )
12829rprege0d 10639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z
) ) )
129 lt2sq 11438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )  /\  ( ( sqr `  Z )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z ) ) )  ->  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) )  < 
( sqr `  Z
)  <->  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  <  (
( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
130127, 128, 129syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) )  <  ( sqr `  Z )  <->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  < 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
131126, 130mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  <  ( sqr `  Z ) )
13256, 85, 30, 86, 131lttrd 9215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <  ( sqr `  Z ) )
13339, 56, 30, 82, 132lttrd 9215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  <  ( sqr `  Z ) )
13428, 39, 30, 45, 133lttrd 9215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _e  <  ( sqr `  Z ) )
13526, 28, 30, 37, 134lttrd 9215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( sqr `  Z ) )
136 0le1 9535 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
137136a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
138 lt2sq 11438 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( sqr `  Z )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  Z ) ) )  ->  ( 1  < 
( sqr `  Z
)  <->  ( 1 ^ 2 )  <  (
( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
13926, 137, 128, 138syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( sqr `  Z )  <->  ( 1 ^ 2 )  < 
( ( sqr `  Z
) ^ 2 ) ) )
140135, 139mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ 2 )  <  ( ( sqr `  Z ) ^ 2 ) )
141 sq1 11459 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
142141a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
143140, 142, 1253brtr3d 4228 . . 3  |-  ( ph  ->  1  <  Z )
14428, 30, 134ltled 9205 . . 3  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  Z ) )
14522, 83rerpdivcld 10659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  /  Y
)  e.  RR )
14683rpred 10632 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
147146, 55ltaddrpd 10661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  <  ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) )
148146, 85, 30, 147, 131lttrd 9215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  <  ( sqr `  Z ) )
149146, 30, 29, 148ltmul2dd 10684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  Y )  <  ( ( sqr `  Z )  x.  ( sqr `  Z ) ) )
150 remsqsqr 12045 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  0  <_  Z )  -> 
( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
151123, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  ( sqr `  Z ) )  =  Z )
152149, 151breqtrd 4223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  Z
)  x.  Y )  <  Z )
15330, 22, 83ltmuldivd 10675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  Z )  x.  Y
)  <  Z  <->  ( sqr `  Z )  <  ( Z  /  Y ) ) )
154152, 153mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <  ( Z  /  Y ) )
15530, 145, 154ltled 9205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  Z
)  <_  ( Z  /  Y ) )
156143, 144, 1553jca 1134 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
15756, 30, 132ltled 9205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z ) )
15888relogcld 20501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR )
15989rpred 10632 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
16067simp2d 970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  K )
161159, 160rplogcld 20507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  e.  RR+ )
162158, 161rerpdivcld 10659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR )
163 readdcl 9057 . . . . 5  |-  ( ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  e.  RR )
164162, 34, 163sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  e.  RR )
16524relogcld 20501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR )
166165, 161rerpdivcld 10659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR )
167 nndivre 10019 . . . . 5  |-  ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  e.  RR )
168166, 46, 167sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
16993relogcld 20501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  e.  RR )
170 nndivre 10019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  Z
)  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  ( ( log `  Z
)  /  4 )  e.  RR )
171165, 46, 170sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  4 )  e.  RR )
172 relogexp 20473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) )  e.  RR+  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 ) )  =  ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) ) )
17393, 94, 172sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  =  ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) ) )
17496rpred 10632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR )
175119rpred 10632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  e.  RR )
176174, 118ltaddrpd 10661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  <  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
177 rpexpcl 11383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
17884, 90, 177sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
179175, 178ltaddrpd 10661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  <  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  +  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 ) ) )
18087recnd 9098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E )
) ) ^ 2 )  e.  CC )
181119rpcnd 10634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  e.  CC )
182180, 181addcomd 9252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  +  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 ) ) )
18315, 182syl5eq 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  =  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  +  ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 ) ) )
184179, 183breqtrrd 4225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  <  W )
185175, 17, 22, 184, 23ltletrd 9214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) )  <  Z )
186174, 175, 22, 176, 185lttrd 9215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  <  Z )
187 logltb 20477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  e.  RR+  /\  Z  e.  RR+ )  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  < 
Z  <->  ( log `  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  <  ( log `  Z
) ) )
18896, 24, 187syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  <  Z  <->  ( log `  ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  <  ( log `  Z
) ) )
189186, 188mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) )  <  ( log `  Z
) )
190173, 189eqbrtrrd 4221 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) )  < 
( log `  Z
) )
191 ltmuldiv2 9865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( log `  Z )  e.  RR  /\  (
4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) )  <  ( log `  Z )  <->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  <  ( ( log `  Z )  /  4 ) ) )
192169, 165, 74, 191syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ) )  <  ( log `  Z )  <->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  <  ( ( log `  Z )  /  4 ) ) )
193190, 192mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  <  ( ( log `  Z )  /  4 ) )
194169, 171, 161, 193ltdiv1dd 10685 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  /  ( log `  K ) )  < 
( ( ( log `  Z )  /  4
)  /  ( log `  K ) ) )
19588, 92relogmuld 20503 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  =  ( ( log `  X )  +  ( log `  ( K ^ 2 ) ) ) )
196 relogexp 20473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( K ^
2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  K ) ) )
19789, 90, 196sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  K
) ) )
198197oveq2d 6083 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  +  ( log `  ( K ^ 2 ) ) )  =  ( ( log `  X
)  +  ( 2  x.  ( log `  K
) ) ) )
199195, 198eqtrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  =  ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K
) ) ) )
200199oveq1d 6082 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  /  ( log `  K ) )  =  ( ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K ) ) )  /  ( log `  K
) ) )
201158recnd 9098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  CC )
20234a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
203202recnd 9098 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
204161rpcnd 10634 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  e.  CC )
205203, 204mulcld 9092 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  K ) )  e.  CC )
206161rpcnne0d 10641 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  e.  CC  /\  ( log `  K )  =/=  0 ) )
207 divdir 9685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  X
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( log `  K ) )  e.  CC  /\  (
( log `  K
)  e.  CC  /\  ( log `  K )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K
) ) )  / 
( log `  K
) )  =  ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) ) ) )
208201, 205, 206, 207syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  +  ( 2  x.  ( log `  K ) ) )  /  ( log `  K
) )  =  ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) ) ) )
209206simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  =/=  0 )
210203, 204, 209divcan4d 9780 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) )  =  2 )
211210oveq2d 6083 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  K
) )  /  ( log `  K ) ) )  =  ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 ) )
212200, 208, 2113eqtrd 2466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) )  /  ( log `  K ) )  =  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 ) )
213165recnd 9098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  CC )
214 rpcnne0 10613 . . . . . . 7  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
21548, 214mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )
216 divdiv32 9706 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  Z
)  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( log `  K )  e.  CC  /\  ( log `  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( log `  Z
)  /  4 )  /  ( log `  K
) )  =  ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 ) )
217213, 215, 206, 216syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  4
)  /  ( log `  K ) )  =  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 ) )
218194, 212, 2173brtr3d 4228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  < 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 ) )
219164, 168, 218ltled 9205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 ) )
220115rpred 10632 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  RR )
221108, 103rpdivcld 10649 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  e.  RR+ )
222221rpred 10632 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  e.  RR )
223222, 165remulcld 9100 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B ) )  x.  ( log `  Z
) )  e.  RR )
224115rpcnd 10634 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  CC )
225108rpcnne0d 10641 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
226103rpcnne0d 10641 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  (; 3 2  x.  B )  =/=  0 ) )
227 divdiv2 9710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  CC  /\  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( (; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  (; 3 2  x.  B )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  / 
( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  =  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B
) )  /  (
( U  -  E
)  x.  ( L  x.  ( E ^
2 ) ) ) ) )
228224, 225, 226, 227syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  /  (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  =  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B
) )  /  (
( U  -  E
)  x.  ( L  x.  ( E ^
2 ) ) ) ) )
229103rpcnd 10634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (; 3 2  x.  B
)  e.  CC )
230224, 229mulcomd 9093 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B ) )  =  ( (; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) ) )
231230oveq1d 6082 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  x.  (; 3 2  x.  B
) )  /  (
( U  -  E
)  x.  ( L  x.  ( E ^
2 ) ) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) ) )
232 div23 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  e.  CC  /\  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
(; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )
233229, 224, 225, 232syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C ) )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )
234228, 231, 2333eqtrd 2466 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  /  (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  =  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )
235117reefcld 12673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  e.  RR )
236235, 96ltaddrp2d 10662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( ( ( X  x.  ( K ^
2 ) ) ^
4 )  +  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
237235, 175, 22, 236, 185lttrd 9215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
Z )
23824reeflogd 20502 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  Z ) )  =  Z )
239237, 238breqtrrd 4225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( exp `  ( log `  Z ) ) )
240 eflt 12701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  e.  RR  /\  ( log `  Z
)  e.  RR )  ->  ( ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  <  ( log `  Z )  <->  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( exp `  ( log `  Z ) ) ) )
241117, 165, 240syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( (; 3
2  x.  B )  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( U  x.  3 )  +  C ) )  <  ( log `  Z )  <->  ( exp `  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) )  < 
( exp `  ( log `  Z ) ) ) )
242239, 241mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) )  <  ( log `  Z ) )
243234, 242eqbrtrd 4219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  /  (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  < 
( log `  Z
) )
244220, 165, 221ltdivmuld 10679 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  x.  3 )  +  C )  / 
( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  < 
( log `  Z
)  <->  ( ( U  x.  3 )  +  C )  <  (
( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  x.  ( log `  Z ) ) ) )
245243, 244mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <  ( (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  x.  ( log `  Z ) ) )
246220, 223, 245ltled 9205 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  x.  ( log `  Z ) ) )
247104rpcnd 10634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  -  E
)  e.  CC )
248107rpcnd 10634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC )
249 divass 9680 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  -  E
)  e.  CC  /\  ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
(; 3 2  x.  B
)  e.  CC  /\  (; 3 2  x.  B )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B ) )  =  ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) ) )
250247, 248, 226, 249syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B
) )  =  ( ( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) ) )
251250oveq1d 6082 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) )  /  (; 3 2  x.  B ) )  x.  ( log `  Z
) )  =  ( ( ( U  -  E )  x.  (
( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) )
252246, 251breqtrd 4223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) )
253157, 219, 2523jca 1134 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
( L  x.  E
) )  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  /\  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
25424, 156, 2533jca 1134 1  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   class class class wbr 4199    e. cmpt 4253   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   CCcc 8972   RRcr 8973   0cc0 8974   1c1 8975    + caddc 8977    x. cmul 8979    +oocpnf 9101   RR*cxr 9103    < clt 9104    <_ cle 9105    - cmin 9275    / cdiv 9661   NNcn 9984   2c2 10033   3c3 10034   4c4 10035   ZZcz 10266  ;cdc 10366   RR+crp 10596   (,)cioo 10900   [,)cico 10902   ^cexp 11365   sqrcsqr 12021   expce 12647   _eceu 12648   logclog 20435  ψcchp 20858
This theorem is referenced by:  pntlemg  21275  pntlemh  21276  pntlemn  21277  pntlemq  21278  pntlemr  21279  pntlemj  21280  pntlemf  21282  pntlemk  21283  pntlemo  21284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054
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