Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemb Unicode version

Theorem pntlemb 20578
 Description: Lemma for pnt 20595. Unpack all the lower bounds contained in , in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ψ
pntlem1.a
pntlem1.b
pntlem1.l
pntlem1.d
pntlem1.f ;
pntlem1.u
pntlem1.u2
pntlem1.e
pntlem1.k
pntlem1.y
pntlem1.x
pntlem1.c
pntlem1.w ;
pntlem1.z
Assertion
Ref Expression
pntlemb ;
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pntlemb
StepHypRef Expression
1 pntlem1.z . . . . 5
2 pntlem1.r . . . . . . . 8 ψ
3 pntlem1.a . . . . . . . 8
4 pntlem1.b . . . . . . . 8
5 pntlem1.l . . . . . . . 8
6 pntlem1.d . . . . . . . 8
7 pntlem1.f . . . . . . . 8 ;
8 pntlem1.u . . . . . . . 8
9 pntlem1.u2 . . . . . . . 8
10 pntlem1.e . . . . . . . 8
11 pntlem1.k . . . . . . . 8
12 pntlem1.y . . . . . . . 8
13 pntlem1.x . . . . . . . 8
14 pntlem1.c . . . . . . . 8
15 pntlem1.w . . . . . . . 8 ;
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlema 20577 . . . . . . 7
1716rpred 10269 . . . . . 6
18 pnfxr 10334 . . . . . 6
19 elico2 10592 . . . . . 6
2017, 18, 19sylancl 646 . . . . 5
211, 20mpbid 203 . . . 4
2221simp1d 972 . . 3
2321simp2d 973 . . 3
2422, 16, 23rpgecld 10304 . 2
25 1re 8717 . . . . . . 7
2625a1i 12 . . . . . 6
27 ere 12244 . . . . . . 7
2827a1i 12 . . . . . 6
2924rpsqrcld 11771 . . . . . . 7
3029rpred 10269 . . . . . 6
31 1lt2 9765 . . . . . . . 8
32 egt2lt3 12358 . . . . . . . . 9
3332simpli 446 . . . . . . . 8
34 2re 9695 . . . . . . . . 9
3525, 34, 27lttri 8825 . . . . . . . 8
3631, 33, 35mp2an 656 . . . . . . 7
3736a1i 12 . . . . . 6
38 4re 9699 . . . . . . . 8
3938a1i 12 . . . . . . 7
4032simpri 450 . . . . . . . . 9
41 3lt4 9768 . . . . . . . . 9
42 3re 9697 . . . . . . . . . 10
4327, 42, 38lttri 8825 . . . . . . . . 9
4440, 41, 43mp2an 656 . . . . . . . 8
4544a1i 12 . . . . . . 7
46 4nn 9758 . . . . . . . . . . 11
47 nnrp 10242 . . . . . . . . . . 11
4846, 47ax-mp 10 . . . . . . . . . 10
492, 3, 4, 5, 6, 7pntlemd 20575 . . . . . . . . . . . 12
5049simp1d 972 . . . . . . . . . . 11
512, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11pntlemc 20576 . . . . . . . . . . . 12
5251simp1d 972 . . . . . . . . . . 11
5350, 52rpmulcld 10285 . . . . . . . . . 10
54 rpdivcl 10255 . . . . . . . . . 10
5548, 53, 54sylancr 647 . . . . . . . . 9
5655rpred 10269 . . . . . . . 8
5753rpred 10269 . . . . . . . . . . . 12
5852rpred 10269 . . . . . . . . . . . 12
5950rpred 10269 . . . . . . . . . . . . . 14
60 eliooord 10588 . . . . . . . . . . . . . . . 16
615, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14
6359, 26, 52, 62ltmul1dd 10320 . . . . . . . . . . . . 13
6452rpcnd 10271 . . . . . . . . . . . . . 14
6564mulid2d 8733 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 65breqtrd 3944 . . . . . . . . . . . 12
6751simp3d 974 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867simp1d 972 . . . . . . . . . . . . . 14
69 eliooord 10588 . . . . . . . . . . . . . 14
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
7170simprd 451 . . . . . . . . . . . 12
7257, 58, 26, 66, 71lttrd 8857 . . . . . . . . . . 11
73 4pos 9712 . . . . . . . . . . . . 13
7439, 73jctir 526 . . . . . . . . . . . 12
75 ltmul2 9487 . . . . . . . . . . . 12
7657, 26, 74, 75syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11
7772, 76mpbid 203 . . . . . . . . . 10
78 4cn 9700 . . . . . . . . . . 11
7978mulid1i 8719 . . . . . . . . . 10
8077, 79syl6breq 3959 . . . . . . . . 9
8139, 39, 53ltmuldivd 10312 . . . . . . . . 9
8280, 81mpbid 203 . . . . . . . 8
8312simpld 447 . . . . . . . . . . 11
8483, 55rpaddcld 10284 . . . . . . . . . 10
8584rpred 10269 . . . . . . . . 9
8656, 83ltaddrp2d 10299 . . . . . . . . 9
8785resqcld 11149 . . . . . . . . . . . 12
8813simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8951simp2d 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90 2z 9933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 rpexpcl 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9289, 90, 91sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9388, 92rpmulcld 10285 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9446nnzi 9926 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 rpexpcl 11000 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9693, 94, 95sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 3nn0 9862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98 2nn 9756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9997, 98decnncl 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ;
100 nnrp 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ; ;
10199, 100ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ;
102 rpmulcl 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ; ;
103101, 4, 102sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ;
10467simp3d 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105 rpexpcl 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10652, 90, 105sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10750, 106rpmulcld 10285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108104, 107rpmulcld 10285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109103, 108rpdivcld 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ;
110 3nn 9757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
111 nnrp 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112110, 111ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113 rpmulcl 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1148, 112, 113sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115114, 14rpaddcld 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116109, 115rpmulcld 10285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;
117116rpred 10269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
118117rpefcld 12259 . . . . . . . . . . . . . . 15 ;
11996, 118rpaddcld 10284 . . . . . . . . . . . . . 14 ;
12087, 119ltaddrpd 10298 . . . . . . . . . . . . 13 ;
121120, 15syl6breqr 3960 . . . . . . . . . . . 12
12287, 17, 22, 121, 23ltletrd 8856 . . . . . . . . . . 11
12324rprege0d 10276 . . . . . . . . . . . 12
124 resqrth 11618 . . . . . . . . . . . 12
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11
126122, 125breqtrrd 3946 . . . . . . . . . 10
12784rprege0d 10276 . . . . . . . . . . 11
12829rprege0d 10276 . . . . . . . . . . 11
129 lt2sq 11055 . . . . . . . . . . 11
130127, 128, 129syl2anc 645 . . . . . . . . . 10
131126, 130mpbird 225 . . . . . . . . 9
13256, 85, 30, 86, 131lttrd 8857 . . . . . . . 8
13339, 56, 30, 82, 132lttrd 8857 . . . . . . 7
13428, 39, 30, 45, 133lttrd 8857 . . . . . 6
13526, 28, 30, 37, 134lttrd 8857 . . . . 5
136 0le1 9177 . . . . . . 7
137136a1i 12 . . . . . 6
138 lt2sq 11055 . . . . . 6
13926, 137, 128, 138syl21anc 1186 . . . . 5
140135, 139mpbid 203 . . . 4
141 sq1 11076 . . . . 5
142141a1i 12 . . . 4
143140, 142, 1253brtr3d 3949 . . 3
14428, 30, 134ltled 8847 . . 3
14522, 83rerpdivcld 10296 . . . 4
14683rpred 10269 . . . . . . 7
147146, 55ltaddrpd 10298 . . . . . . . 8
148146, 85, 30, 147, 131lttrd 8857 . . . . . . 7
149146, 30, 29, 148ltmul2dd 10321 . . . . . 6
150 remsqsqr 11619 . . . . . . 7
151123, 150syl 17 . . . . . 6
152149, 151breqtrd 3944 . . . . 5
15330, 22, 83ltmuldivd 10312 . . . . 5
154152, 153mpbid 203 . . . 4
15530, 145, 154ltled 8847 . . 3
156143, 144, 1553jca 1137 . 2
15756, 30, 132ltled 8847 . . 3
15888relogcld 19806 . . . . . 6
15989rpred 10269 . . . . . . 7
16067simp2d 973 . . . . . . 7
161159, 160rplogcld 19812 . . . . . 6
162158, 161rerpdivcld 10296 . . . . 5
163 readdcl 8700 . . . . 5
164162, 34, 163sylancl 646 . . . 4
16524relogcld 19806 . . . . . 6
166165, 161rerpdivcld 10296 . . . . 5
167 nndivre 9661 . . . . 5
168166, 46, 167sylancl 646 . . . 4
16993relogcld 19806 . . . . . 6
170 nndivre 9661 . . . . . . 7
171165, 46, 170sylancl 646 . . . . . 6
172 relogexp 19781 . . . . . . . . 9
17393, 94, 172sylancl 646 . . . . . . . 8
17496rpred 10269 . . . . . . . . . 10
175119rpred 10269 . . . . . . . . . 10 ;
176174, 118ltaddrpd 10298 . . . . . . . . . 10 ;
177 rpexpcl 11000 . . . . . . . . . . . . . 14
17884, 90, 177sylancl 646 . . . . . . . . . . . . 13
179175, 178ltaddrpd 10298 . . . . . . . . . . . 12 ; ;
18087recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . 14
181119rpcnd 10271 . . . . . . . . . . . . . 14 ;
182180, 181addcomd 8894 . . . . . . . . . . . . 13 ; ;
18315, 182syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . 12 ;
184179, 183breqtrrd 3946 . . . . . . . . . . 11 ;
185175, 17, 22, 184, 23ltletrd 8856 . . . . . . . . . 10 ;
186174, 175, 22, 176, 185lttrd 8857 . . . . . . . . 9
187 logltb 19785 . . . . . . . . . 10
18896, 24, 187syl2anc 645 . . . . . . . . 9
189186, 188mpbid 203 . . . . . . . 8
190173, 189eqbrtrrd 3942 . . . . . . 7
191 ltmuldiv2 9507 . . . . . . . 8
192169, 165, 74, 191syl3anc 1187 . . . . . . 7
193190, 192mpbid 203 . . . . . 6
194169, 171, 161, 193ltdiv1dd 10322 . . . . 5
19588, 92relogmuld 19808 . . . . . . . 8
196 relogexp 19781 . . . . . . . . . 10
19789, 90, 196sylancl 646 . . . . . . . . 9
198197oveq2d 5726 . . . . . . . 8
199195, 198eqtrd 2285 . . . . . . 7
200199oveq1d 5725 . . . . . 6
201158recnd 8741 . . . . . . 7
20234a1i 12 . . . . . . . . 9
203202recnd 8741 . . . . . . . 8
204161rpcnd 10271 . . . . . . . 8
205203, 204mulcld 8735 . . . . . . 7
206161rpcnne0d 10278 . . . . . . 7
207 divdir 9327 . . . . . . 7
208201, 205, 206, 207syl3anc 1187 . . . . . 6
209206simprd 451 . . . . . . . 8
210203, 204, 209divcan4d 9422 . . . . . . 7
211210oveq2d 5726 . . . . . 6
212200, 208, 2113eqtrd 2289 . . . . 5
213165recnd 8741 . . . . . 6
214 rpcnne0 10250 . . . . . . 7
21548, 214mp1i 13 . . . . . 6
216 divdiv32 9348 . . . . . 6
217213, 215, 206, 216syl3anc 1187 . . . . 5
218194, 212, 2173brtr3d 3949 . . . 4
219164, 168, 218ltled 8847 . . 3
220115rpred 10269 . . . . 5
221108, 103rpdivcld 10286 . . . . . . 7 ;
222221rpred 10269 . . . . . 6 ;
223222, 165remulcld 8743 . . . . 5 ;
224115rpcnd 10271 . . . . . . . . 9
225108rpcnne0d 10278 . . . . . . . . 9
226103rpcnne0d 10278 . . . . . . . . 9 ; ;
227 divdiv2 9352 . . . . . . . . 9 ; ; ; ;
228224, 225, 226, 227syl3anc 1187 . . . . . . . 8 ; ;
229103rpcnd 10271 . . . . . . . . . 10 ;
230224, 229mulcomd 8736 . . . . . . . . 9 ; ;
231230oveq1d 5725 . . . . . . . 8 ; ;
232 div23 9323 . . . . . . . . 9 ; ; ;
233229, 224, 225, 232syl3anc 1187 . . . . . . . 8 ; ;
234228, 231, 2333eqtrd 2289 . . . . . . 7 ; ;
235117reefcld 12243 . . . . . . . . . 10 ;
236235, 96ltaddrp2d 10299 . . . . . . . . . 10 ; ;
237235, 175, 22, 236, 185lttrd 8857 . . . . . . . . 9 ;
23824reeflogd 19807 . . . . . . . . 9
239237, 238breqtrrd 3946 . . . . . . . 8 ;
240 eflt 12271 . . . . . . . . 9 ; ; ;
241117, 165, 240syl2anc 645 . . . . . . . 8 ; ;
242239, 241mpbird 225 . . . . . . 7 ;
243234, 242eqbrtrd 3940 . . . . . 6 ;
244220, 165, 221ltdivmuld 10316 . . . . . 6 ; ;
245243, 244mpbid 203 . . . . 5 ;
246220, 223, 245ltled 8847 . . . 4 ;
247104rpcnd 10271 . . . . . 6
248107rpcnd 10271 . . . . . 6
249 divass 9322 . . . . . 6 ; ; ; ;
250247, 248, 226, 249syl3anc 1187 . . . . 5 ; ;
251250oveq1d 5725 . . . 4 ; ;
252246, 251breqtrd 3944 . . 3 ;
253157, 219, 2523jca 1137 . 2 ;
25424, 156, 2533jca 1137 1 ;
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412   class class class wbr 3920   cmpt 3974  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   cpnf 8744  cxr 8746   clt 8747   cle 8748   cmin 8917   cdiv 9303  cn 9626  c2 9675  c3 9676  c4 9677  cz 9903  ;cdc 10003  crp 10233  cioo 10534  cico 10536  cexp 10982  csqr 11595  ce 12217  ceu 12218  clog 19744  ψcchp 20162 This theorem is referenced by:  pntlemg  20579  pntlemh  20580  pntlemn  20581  pntlemq  20582  pntlemr  20583  pntlemj  20584  pntlemf  20586  pntlemk  20587  pntlemo  20588 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-e 12224  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746
 Copyright terms: Public domain W3C validator