Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemc Unicode version

Theorem pntlemc 20706
 Description: Lemma for pnt 20725. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, is α, is ε, and is K. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ψ
pntlem1.a
pntlem1.b
pntlem1.l
pntlem1.d
pntlem1.f ;
pntlem1.u
pntlem1.u2
pntlem1.e
pntlem1.k
Assertion
Ref Expression
pntlemc
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pntlemc
StepHypRef Expression
1 pntlem1.e . . 3
2 pntlem1.u . . . 4
3 pntlem1.r . . . . . 6 ψ
4 pntlem1.a . . . . . 6
5 pntlem1.b . . . . . 6
6 pntlem1.l . . . . . 6
7 pntlem1.d . . . . . 6
8 pntlem1.f . . . . . 6 ;
93, 4, 5, 6, 7, 8pntlemd 20705 . . . . 5
109simp2d 973 . . . 4
112, 10rpdivcld 10374 . . 3
121, 11syl5eqel 2342 . 2
13 pntlem1.k . . 3
145, 12rpdivcld 10374 . . . . 5
1514rpred 10357 . . . 4
1615rpefcld 12347 . . 3
1713, 16syl5eqel 2342 . 2
1812rpred 10357 . . . 4
1912rpgt0d 10360 . . . 4
202rpred 10357 . . . . . . . 8
214rpred 10357 . . . . . . . 8
2210rpred 10357 . . . . . . . 8
23 pntlem1.u2 . . . . . . . 8
2421ltp1d 9655 . . . . . . . . 9
2524, 7syl6breqr 4037 . . . . . . . 8
2620, 21, 22, 23, 25lelttrd 8942 . . . . . . 7
2710rpcnd 10359 . . . . . . . 8
2827mulid1d 8820 . . . . . . 7
2926, 28breqtrrd 4023 . . . . . 6
30 1re 8805 . . . . . . . 8
3130a1i 12 . . . . . . 7
3220, 31, 10ltdivmuld 10404 . . . . . 6
3329, 32mpbird 225 . . . . 5
341, 33syl5eqbr 4030 . . . 4
35 0xr 8846 . . . . 5
36 rexr 8845 . . . . . 6
3730, 36ax-mp 10 . . . . 5
38 elioo2 10663 . . . . 5
3935, 37, 38mp2an 656 . . . 4
4018, 19, 34, 39syl3anbrc 1141 . . 3
41 efgt1 12358 . . . . 5
4214, 41syl 17 . . . 4
4342, 13syl6breqr 4037 . . 3
44 ltaddrp 10353 . . . . . . . 8
4530, 4, 44sylancr 647 . . . . . . 7
462rpcnne0d 10366 . . . . . . . 8
47 divid 9419 . . . . . . . 8
4846, 47syl 17 . . . . . . 7
494rpcnd 10359 . . . . . . . . 9
50 ax-1cn 8763 . . . . . . . . 9
51 addcom 8966 . . . . . . . . 9
5249, 50, 51sylancl 646 . . . . . . . 8
537, 52syl5eq 2302 . . . . . . 7
5445, 48, 533brtr4d 4027 . . . . . 6
5520, 2, 10, 54ltdiv23d 10413 . . . . 5
561, 55syl5eqbr 4030 . . . 4
57 difrp 10354 . . . . 5
5818, 20, 57syl2anc 645 . . . 4
5956, 58mpbid 203 . . 3
6040, 43, 593jca 1137 . 2
6112, 17, 603jca 1137 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2421   class class class wbr 3997   cmpt 4051  cfv 4673  (class class class)co 5792  cc 8703  cr 8704  cc0 8705  c1 8706   caddc 8708   cmul 8710  cxr 8834   clt 8835   cle 8836   cmin 9005   cdiv 9391  c2 9763  c3 9764  ;cdc 10091  crp 10321  cioo 10622  cexp 11070  ce 12305  ψcchp 20292 This theorem is referenced by:  pntlema  20707  pntlemb  20708  pntlemg  20709  pntlemh  20710  pntlemq  20712  pntlemr  20713  pntlemj  20714  pntlemi  20715  pntlemf  20716  pntlemo  20718  pntleme  20719  pntlemp  20721 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-rp 10322  df-ioo 10626  df-ico 10628  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-seq 11013  df-exp 11071  df-fac 11255  df-bc 11282  df-hash 11304  df-shft 11527  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-limsup 11910  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-ef 12311
 Copyright terms: Public domain W3C validator