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Theorem pntlemg 20763
Description: Lemma for pnt 20779. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434,  M is j^* and  N is ĵ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlem1.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlem1.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlem1.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlem1.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlem1.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlem1.x  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
pntlem1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
pntlem1.w  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
pntlem1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
pntlem1.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
pntlem1.n  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
Assertion
Ref Expression
pntlemg  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  <_  ( N  -  M )
) )
Distinct variable group:    E, a
Allowed substitution hints:    ph( a)    A( a)    B( a)    C( a)    D( a)    R( a)    U( a)    F( a)    K( a)    L( a)    M( a)    N( a)    W( a)    X( a)    Y( a)    Z( a)

Proof of Theorem pntlemg
StepHypRef Expression
1 pntlem1.m . . 3  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )
2 pntlem1.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR+  /\  Y  <  X ) )
32simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
43rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
5 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
65a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7 pntlem1.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
87simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
98rpred 10406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
107simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
112simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  <  X )
126, 9, 4, 10, 11lelttrd 8990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  X )
134, 12rplogcld 19996 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR+ )
14 pntlem1.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
15 pntlem1.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
16 pntlem1.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
17 pntlem1.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
18 pntlem1.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( A  +  1 )
19 pntlem1.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
20 pntlem1.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
21 pntlem1.u2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
22 pntlem1.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( U  /  D
)
23 pntlem1.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
2414, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23pntlemc 20760 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR+  /\  K  e.  RR+  /\  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E )  e.  RR+ ) ) )
2524simp2d 968 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
2625rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
2724simp3d 969 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
)
2827simp2d 968 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  K )
2926, 28rplogcld 19996 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  e.  RR+ )
3013, 29rpdivcld 10423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR+ )
3130rprege0d 10413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) ) )
32 flge0nn0 10964 . . . 4  |-  ( ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  e.  NN0 )
33 nn0p1nn 10019 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  X )  /  ( log `  K
) ) )  e. 
NN0  ->  ( ( |_
`  ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )  e.  NN )
3431, 32, 333syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )  e.  NN )
351, 34syl5eqel 2380 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3635nnzd 10132 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
37 pntlem1.n . . . 4  |-  N  =  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )
38 pntlem1.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
39 pntlem1.w . . . . . . . . . 10  |-  W  =  ( ( ( Y  +  ( 4  / 
( L  x.  E
) ) ) ^
2 )  +  ( ( ( X  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  C
) ) ) ) )
40 pntlem1.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W [,)  +oo ) )
4114, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 7, 2, 38, 39, 40pntlemb 20762 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  RR+  /\  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) )  /\  (
( 4  /  ( L  x.  E )
)  <_  ( sqr `  Z )  /\  (
( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  /\  (
( U  x.  3 )  +  C )  <_  ( ( ( U  -  E )  x.  ( ( L  x.  ( E ^
2 ) )  / 
(; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) ) )
4241simp1d 967 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR+ )
4342relogcld 19990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR )
4443, 29rerpdivcld 10433 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR )
4544rehalfcld 9974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 )  e.  RR )
4645flcld 10946 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
4737, 46syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
48 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
4948a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
50 4nn 9895 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
51 nndivre 9797 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  e.  RR )
5244, 50, 51sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
5347zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5435nnred 9777 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
5553, 54resubcld 9227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  RR )
5642rpred 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
5741simp2d 968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <  Z  /\  _e  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( sqr `  Z )  <_ 
( Z  /  Y
) ) )
5857simp1d 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  Z )
5956, 58rplogcld 19996 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  Z
)  e.  RR+ )
6059, 29rpdivcld 10423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR+ )
61 4re 9835 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
62 4pos 9848 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
6361, 62elrpii 10373 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR+
64 rpdivcl 10392 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  4
)  e.  RR+ )
6560, 63, 64sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  e.  RR+ )
6665rpge0d 10410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 ) )
6752recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  e.  CC )
6835nncnd 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
69 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
7069a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7167, 68, 70addassd 8873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  +  M
)  +  1 )  =  ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  +  ( M  +  1 ) ) )
7254, 6readdcld 8878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
7352, 72readdcld 8878 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  4
)  +  ( M  +  1 ) )  e.  RR )
74 peano2re 9001 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
7553, 74syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
7630rpred 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR )
77 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
7877a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
7976, 78readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  e.  RR )
80 reflcl 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  e.  RR )
8176, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  e.  RR )
8281recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  e.  CC )
8382, 70, 70addassd 8873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  ( 1  +  1 ) ) )
841oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  +  1 )  =  ( ( ( |_
`  ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) ) )  +  1 )  +  1 )
85 df-2 9820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8685oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  X )  /  ( log `  K
) ) )  +  2 )  =  ( ( |_ `  (
( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  ( 1  +  1 ) )
8783, 84, 863eqtr4g 2353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( ( log `  X )  /  ( log `  K
) ) )  +  2 ) )
88 flle 10947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  <_  ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) ) )
8976, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  <_  ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) ) )
9081, 76, 78, 89leadd1dd 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( log `  X
)  /  ( log `  K ) ) )  +  2 )  <_ 
( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 ) )
9187, 90eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  <_  ( (
( log `  X
)  /  ( log `  K ) )  +  2 ) )
9241simp3d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
( L  x.  E
) )  <_  ( sqr `  Z )  /\  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  /\  ( ( U  x.  3 )  +  C
)  <_  ( (
( U  -  E
)  x.  ( ( L  x.  ( E ^ 2 ) )  /  (; 3 2  x.  B
) ) )  x.  ( log `  Z
) ) ) )
9392simp2d 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  X )  /  ( log `  K ) )  +  2 )  <_ 
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 ) )
9472, 79, 52, 91, 93letrd 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  <_  ( (
( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 ) )
9572, 52, 52, 94leadd2dd 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  4
)  +  ( M  +  1 ) )  <_  ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  +  ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 ) ) )
9644recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  e.  CC )
97 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
9897a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
99 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
10099a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
10196, 98, 98, 100, 100divdiv1d 9583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  (
2  x.  2 ) ) )
102 2t2e4 9887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
103102oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
( 2  x.  2 ) )  =  ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )
104101, 103syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  4
) )
105104oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 )  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 ) ) )
10645recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 )  e.  CC )
107106, 98, 100divcan2d 9554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 )  / 
2 ) )  =  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 ) )
108672timesd 9970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  4
)  +  ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 ) ) )
109105, 107, 1083eqtr3d 2336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 )  =  ( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  4
)  +  ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 ) ) )
11095, 109breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  4
)  +  ( M  +  1 ) )  <_  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  2
) )
111 fllep1 10949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
2 )  e.  RR  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 )  <_ 
( ( |_ `  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 ) )  +  1 ) )
11245, 111syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 )  <_ 
( ( |_ `  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 ) )  +  1 ) )
11337oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 ) )  +  1 )
114112, 113syl6breqr 4079 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  2 )  <_ 
( N  +  1 ) )
11573, 45, 75, 110, 114letrd 8989 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  4
)  +  ( M  +  1 ) )  <_  ( N  + 
1 ) )
11671, 115eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  +  M
)  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) )
11752, 54readdcld 8878 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  4
)  +  M )  e.  RR )
118117, 53, 6leadd1d 9382 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  +  M
)  <_  N  <->  ( (
( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  +  M )  +  1 )  <_  ( N  +  1 ) ) )
119116, 118mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
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120 leaddsub 9266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K
) )  /  4
)  +  M )  <_  N  <->  ( (
( log `  Z
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) )
12152, 54, 53, 120syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  +  M
)  <_  N  <->  ( (
( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
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) )
122119, 121mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  Z )  /  ( log `  K ) )  /  4 )  <_ 
( N  -  M
) )
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125123, 124mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
126 eluz2 10252 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
12736, 47, 125, 126syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
12835, 127, 1223jca 1132 1  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ( log `  Z
)  /  ( log `  K ) )  / 
4 )  <_  ( N  -  M )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   NN0cn0 9981   ZZcz 10040  ;cdc 10140   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   |_cfl 10940   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734   expce 12359   _eceu 12360   logclog 19928  ψcchp 20346
This theorem is referenced by:  pntlemh  20764  pntlemq  20766  pntlemr  20767  pntlemj  20768  pntlemf  20770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930
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