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Theorem pntleml 21293
Description: Lemma for pnt 21296. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem3.A  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntlemp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlemp.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlemp.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlemp.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlemp.K  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
Assertion
Ref Expression
pntleml  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    e, a,
k, u, x, y, z, D    y, F, z    R, e, k, u, x, y, z    e, L, k, u, x, y, z    ph, x, y    B, e, k, x, y, z    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( u, e, k, a)    A( u, e, k, a)    B( u, a)    R( a)    F( x, u, e, k, a)    L( a)

Proof of Theorem pntleml
Dummy variables  s 
r  t  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem3.r . 2  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2 pntlem3.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3 pntlem3.A . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
4 eqid 2435 . 2  |-  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
5 pntlemp.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
6 pntlemp.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
7 pntlemp.d . . . 4  |-  D  =  ( A  +  1 )
8 pntlemp.f . . . 4  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
91, 2, 5, 6, 7, 8pntlemd 21276 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR+  /\  D  e.  RR+  /\  F  e.  RR+ ) )
109simp3d 971 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  RR+ )
11 0cn 9073 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
1211subidi 9360 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
13 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  r  =  0 )
1413oveq1d 6087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
15 3nn 10123 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
16 0exp 11403 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
1814, 17syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r ^ 3 )  =  0 )
1918oveq2d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  =  ( F  x.  0 ) )
2010rpcnd 10639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
2120mul01d 9254 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  x.  0 )  =  0 )
2221ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  ( F  x.  0 )  =  0 )
2319, 22eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  =  0 )
2413, 23oveq12d 6090 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
2512, 24, 133eqtr4a 2493 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  =  r )
26 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
2725, 26eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
28 oveq1 6079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  s  ->  (
y [,)  +oo )  =  ( s [,)  +oo ) )
2928raleqdv 2902 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  s  ->  ( A. z  e.  (
y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)
3029cbvrexv 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  <->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
31 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  e.  ( 0 [,] A
) )
32 0re 9080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
332ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A  e.  RR+ )
3433rpred 10637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A  e.  RR )
35 elicc2 10964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( r  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( r  e.  RR  /\  0  <_  r  /\  r  <_  A ) ) )
3632, 34, 35sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  e.  ( 0 [,] A
)  <->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r  /\  r  <_  A ) ) )
3731, 36mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r  /\  r  <_  A ) )
3837simp1d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
3910ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  F  e.  RR+ )
4037simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  r )
41 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  =/=  0 )
4238, 40, 41ne0gt0d 9199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <  r )
4338, 42elrpd 10635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  e.  RR+ )
44 3nn0 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  NN0
4544nn0zi 10295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  ZZ
46 rpexpcl 11388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
r ^ 3 )  e.  RR+ )
4743, 45, 46sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r ^ 3 )  e.  RR+ )
4839, 47rpmulcld 10653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  e.  RR+ )
4948rpred 10637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  e.  RR )
5038, 49resubcld 9454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  RR )
513ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A )
525ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  B  e.  RR+ )
536ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  L  e.  ( 0 (,) 1
) )
54 pntlemp.K . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
5554ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
5637simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  <_  A )
57 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  /  D )  =  ( r  /  D
)
58 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp `  ( B  /  (
r  /  D ) ) )  =  ( exp `  ( B  /  ( r  /  D ) ) )
59 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  e.  RR+ )
60 1rp 10605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
61 rpaddcl 10621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  (
s  +  1 )  e.  RR+ )
6259, 60, 61sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( s  +  1 )  e.  RR+ )
6359rpge0d 10641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  s )
64 1re 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
6559rpred 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  e.  RR )
66 addge02 9528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( 0  <_  s  <->  1  <_  ( s  +  1 ) ) )
6764, 65, 66sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( 0  <_  s  <->  1  <_  ( s  +  1 ) ) )
6863, 67mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  1  <_  ( s  +  1 ) )
6962, 68jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
s  +  1 )  e.  RR+  /\  1  <_  ( s  +  1 ) ) )
7059rpxrd 10638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  e.  RR* )
7165lep1d 9931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  <_  ( s  +  1 ) )
72 df-ico 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [,)  =  ( t  e.  RR* ,  r  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( t  <_  w  /\  w  <  r ) } )
73 xrletr 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR*  /\  (
s  +  1 )  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  ->  (
( s  <_  (
s  +  1 )  /\  ( s  +  1 )  <_  v
)  ->  s  <_  v ) )
7472, 72, 73ixxss1 10923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  RR*  /\  s  <_  ( s  +  1 ) )  ->  (
( s  +  1 ) [,)  +oo )  C_  ( s [,)  +oo ) )
7570, 71, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
s  +  1 ) [,)  +oo )  C_  (
s [,)  +oo ) )
76 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
77 ssralv 3399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  +  1 ) [,)  +oo )  C_  ( s [,)  +oo )  ->  ( A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  A. z  e.  ( ( s  +  1 ) [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )
7875, 76, 77sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. z  e.  ( ( s  +  1 ) [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
791, 33, 51, 52, 53, 7, 8, 55, 43, 56, 57, 58, 69, 78pntlemp 21292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) )
80 rpre 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  RR+  ->  w  e.  RR )
8180adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR )
8281leidd 9582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  <_  w )
83 elicopnf 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  RR  ->  (
w  e.  ( w [,)  +oo )  <->  ( w  e.  RR  /\  w  <_  w ) ) )
8481, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
w  e.  ( w [,)  +oo )  <->  ( w  e.  RR  /\  w  <_  w ) ) )
8581, 82, 84mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  ( w [,)  +oo ) )
86 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  w  ->  ( R `  v )  =  ( R `  w ) )
87 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  w  ->  v  =  w )
8886, 87oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  w  ->  (
( R `  v
)  /  v )  =  ( ( R `
 w )  /  w ) )
8988fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  w  ->  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  =  ( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) ) )
9089breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  w  ->  (
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
9190rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( w [,) 
+oo )  ->  ( A. v  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 w )  /  w ) )  <_ 
( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
9285, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 w )  /  w ) )  <_ 
( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
931pntrf 21245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  R : RR+
--> RR
9493ffvelrni 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( R `
 w )  e.  RR )
95 rerpdivcl 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R `  w
)  e.  RR  /\  w  e.  RR+ )  -> 
( ( R `  w )  /  w
)  e.  RR )
9694, 95mpancom 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( ( R `  w )  /  w )  e.  RR )
9796adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( R `  w
)  /  w )  e.  RR )
9897recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( R `  w
)  /  w )  e.  CC )
9998absge0d 12234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) ) )
10032a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
10198abscld 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( R `
 w )  /  w ) )  e.  RR )
10250adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  RR )
103 letr 9156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w ) )  e.  RR  /\  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( 0  <_ 
( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) )  ->  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( 0  <_  ( abs `  ( ( R `
 w )  /  w ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) ) )  -> 
0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
10599, 104mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  -> 
0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
10692, 105syld 42 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
107106rexlimdva 2822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  -> 
0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
10879, 107mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) )
10948rpge0d 10641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )
11038, 49subge02d 9607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( 0  <_  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  <->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_ 
r ) )
111109, 110mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_ 
r )
11250, 38, 34, 111, 56letrd 9216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_  A )
113 elicc2 10964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  /\  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_  A )
) )
11432, 34, 113sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  <->  ( (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  /\  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_  A ) ) )
11550, 108, 112, 114mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A
) )
116115, 79jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
117116rexlimdvaa 2823 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A
) ) )  -> 
( E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( s [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
11830, 117syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A
) ) )  -> 
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
119118anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  =/=  0 )  /\  r  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
120119expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  =/=  0 )  ->  (
( r  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )  ->  ( ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
121 breq2 4208 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  r  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )
122121rexralbidv 2741 . . . . . . 7  |-  ( t  =  r  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)
123122elrab 3084 . . . . . 6  |-  ( r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  <->  ( r  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)
124 breq2 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  z
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) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
125124rexralbidv 2741 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
126 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  ( R `  v )  =  ( R `  z ) )
127 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  v  =  z )
128126, 127oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  z  ->  (
( R `  v
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 z )  / 
z ) )
129128fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  z  ->  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  =  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) ) )
130129breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  z  ->  (
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
131130cbvralv 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  <->  A. z  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) ) )
132 oveq1 6079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
w [,)  +oo )  =  ( y [,)  +oo ) )
133132raleqdv 2902 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( A. z  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  <->  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
134131, 133syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( A. v  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  <->  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
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135134cbvrexv 2925 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
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( R `  z
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136125, 135syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
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( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
137136elrab 3084 . . . . . 6  |-  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  <->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
138120, 123, 1373imtr4g 262 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  =/=  0 )  ->  (
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( R `  z
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( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
) )
139138imp 419 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  =/=  0 )  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e. 
{ t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
140139an32s 780 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  =/=  0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
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( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
14127, 140pm2.61dane 2676 . 2  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t } )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
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)  /  z ) )  <_  t }
)
1421, 2, 3, 4, 10, 141pntlem3 21291 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    +oocpnf 9106   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280    / cdiv 9666   NNcn 9989   2c2 10038   3c3 10039   ZZcz 10271  ;cdc 10371   RR+crp 10601   (,)cioo 10905   [,)cico 10907   [,]cicc 10908   ^cexp 11370   abscabs 12027    ~~> r crli 12267   expce 12652  ψcchp 20863
This theorem is referenced by:  pnt3  21294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-o1 12272  df-lo1 12273  df-sum 12468  df-ef 12658  df-e 12659  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-prm 13068  df-pc 13199  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742  df-log 20442  df-cxp 20443  df-em 20819  df-cht 20867  df-vma 20868  df-chp 20869  df-ppi 20870  df-mu 20871
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