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Theorem pntleml 20776
Description: Lemma for pnt 20779. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem3.A  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntlemp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlemp.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlemp.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlemp.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlemp.K  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
Assertion
Ref Expression
pntleml  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    e, a,
k, u, x, y, z, D    y, F, z    R, e, k, u, x, y, z    e, L, k, u, x, y, z    ph, x, y    B, e, k, x, y, z    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( u, e, k, a)    A( u, e, k, a)    B( u, a)    R( a)    F( x, u, e, k, a)    L( a)

Proof of Theorem pntleml
Dummy variables  s 
r  t  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem3.r . 2  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2 pntlem3.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3 pntlem3.A . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
4 eqid 2296 . 2  |-  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  =  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
5 pntlemp.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
6 pntlemp.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
7 pntlemp.d . . . 4  |-  D  =  ( A  +  1 )
8 pntlemp.f . . . 4  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
91, 2, 5, 6, 7, 8pntlemd 20759 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR+  /\  D  e.  RR+  /\  F  e.  RR+ ) )
109simp3d 969 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  RR+ )
11 0cn 8847 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
1211subidi 9133 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
13 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  r  =  0 )
1413oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
15 3nn 9894 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
16 0exp 11153 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
1814, 17syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r ^ 3 )  =  0 )
1918oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  =  ( F  x.  0 ) )
2010rpcnd 10408 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
2120mul01d 9027 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  x.  0 )  =  0 )
2221ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  ( F  x.  0 )  =  0 )
2319, 22eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  =  0 )
2413, 23oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
2512, 24, 133eqtr4a 2354 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  =  r )
26 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
2725, 26eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  = 
0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
28 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  s  ->  (
y [,)  +oo )  =  ( s [,)  +oo ) )
2928raleqdv 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  s  ->  ( A. z  e.  (
y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)
3029cbvrexv 2778 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  <->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
31 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  e.  ( 0 [,] A
) )
32 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
332ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A  e.  RR+ )
3433rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A  e.  RR )
35 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( r  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( r  e.  RR  /\  0  <_  r  /\  r  <_  A ) ) )
3632, 34, 35sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  e.  ( 0 [,] A
)  <->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r  /\  r  <_  A ) ) )
3731, 36mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r  /\  r  <_  A ) )
3837simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
3910ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  F  e.  RR+ )
4037simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  r )
41 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  =/=  0 )
4238, 40, 41ne0gt0d 8972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <  r )
4338, 42elrpd 10404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  e.  RR+ )
44 3nn0 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  NN0
4544nn0zi 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  ZZ
46 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
r ^ 3 )  e.  RR+ )
4743, 45, 46sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r ^ 3 )  e.  RR+ )
4839, 47rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  e.  RR+ )
4948rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  e.  RR )
5038, 49resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  RR )
513ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  A )
525ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  B  e.  RR+ )
536ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  L  e.  ( 0 (,) 1
) )
54 pntlemp.K . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
5554ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
5637simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  r  <_  A )
57 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  /  D )  =  ( r  /  D
)
58 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( exp `  ( B  /  (
r  /  D ) ) )  =  ( exp `  ( B  /  ( r  /  D ) ) )
59 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  e.  RR+ )
60 1rp 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR+
61 rpaddcl 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  (
s  +  1 )  e.  RR+ )
6259, 60, 61sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( s  +  1 )  e.  RR+ )
6359rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  s )
64 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
6559rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  e.  RR )
66 addge02 9301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( 0  <_  s  <->  1  <_  ( s  +  1 ) ) )
6764, 65, 66sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( 0  <_  s  <->  1  <_  ( s  +  1 ) ) )
6863, 67mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  1  <_  ( s  +  1 ) )
6962, 68jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
s  +  1 )  e.  RR+  /\  1  <_  ( s  +  1 ) ) )
7059rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  e.  RR* )
7165lep1d 9704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  s  <_  ( s  +  1 ) )
72 df-ico 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [,)  =  ( t  e.  RR* ,  r  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( t  <_  w  /\  w  <  r ) } )
73 xrletr 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  RR*  /\  (
s  +  1 )  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  ->  (
( s  <_  (
s  +  1 )  /\  ( s  +  1 )  <_  v
)  ->  s  <_  v ) )
7472, 72, 73ixxss1 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  RR*  /\  s  <_  ( s  +  1 ) )  ->  (
( s  +  1 ) [,)  +oo )  C_  ( s [,)  +oo ) )
7570, 71, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
s  +  1 ) [,)  +oo )  C_  (
s [,)  +oo ) )
76 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
77 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  +  1 ) [,)  +oo )  C_  ( s [,)  +oo )  ->  ( A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  A. z  e.  ( ( s  +  1 ) [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )
7875, 76, 77sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  A. z  e.  ( ( s  +  1 ) [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
791, 33, 51, 52, 53, 7, 8, 55, 43, 56, 57, 58, 69, 78pntlemp 20775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) )
80 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  RR+  ->  w  e.  RR )
8180adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR )
8281leidd 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  <_  w )
83 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  RR  ->  (
w  e.  ( w [,)  +oo )  <->  ( w  e.  RR  /\  w  <_  w ) ) )
8481, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
w  e.  ( w [,)  +oo )  <->  ( w  e.  RR  /\  w  <_  w ) ) )
8581, 82, 84mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  ( w [,)  +oo ) )
86 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  w  ->  ( R `  v )  =  ( R `  w ) )
87 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  w  ->  v  =  w )
8886, 87oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  w  ->  (
( R `  v
)  /  v )  =  ( ( R `
 w )  /  w ) )
8988fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  w  ->  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  =  ( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) ) )
9089breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  w  ->  (
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
9190rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( w [,) 
+oo )  ->  ( A. v  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 w )  /  w ) )  <_ 
( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
9285, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 w )  /  w ) )  <_ 
( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
931pntrf 20728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  R : RR+
--> RR
9493ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( R `
 w )  e.  RR )
95 rerpdivcl 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R `  w
)  e.  RR  /\  w  e.  RR+ )  -> 
( ( R `  w )  /  w
)  e.  RR )
9694, 95mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  RR+  ->  ( ( R `  w )  /  w )  e.  RR )
9796adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( R `  w
)  /  w )  e.  RR )
9897recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( R `  w
)  /  w )  e.  CC )
9998absge0d 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) ) )
10032a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
10198abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( R `
 w )  /  w ) )  e.  RR )
10250adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  RR )
103 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w ) )  e.  RR  /\  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( 0  <_ 
( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) )  ->  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( 0  <_  ( abs `  ( ( R `
 w )  /  w ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  w )  /  w ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) ) )  -> 
0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
10599, 104mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( abs `  (
( R `  w
)  /  w ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  -> 
0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
10692, 105syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  (
0 [,] A ) ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
107106rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  -> 
0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
10879, 107mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) )
10948rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  0  <_  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )
11038, 49subge02d 9380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( 0  <_  ( F  x.  ( r ^ 3 ) )  <->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_ 
r ) )
111109, 110mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_ 
r )
11250, 38, 34, 111, 56letrd 8989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_  A )
113 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  /\  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_  A )
) )
11432, 34, 113sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  <->  ( (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  /\  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <_  A ) ) )
11550, 108, 112, 114mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A
) )
116115, 79jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)  ->  ( (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
117116expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A ) ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  ( s [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r  ->  ( ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
118117rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A
) ) )  -> 
( E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( s [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
11930, 118syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  =/=  0  /\  r  e.  ( 0 [,] A
) ) )  -> 
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
120119anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  =/=  0 )  /\  r  e.  ( 0 [,] A
) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r  ->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
121120expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  =/=  0 )  ->  (
( r  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )  ->  ( ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) ) )
122 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  r  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  r
) )
123122rexralbidv 2600 . . . . . . 7  |-  ( t  =  r  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)
124123elrab 2936 . . . . . 6  |-  ( r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  <->  ( r  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  r )
)
125 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
126125rexralbidv 2600 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
127 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  ( R `  v )  =  ( R `  z ) )
128 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  v  =  z )
129127, 128oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  z  ->  (
( R `  v
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 z )  / 
z ) )
130129fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  z  ->  ( abs `  ( ( R `
 v )  / 
v ) )  =  ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) ) )
131130breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  z  ->  (
( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  <->  ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) ) ) )
132131cbvralv 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  <->  A. z  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) ) )
133 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
w [,)  +oo )  =  ( y [,)  +oo ) )
134133raleqdv 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( A. z  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  <->  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
135132, 134syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( A. v  e.  (
w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  <->  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
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136135cbvrexv 2778 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
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( R `  z
)  /  z ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) )
137126, 136syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( r  -  ( F  x.  (
r ^ 3 ) ) )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t  <->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
138137elrab 2936 . . . . . 6  |-  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  <->  ( ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  ( 0 [,] A )  /\  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) ) ) )
139121, 124, 1383imtr4g 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  =/=  0 )  ->  (
r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
) )
140139imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  =/=  0 )  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  ->  ( r  -  ( F  x.  ( r ^ 3 ) ) )  e. 
{ t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
141140an32s 779 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)  /\  r  =/=  0 )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
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( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
14227, 141pm2.61dane 2537 . 2  |-  ( (
ph  /\  r  e.  { t  e.  ( 0 [,] A )  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  z )  /  z
) )  <_  t } )  ->  (
r  -  ( F  x.  ( r ^
3 ) ) )  e.  { t  e.  ( 0 [,] A
)  |  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( y [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  t }
)
1431, 2, 3, 4, 10, 142pntlem3 20774 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   ZZcz 10040  ;cdc 10140   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   [,]cicc 10675   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> r crli 11975   expce 12359  ψcchp 20346
This theorem is referenced by:  pnt3  20777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-lo1 11981  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-em 20303  df-cht 20350  df-vma 20351  df-chp 20352  df-ppi 20353  df-mu 20354
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