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Theorem pntpbnd 21270
Description: Lemma for pnt 21296. Establish smallness of  R at a point. Lemma 10.6.1 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntibnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntpbnd  |-  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
Distinct variable groups:    k, a, n, x, y    e, c, k, n, x, y, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntpbnd
Dummy variables  d 
i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntibnd.r . . 3  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
21pntrsumbnd2 21249 . 2  |-  E. d  e.  RR+  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
3 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  -> 
d  e.  RR+ )
4 2rp 10606 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
5 rpaddcl 10621 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  2  e.  RR+ )  ->  (
d  +  2 )  e.  RR+ )
63, 4, 5sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  -> 
( d  +  2 )  e.  RR+ )
7 2re 10058 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
8 elioore 10935 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  e  e.  RR )
98adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  e  e.  RR )
10 eliooord 10959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  e  /\  e  <  1 ) )
1110adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
0  <  e  /\  e  <  1 ) )
1211simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  <  e )
139, 12elrpd 10635 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  e  e.  RR+ )
14 rerpdivcl 10628 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  e  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  e
)  e.  RR )
157, 13, 14sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
2  /  e )  e.  RR )
1615rpefcld 12694 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( exp `  ( 2  / 
e ) )  e.  RR+ )
17 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  e  e.  ( 0 (,) 1
) )
18 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( exp `  ( 2  /  e
) )  =  ( exp `  ( 2  /  e ) )
19 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  y  e.  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
)
20 simp-4l 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  d  e.  RR+ )
21 simp-4r 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )
22 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( d  +  2 )  =  ( d  +  2 )
23 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )
)
24 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  -.  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e ) )
251, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24pntpbnd2 21269 . . . . . . . 8  |-  -.  (
( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
26 iman 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e ) )  <->  -.  (
( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  /\  -.  E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
) )
2725, 26mpbir 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  /\  e  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo )  /\  y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e ) )
2827ralrimivva 2790 . . . . . 6  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )
29 oveq1 6079 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( exp `  (
2  /  e ) )  ->  ( x (,)  +oo )  =  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo )
)
3029raleqdv 2902 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( exp `  (
2  /  e ) )  ->  ( A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_ 
e )  <->  A. y  e.  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
3130ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( exp `  (
2  /  e ) )  ->  ( A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  / 
e ) ) [,) 
+oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
)  <->  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
3231rspcev 3044 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  (
2  /  e ) )  e.  RR+  /\  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  / 
e ) ) [,) 
+oo ) A. y  e.  ( ( exp `  (
2  /  e ) ) (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
3316, 28, 32syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( d  e.  RR+  /\ 
A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d
)  /\  e  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
3433ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  ->  A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) )
35 oveq1 6079 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  (
c  /  e )  =  ( ( d  +  2 )  / 
e ) )
3635fveq2d 5723 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( exp `  ( c  / 
e ) )  =  ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) )
3736oveq1d 6087 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo )  =  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  /  e
) ) [,)  +oo ) )
3837raleqdv 2902 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )  <->  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
3938rexbidv 2718 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
) )
4039ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( c  =  ( d  +  2 )  ->  ( A. e  e.  (
0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
)  <->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( ( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  ( ( y  < 
n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  e
) ) )
4140rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( ( d  +  2 )  e.  RR+  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
( d  +  2 )  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)  ->  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
426, 34, 41syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( d  e.  RR+  /\  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d )  ->  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
4342rexlimiva 2817 . 2  |-  ( E. d  e.  RR+  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( i ... j ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  d  ->  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
)
442, 43ax-mp 8 1  |-  E. c  e.  RR+  A. e  e.  ( 0 (,) 1
) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  (
c  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. n  e.  NN  (
( y  <  n  /\  n  <_  ( k  x.  y ) )  /\  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  <_  e )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    +oocpnf 9106    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280    / cdiv 9666   NNcn 9989   2c2 10038   ZZcz 10271   RR+crp 10601   (,)cioo 10905   [,)cico 10907   ...cfz 11032   abscabs 12027   sum_csu 12467   expce 12652  ψcchp 20863
This theorem is referenced by:  pntibnd  21275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-o1 12272  df-lo1 12273  df-sum 12468  df-ef 12658  df-e 12659  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-prm 13068  df-pc 13199  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742  df-log 20442  df-cxp 20443  df-em 20819  df-cht 20867  df-vma 20868  df-chp 20869  df-ppi 20870
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