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Theorem pntrlog2bnd 20565
Description: A bound on  R ( x ) log ^
2 ( x ). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntpbnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
c )
Distinct variable groups:    x, n, c, R    a, c, n, x, A
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrlog2bnd
StepHypRef Expression
1 ioossre 10590 . . 3  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
21a1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1 (,)  +oo )  C_  RR )
3 1re 8717 . . 3  |-  1  e.  RR
43a1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
1  e.  RR )
52sselda 3103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
6 1rp 10237 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
76a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
83a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
9 eliooord 10588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
109adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( 1  < 
x  /\  x  <  +oo ) )
1110simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x
)
128, 5, 11ltled 8847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x
)
135, 7, 12rpgecld 10304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
14 pntpbnd.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
1514pntrf 20544 . . . . . . . . 9  |-  R : RR+
--> RR
1615ffvelrni 5516 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1713, 16syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1817recnd 8741 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
1918abscld 11795 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x )
)  e.  RR )
2013relogcld 19806 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
2119, 20remulcld 8743 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
22 2re 9695 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2322a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR )
245, 11rplogcld 19812 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x
)  e.  RR+ )
2523, 24rerpdivcld 10296 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( 2  / 
( log `  x
) )  e.  RR )
26 fzfid 10913 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  e.  Fin )
2713adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
28 elfznn 10697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
2928adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
3029nnrpd 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3127, 30rpdivcld 10286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3215ffvelrni 5516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3433recnd 8741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3534abscld 11795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
3630relogcld 19806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3735, 36remulcld 8743 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3826, 37fsumrecl 12084 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3925, 38remulcld 8743 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
4021, 39resubcld 9091 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
4140, 13rerpdivcld 10296 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
4214pntrmax 20545 . . 3  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  c
43 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i
)  x.  ( ( log `  i )  +  (ψ `  (
a  /  i ) ) ) ) )  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  a ) ) ( (Λ `  i
)  x.  ( ( log `  i )  +  (ψ `  (
a  /  i ) ) ) ) )
44 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
45 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  c  e.  RR+ )
46 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c )
47 simpll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  A  e.  RR )
48 simplr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  1  <_  A
)
4943, 14, 44, 45, 46, 47, 48pntrlog2bndlem6 20564 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
5049expr 601 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  c  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5150rexlimdva 2629 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5242, 51mpi 18 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
53 simprl 735 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  y  e.  RR )
54 chpcl 20194 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
5553, 54syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
5655, 53readdcld 8742 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  RR )
576a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  1  e.  RR+ )
58 simprr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  1  <_  y )
5953, 57, 58rpgecld 10304 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  y  e.  RR+ )
6059relogcld 19806 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( log `  y )  e.  RR )
6156, 60remulcld 8743 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
6241adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
6355ad2ant2r 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
64 simprll 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
6563, 64readdcld 8742 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  RR )
6659ad2ant2r 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR+ )
6766relogcld 19806 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
6865, 67remulcld 8743 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
6913adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
7068, 69rerpdivcld 10296 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  e.  RR )
7117adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
7271recnd 8741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
7372abscld 11795 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  e.  RR )
7469relogcld 19806 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
7573, 74remulcld 8743 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  x ) )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
7625adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
7738adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
7876, 77remulcld 8743 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
7975, 78resubcld 9091 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
8022a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
815adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
8211adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <  x )
8381, 82rplogcld 19812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
84 2rp 10238 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
8584a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR+ )
8685rpge0d 10273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  2 )
8780, 83, 86divge0d 10305 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( 2  /  ( log `  x ) ) )
88 fzfid 10913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  e. 
Fin )
8937adantlr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
9034adantlr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
9190abscld 11795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
9230adantlr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
9392relogcld 19806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
9490absge0d 11803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
9592rpred 10269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
9628adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
9796nnge1d 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  1  <_  n )
9895, 97logge0d 19813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
9991, 93, 94, 98mulge0d 9229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
10088, 89, 99fsumge0 12130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
10176, 77, 87, 100mulge0d 9229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
10275, 78subge02d 9244 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  <_  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) ) ) )
103101, 102mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) ) )
10472absge0d 11803 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 x ) ) )
10583rpge0d 10273 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  x ) )
106 chpcl 20194 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
10781, 106syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
108107, 81readdcld 8742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  +  x
)  e.  RR )
10914pntrval 20543 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
11069, 109syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x ) )
111110fveq2d 5381 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  =  ( abs `  ( (ψ `  x )  -  x
) ) )
112107recnd 8741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  CC )
11381recnd 8741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  CC )
114112, 113abs2dif2d 11817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  -  x ) )  <_  ( ( abs `  (ψ `  x
) )  +  ( abs `  x ) ) )
115 chpge0 20196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
11681, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  x ) )
117107, 116absidd 11782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  (ψ `  x )
)  =  (ψ `  x ) )
11869rpge0d 10273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  x )
11981, 118absidd 11782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
120117, 119oveq12d 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  (ψ `  x
) )  +  ( abs `  x ) )  =  ( (ψ `  x )  +  x
) )
121114, 120breqtrd 3944 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  -  x ) )  <_  ( (ψ `  x )  +  x
) )
122111, 121eqbrtrd 3940 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  <_  (
(ψ `  x )  +  x ) )
123 simprr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
12481, 64, 123ltled 8847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
125 chpwordi 20227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (ψ `  x )  <_  (ψ `  y ) )
12681, 64, 124, 125syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  <_  (ψ `  y
) )
127107, 81, 63, 64, 126, 124le2addd 9270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  +  x
)  <_  ( (ψ `  y )  +  y ) )
12873, 108, 65, 122, 127letrd 8853 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  <_  (
(ψ `  y )  +  y ) )
12969, 66logled 19810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x  <_  y  <->  ( log `  x
)  <_  ( log `  y ) ) )
130124, 129mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  <_  ( log `  y ) )
13173, 65, 74, 67, 104, 105, 128, 130lemul12ad 9579 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  x ) )  x.  ( log `  x
) )  <_  (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
13279, 75, 68, 103, 131letrd 8853 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) ) )
13379, 68, 69, 132lediv1dd 10323 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) )  /  x ) )
1346a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  e.  RR+ )
135 chpge0 20196 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
13664, 135syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
13766rpge0d 10273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  y )
13863, 64, 136, 137addge0d 9228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  +  y ) )
139 simprlr 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  y )
14064, 139logge0d 19813 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  y ) )
14165, 67, 138, 140mulge0d 9229 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( ( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
14212adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  x )
143134, 69, 68, 141, 142lediv2ad 10291 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  <_  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  1
) )
14463recnd 8741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  CC )
14564recnd 8741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  CC )
146144, 145addcld 8734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  CC )
14767recnd 8741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
148146, 147mulcld 8735 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  CC )
149148div1d 9408 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  1
)  =  ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
150143, 149breqtrd 3944 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  <_  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
15162, 70, 68, 133, 150letrd 8853 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) ) )
1522, 4, 41, 52, 61, 151lo1bddrp 11876 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
c )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510    C_ wss 3078   ifcif 3470   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    +oocpnf 8744    < clt 8747    <_ cle 8748    - cmin 8917    / cdiv 9303   NNcn 9626   2c2 9675   RR+crp 10233   (,)cioo 10534   ...cfz 10660   |_cfl 10802   abscabs 11596   <_ O ( 1 )clo1 11838   sum_csu 12035   logclog 19744  Λcvma 20161  ψcchp 20162
This theorem is referenced by:  pntlemp  20591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-o1 11841  df-lo1 11842  df-sum 12036  df-ef 12223  df-e 12224  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-cxp 19747  df-em 20119  df-cht 20166  df-vma 20167  df-chp 20168  df-ppi 20169  df-mu 20170
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