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Theorem pntrlog2bnd 20660
Description: A bound on  R ( x ) log ^
2 ( x ). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntpbnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
c )
Distinct variable groups:    x, n, c, R    a, c, n, x, A
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrlog2bnd
StepHypRef Expression
1 ioossre 10643 . . 3  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
21a1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1 (,)  +oo )  C_  RR )
3 1re 8770 . . 3  |-  1  e.  RR
43a1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
1  e.  RR )
52sselda 3122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
6 1rp 10290 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
76a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
83a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
9 eliooord 10641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
109adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( 1  < 
x  /\  x  <  +oo ) )
1110simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x
)
128, 5, 11ltled 8900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x
)
135, 7, 12rpgecld 10357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
14 pntpbnd.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
1514pntrf 20639 . . . . . . . . 9  |-  R : RR+
--> RR
1615ffvelrni 5563 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1713, 16syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1817recnd 8794 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
1918abscld 11848 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x )
)  e.  RR )
2013relogcld 19901 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
2119, 20remulcld 8796 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
22 2re 9748 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2322a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR )
245, 11rplogcld 19907 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x
)  e.  RR+ )
2523, 24rerpdivcld 10349 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( 2  / 
( log `  x
) )  e.  RR )
26 fzfid 10966 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  e.  Fin )
2713adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
28 elfznn 10750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
2928adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
3029nnrpd 10321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3127, 30rpdivcld 10339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3215ffvelrni 5563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3433recnd 8794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3534abscld 11848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
3630relogcld 19901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3735, 36remulcld 8796 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3826, 37fsumrecl 12137 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3925, 38remulcld 8796 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
4021, 39resubcld 9144 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
4140, 13rerpdivcld 10349 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
4214pntrmax 20640 . . 3  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  c
43 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i
)  x.  ( ( log `  i )  +  (ψ `  (
a  /  i ) ) ) ) )  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  a ) ) ( (Λ `  i
)  x.  ( ( log `  i )  +  (ψ `  (
a  /  i ) ) ) ) )
44 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
45 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  c  e.  RR+ )
46 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c )
47 simpll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  A  e.  RR )
48 simplr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  1  <_  A
)
4943, 14, 44, 45, 46, 47, 48pntrlog2bndlem6 20659 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
5049expr 601 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  c  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5150rexlimdva 2638 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5242, 51mpi 18 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
53 simprl 735 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  y  e.  RR )
54 chpcl 20289 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
5553, 54syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
5655, 53readdcld 8795 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  RR )
576a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  1  e.  RR+ )
58 simprr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  1  <_  y )
5953, 57, 58rpgecld 10357 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  y  e.  RR+ )
6059relogcld 19901 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( log `  y )  e.  RR )
6156, 60remulcld 8796 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
6241adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
6355ad2ant2r 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
64 simprll 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
6563, 64readdcld 8795 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  RR )
6659ad2ant2r 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR+ )
6766relogcld 19901 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
6865, 67remulcld 8796 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
6913adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
7068, 69rerpdivcld 10349 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  e.  RR )
7117adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
7271recnd 8794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
7372abscld 11848 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  e.  RR )
7469relogcld 19901 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
7573, 74remulcld 8796 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  x ) )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
7625adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
7738adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
7876, 77remulcld 8796 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
7975, 78resubcld 9144 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
8022a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
815adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
8211adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <  x )
8381, 82rplogcld 19907 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
84 2rp 10291 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
8584a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR+ )
8685rpge0d 10326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  2 )
8780, 83, 86divge0d 10358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( 2  /  ( log `  x ) ) )
88 fzfid 10966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  e. 
Fin )
8937adantlr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
9034adantlr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
9190abscld 11848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
9230adantlr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
9392relogcld 19901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
9490absge0d 11856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
9592rpred 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
9628adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
9796nnge1d 9721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  1  <_  n )
9895, 97logge0d 19908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
9991, 93, 94, 98mulge0d 9282 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
10088, 89, 99fsumge0 12183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
10176, 77, 87, 100mulge0d 9282 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
10275, 78subge02d 9297 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  <_  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) ) ) )
103101, 102mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) ) )
10472absge0d 11856 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 x ) ) )
10583rpge0d 10326 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  x ) )
106 chpcl 20289 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
10781, 106syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
108107, 81readdcld 8795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  +  x
)  e.  RR )
10914pntrval 20638 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
11069, 109syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x ) )
111110fveq2d 5427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  =  ( abs `  ( (ψ `  x )  -  x
) ) )
112107recnd 8794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  CC )
11381recnd 8794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  CC )
114112, 113abs2dif2d 11870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  -  x ) )  <_  ( ( abs `  (ψ `  x
) )  +  ( abs `  x ) ) )
115 chpge0 20291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
11681, 115syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  x ) )
117107, 116absidd 11835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  (ψ `  x )
)  =  (ψ `  x ) )
11869rpge0d 10326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  x )
11981, 118absidd 11835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
120117, 119oveq12d 5775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  (ψ `  x
) )  +  ( abs `  x ) )  =  ( (ψ `  x )  +  x
) )
121114, 120breqtrd 3987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  -  x ) )  <_  ( (ψ `  x )  +  x
) )
122111, 121eqbrtrd 3983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  <_  (
(ψ `  x )  +  x ) )
123 simprr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
12481, 64, 123ltled 8900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
125 chpwordi 20322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (ψ `  x )  <_  (ψ `  y ) )
12681, 64, 124, 125syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  <_  (ψ `  y
) )
127107, 81, 63, 64, 126, 124le2addd 9323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  +  x
)  <_  ( (ψ `  y )  +  y ) )
12873, 108, 65, 122, 127letrd 8906 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  <_  (
(ψ `  y )  +  y ) )
12969, 66logled 19905 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x  <_  y  <->  ( log `  x
)  <_  ( log `  y ) ) )
130124, 129mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  <_  ( log `  y ) )
13173, 65, 74, 67, 104, 105, 128, 130lemul12ad 9632 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  x ) )  x.  ( log `  x
) )  <_  (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
13279, 75, 68, 103, 131letrd 8906 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) ) )
13379, 68, 69, 132lediv1dd 10376 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) )  /  x ) )
1346a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  e.  RR+ )
135 chpge0 20291 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
13664, 135syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
13766rpge0d 10326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  y )
13863, 64, 136, 137addge0d 9281 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  +  y ) )
139 simprlr 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  y )
14064, 139logge0d 19908 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  y ) )
14165, 67, 138, 140mulge0d 9282 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( ( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
14212adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  x )
143134, 69, 68, 141, 142lediv2ad 10344 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  <_  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  1
) )
14463recnd 8794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  CC )
14564recnd 8794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  CC )
146144, 145addcld 8787 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  CC )
14767recnd 8794 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
148146, 147mulcld 8788 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  CC )
149148div1d 9461 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  1
)  =  ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
150143, 149breqtrd 3987 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  <_  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
15162, 70, 68, 133, 150letrd 8906 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) ) )
1522, 4, 41, 52, 61, 151lo1bddrp 11929 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
c )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517    C_ wss 3094   ifcif 3506   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    +oocpnf 8797    < clt 8800    <_ cle 8801    - cmin 8970    / cdiv 9356   NNcn 9679   2c2 9728   RR+crp 10286   (,)cioo 10587   ...cfz 10713   |_cfl 10855   abscabs 11649   <_ O ( 1 )clo1 11891   sum_csu 12088   logclog 19839  Λcvma 20256  ψcchp 20257
This theorem is referenced by:  pntlemp  20686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-disj 3935  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-o1 11894  df-lo1 11895  df-sum 12089  df-ef 12276  df-e 12277  df-sin 12278  df-cos 12279  df-pi 12281  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-prime 12686  df-pc 12817  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-cmp 17041  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-limc 19143  df-dv 19144  df-log 19841  df-cxp 19842  df-em 20214  df-cht 20261  df-vma 20262  df-chp 20263  df-ppi 20264  df-mu 20265
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