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Theorem pntrsumbnd 20709
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Distinct variable groups:    m, a, n    m, c, n, R
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumbnd
StepHypRef Expression
1 ssid 3198 . . . . 5  |-  RR  C_  RR
21a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  C_  RR )
3 1re 8832 . . . . 5  |-  1  e.  RR
43a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
5 fzfid 11029 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  RR )  ->  (
1 ... ( |_ `  m ) )  e. 
Fin )
6 elfznn 10813 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) )  ->  n  e.  NN )
76adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  n  e.  NN )
8 nnrp 10358 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
9 pntrval.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
109pntrf 20706 . . . . . . . . . 10  |-  R : RR+
--> RR
1110ffvelrni 5625 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
128, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( R `  n )  e.  RR )
13 peano2nn 9753 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
14 nnmulcl 9764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
1513, 14mpdan 651 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
1612, 15nndivred 9789 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
1716recnd 8856 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  CC )
187, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
195, 18fsumcl 12200 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  RR )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
209pntrsumo1 20708 . . . . 5  |-  ( m  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O
( 1 )
2120a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( m  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
22 fzfid 11029 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
23 elfznn 10813 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2423adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2524, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2625abscld 11912 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2722, 26fsumrecl 12201 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2819adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2928abscld 11912 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
30 fzfid 11029 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m ) )  e. 
Fin )
3118adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
3231abscld 11912 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3330, 32fsumrecl 12201 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3427ad2ant2r 729 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
3530, 31fsumabs 12253 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
36 fzfid 11029 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
3723adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
3837, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  CC )
3938abscld 11912 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
4038absge0d 11920 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
41 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  e.  RR )
42 simprll 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  x  e.  RR )
43 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  <  x )
4441, 42, 43ltled 8962 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  m  <_  x )
45 flword2 10937 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  m  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )
4641, 42, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )
47 fzss2 10825 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  m ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
4936, 39, 40, 48fsumless 12248 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
5029, 33, 34, 35, 49letrd 8968 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  m  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  m  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
512, 4, 19, 21, 27, 50o1bddrp 12010 . . 3  |-  (  T. 
->  E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)
5251trud 1316 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
53 zre 10023 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
5453imim1i 56 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  RR  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
55 flid 10933 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( |_ `  m )  =  m )
5655oveq2d 5835 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  m ) )  =  ( 1 ... m
) )
5756sumeq1d 12168 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
5857fveq2d 5489 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
5958breq1d 4034 . . . . 5  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
6054, 59mpbidi 209 . . . 4  |-  ( ( m  e.  RR  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
)  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  c )
)
6160ralimi2 2616 . . 3  |-  ( A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  m ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
c )
6261reximi 2651 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. m  e.  RR  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  m
) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  ->  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
6352, 62ax-mp 10 1  |-  E. c  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    T. wtru 1309    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032    / cdiv 9418   NNcn 9741   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   RR+crp 10349   ...cfz 10776   |_cfl 10918   abscabs 11713   O ( 1 )co1 11954   sum_csu 12152  ψcchp 20324
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd2  20710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-o1 11958  df-lo1 11959  df-sum 12153  df-ef 12343  df-e 12344  df-sin 12345  df-cos 12346  df-pi 12348  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-prm 12753  df-pc 12884  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-cmp 17108  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908  df-cxp 19909  df-em 20281  df-cht 20328  df-vma 20329  df-chp 20330  df-ppi 20331
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