MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrsumbnd2 Unicode version

Theorem pntrsumbnd2 20710
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd2  |-  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Distinct variable groups:    k, a, m, n    k, c, m, n, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumbnd2
StepHypRef Expression
1 pntrval.r . . 3  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
21pntrsumbnd 20709 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
3 2rp 10354 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
4 rpmulcl 10370 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  b )  e.  RR+ )
53, 4mpan 654 . . . . 5  |-  ( b  e.  RR+  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
65adantr 453 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
7 nnz 10040 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
87adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
9 peano2zm 10057 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
108, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
11 simplr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )
12 oveq2 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) )
1312sumeq1d 12168 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
1413fveq2d 5489 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
1514breq1d 4034 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )
)
1615rspcv 2881 . . . . . . 7  |-  ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )
)
1710, 11, 16sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)
185ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
1918rpge0d 10389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  0  <_  (
2  x.  b ) )
20 sumeq1 12156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  (/)  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
21 sum0 12188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ n  e.  (/)  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  0
2220, 21syl6eq 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  0 )
2322fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  0 ) )
24 abs0 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs `  0 )  =  0
2523, 24syl6eq 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  0 )
2625breq1d 4034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  b
)  <->  0  <_  (
2  x.  b ) ) )
2719, 26syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
2827imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =  (/) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
2928a1d 24 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =  (/) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
30 fzn0 10803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k ... m )  =/=  (/)  <->  m  e.  ( ZZ>=
`  k ) )
31 fzfid 11029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  e.  Fin )
32 elfznn 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... m )  ->  n  e.  NN )
33 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
3433nnrpd 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
351pntrf 20706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  R : RR+
--> RR
3635ffvelrni 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
3833peano2nnd 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
3933, 38nnmulcld 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  NN )
4037, 39nndivred 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4132, 40sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
4231, 41fsumrecl 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4342recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
4443abscld 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
45 fzfid 11029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... ( k  -  1 ) )  e.  Fin )
46 elfznn 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) )  ->  n  e.  NN )
4746, 40sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
4845, 47fsumrecl 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4948recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
5049abscld 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
51 simplll 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  RR+ )
5251rpred 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  RR )
53 le2add 9251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )  /\  ( b  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
5444, 50, 52, 52, 53syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
5552recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  CC )
56552timesd 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2  x.  b )  =  ( b  +  b ) )
5756breq2d 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b )  <->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
58 simpllr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  NN )
5958nnred 9756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  RR )
6059ltm1d 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k  - 
1 )  <  k
)
61 fzdisj 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  -  1 )  <  k  ->  (
( 1 ... (
k  -  1 ) )  i^i  ( k ... m ) )  =  (/) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1 ... ( k  - 
1 ) )  i^i  ( k ... m
) )  =  (/) )
6358nncnd 9757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  CC )
64 ax-1cn 8790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1  e.  CC
65 npcan 9055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
6663, 64, 65sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
6766, 58eqeltrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  e.  NN )
68 nnuz 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6967, 68syl6eleq 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
7058nnzd 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  ZZ )
7170, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  ZZ )
72 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  k  e.  NN )
7372nncnd 9757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
7473, 64, 65sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
7574fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  (
( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  k ) )
7675eleq2d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
m  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )
7776biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  -  1 )  +  1 ) ) )
78 peano2uzr 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  1 ) ) )
7971, 77, 78syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( k  - 
1 ) ) )
80 fzsplit2 10809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  1 ) ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... ( k  -  1 ) )  u.  (
( ( k  - 
1 )  +  1 ) ... m ) ) )
8169, 79, 80syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m ) ) )
8266oveq1d 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m )  =  ( k ... m ) )
8382uneq2d 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1 ... ( k  - 
1 ) )  u.  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m
) )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( k ... m ) ) )
8481, 83eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( k ... m ) ) )
8541recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  CC )
8662, 84, 31, 85fsumsplit 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8786oveq1d 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
88 fzfid 11029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k ... m )  e.  Fin )
89 elfzuz 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  ( k ... m )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
9068uztrn2 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k ) )  ->  n  e.  NN )
9158, 89, 90syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( k ... m
) )  ->  n  e.  NN )
9291, 40syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( k ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
9388, 92fsumrecl 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9493recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
9549, 94pncan2d 9154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
9687, 95eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
9796fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9843, 49abs2dif2d 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
9997, 98eqbrtrrd 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
10094abscld 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
10144, 50readdcld 8857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
102 2re 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  RR
103102a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  2  e.  RR )
104103, 52remulcld 8858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR )
105 letr 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  b
)  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
106100, 101, 104, 105syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10799, 106mpand 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10857, 107sylbird 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10954, 108syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
110109ancomsd 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11130, 110sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11229, 111pm2.61dane 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
113112imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
114113an4s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
115114expr 601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  (
2  x.  b ) ) )
116115ralimdva 2622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
117116impancom 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
118117an32s 782 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11917, 118mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
120119ralrimiva 2627 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
121 breq2 4028 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( 2  x.  b )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
1221212ralbidv 2586 . . . . 5  |-  ( c  =  ( 2  x.  b )  ->  ( A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  (
2  x.  b ) ) )
123122rspcev 2885 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  b
)  e.  RR+  /\  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
1246, 120, 123syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
125124rexlimiva 2663 . 2  |-  ( E. b  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
1262, 125ax-mp 10 1  |-  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545    u. cun 3151    i^i cin 3152   (/)c0 3456   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032    / cdiv 9418   NNcn 9741   2c2 9790   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   RR+crp 10349   ...cfz 10776   abscabs 11713   sum_csu 12152  ψcchp 20324
This theorem is referenced by:  pntpbnd  20731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-o1 11958  df-lo1 11959  df-sum 12153  df-ef 12343  df-e 12344  df-sin 12345  df-cos 12346  df-pi 12348  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-prm 12753  df-pc 12884  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-cmp 17108  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908  df-cxp 19909  df-em 20281  df-cht 20328  df-vma 20329  df-chp 20330  df-ppi 20331
  Copyright terms: Public domain W3C validator