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Theorem pntrsumbnd2 20548
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd2  |-  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Distinct variable groups:    k, a, m, n    k, c, m, n, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumbnd2
StepHypRef Expression
1 pntrval.r . . 3  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
21pntrsumbnd 20547 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
3 2rp 10238 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
4 rpmulcl 10254 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  b )  e.  RR+ )
53, 4mpan 654 . . . . 5  |-  ( b  e.  RR+  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
65adantr 453 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
7 nnz 9924 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
87adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
9 peano2zm 9941 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
108, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
11 simplr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )
12 oveq2 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) )
1312sumeq1d 12051 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
1413fveq2d 5381 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
1514breq1d 3930 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )
)
1615rcla4v 2817 . . . . . . 7  |-  ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )
)
1710, 11, 16sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)
185ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
1918rpge0d 10273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  0  <_  (
2  x.  b ) )
20 sumeq1 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  (/)  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
21 sum0 12071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ n  e.  (/)  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  0
2220, 21syl6eq 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  0 )
2322fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  0 ) )
24 abs0 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs `  0 )  =  0
2523, 24syl6eq 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  0 )
2625breq1d 3930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  b
)  <->  0  <_  (
2  x.  b ) ) )
2719, 26syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
2827imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =  (/) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
2928a1d 24 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =  (/) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
30 fzn0 10687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k ... m )  =/=  (/)  <->  m  e.  ( ZZ>=
`  k ) )
31 fzfid 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  e.  Fin )
32 elfznn 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... m )  ->  n  e.  NN )
33 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
3433nnrpd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
351pntrf 20544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  R : RR+
--> RR
3635ffvelrni 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
3833peano2nnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
3933, 38nnmulcld 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  NN )
4037, 39nndivred 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4132, 40sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
4231, 41fsumrecl 12084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4342recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
4443abscld 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
45 fzfid 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... ( k  -  1 ) )  e.  Fin )
46 elfznn 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) )  ->  n  e.  NN )
4746, 40sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
4845, 47fsumrecl 12084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4948recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
5049abscld 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
51 simplll 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  RR+ )
5251rpred 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  RR )
53 le2add 9136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )  /\  ( b  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
5444, 50, 52, 52, 53syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
5552recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  CC )
56552timesd 9833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2  x.  b )  =  ( b  +  b ) )
5756breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b )  <->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
58 simpllr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  NN )
5958nnred 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  RR )
6059ltm1d 9569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k  - 
1 )  <  k
)
61 fzdisj 10695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  -  1 )  <  k  ->  (
( 1 ... (
k  -  1 ) )  i^i  ( k ... m ) )  =  (/) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1 ... ( k  - 
1 ) )  i^i  ( k ... m
) )  =  (/) )
6358nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  CC )
64 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1  e.  CC
65 npcan 8940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
6663, 64, 65sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
6766, 58eqeltrd 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  e.  NN )
68 nnuz 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6967, 68syl6eleq 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
7058nnzd 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  ZZ )
7170, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  ZZ )
72 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  k  e.  NN )
7372nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
7473, 64, 65sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
7574fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  (
( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  k ) )
7675eleq2d 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
m  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )
7776biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  -  1 )  +  1 ) ) )
78 peano2uzr 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  1 ) ) )
7971, 77, 78syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( k  - 
1 ) ) )
80 fzsplit2 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  1 ) ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... ( k  -  1 ) )  u.  (
( ( k  - 
1 )  +  1 ) ... m ) ) )
8169, 79, 80syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m ) ) )
8266oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m )  =  ( k ... m ) )
8382uneq2d 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1 ... ( k  - 
1 ) )  u.  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m
) )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( k ... m ) ) )
8481, 83eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( k ... m ) ) )
8541recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  CC )
8662, 84, 31, 85fsumsplit 12089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8786oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
88 fzfid 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k ... m )  e.  Fin )
89 elfzuz 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  ( k ... m )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
9068uztrn2 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k ) )  ->  n  e.  NN )
9158, 89, 90syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( k ... m
) )  ->  n  e.  NN )
9291, 40syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( k ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
9388, 92fsumrecl 12084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9493recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
9549, 94pncan2d 9039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
9687, 95eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
9796fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9843, 49abs2dif2d 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
9997, 98eqbrtrrd 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
10094abscld 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
10144, 50readdcld 8742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
102 2re 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  RR
103102a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  2  e.  RR )
104103, 52remulcld 8743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR )
105 letr 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  b
)  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
106100, 101, 104, 105syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10799, 106mpand 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10857, 107sylbird 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10954, 108syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
110109ancomsd 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11130, 110sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11229, 111pm2.61dane 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
113112imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
114113an4s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
115114expr 601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  (
2  x.  b ) ) )
116115ralimdva 2583 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
117116impancom 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
118117an32s 782 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11917, 118mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
120119ralrimiva 2588 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
121 breq2 3924 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( 2  x.  b )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
1221212ralbidv 2547 . . . . 5  |-  ( c  =  ( 2  x.  b )  ->  ( A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  (
2  x.  b ) ) )
123122rcla4ev 2821 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  b
)  e.  RR+  /\  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
1246, 120, 123syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
125124rexlimiva 2624 . 2  |-  ( E. b  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
1262, 125ax-mp 10 1  |-  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510    u. cun 3076    i^i cin 3077   (/)c0 3362   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    < clt 8747    <_ cle 8748    - cmin 8917    / cdiv 9303   NNcn 9626   2c2 9675   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   RR+crp 10233   ...cfz 10660   abscabs 11596   sum_csu 12035  ψcchp 20162
This theorem is referenced by:  pntpbnd  20569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-o1 11841  df-lo1 11842  df-sum 12036  df-ef 12223  df-e 12224  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-cxp 19747  df-em 20119  df-cht 20166  df-vma 20167  df-chp 20168  df-ppi 20169
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