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Theorem pntrsumbnd2 20664
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd2  |-  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Distinct variable groups:    k, a, m, n    k, c, m, n, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumbnd2
StepHypRef Expression
1 pntrval.r . . 3  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
21pntrsumbnd 20663 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
3 2rp 10312 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
4 rpmulcl 10328 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  b )  e.  RR+ )
53, 4mpan 654 . . . . 5  |-  ( b  e.  RR+  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
65adantr 453 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
7 nnz 9998 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
87adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
9 peano2zm 10015 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
108, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
11 simplr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )
12 oveq2 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) )
1312sumeq1d 12125 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
1413fveq2d 5448 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
1514breq1d 3993 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )
)
1615rcla4v 2848 . . . . . . 7  |-  ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )
)
1710, 11, 16sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)
185ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
1918rpge0d 10347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  0  <_  (
2  x.  b ) )
20 sumeq1 12113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  (/)  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
21 sum0 12145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ n  e.  (/)  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  0
2220, 21syl6eq 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  0 )
2322fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  0 ) )
24 abs0 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs `  0 )  =  0
2523, 24syl6eq 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  0 )
2625breq1d 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  b
)  <->  0  <_  (
2  x.  b ) ) )
2719, 26syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
2827imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =  (/) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
2928a1d 24 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =  (/) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
30 fzn0 10761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k ... m )  =/=  (/)  <->  m  e.  ( ZZ>=
`  k ) )
31 fzfid 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  e.  Fin )
32 elfznn 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... m )  ->  n  e.  NN )
33 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
3433nnrpd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
351pntrf 20660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  R : RR+
--> RR
3635ffvelrni 5584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
3833peano2nnd 9717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
3933, 38nnmulcld 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  NN )
4037, 39nndivred 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4132, 40sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
4231, 41fsumrecl 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4342recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
4443abscld 11869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
45 fzfid 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... ( k  -  1 ) )  e.  Fin )
46 elfznn 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) )  ->  n  e.  NN )
4746, 40sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
4845, 47fsumrecl 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4948recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
5049abscld 11869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
51 simplll 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  RR+ )
5251rpred 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  RR )
53 le2add 9210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )  /\  ( b  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
5444, 50, 52, 52, 53syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
5552recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  CC )
56552timesd 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2  x.  b )  =  ( b  +  b ) )
5756breq2d 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b )  <->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
58 simpllr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  NN )
5958nnred 9715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  RR )
6059ltm1d 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k  - 
1 )  <  k
)
61 fzdisj 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  -  1 )  <  k  ->  (
( 1 ... (
k  -  1 ) )  i^i  ( k ... m ) )  =  (/) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1 ... ( k  - 
1 ) )  i^i  ( k ... m
) )  =  (/) )
6358nncnd 9716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  CC )
64 ax-1cn 8749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1  e.  CC
65 npcan 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
6663, 64, 65sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
6766, 58eqeltrd 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  e.  NN )
68 nnuz 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6967, 68syl6eleq 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
7058nnzd 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  ZZ )
7170, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  ZZ )
72 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  k  e.  NN )
7372nncnd 9716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
7473, 64, 65sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
7574fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  (
( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  k ) )
7675eleq2d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
m  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )
7776biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  -  1 )  +  1 ) ) )
78 peano2uzr 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  1 ) ) )
7971, 77, 78syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( k  - 
1 ) ) )
80 fzsplit2 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  1 ) ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... ( k  -  1 ) )  u.  (
( ( k  - 
1 )  +  1 ) ... m ) ) )
8169, 79, 80syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m ) ) )
8266oveq1d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m )  =  ( k ... m ) )
8382uneq2d 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1 ... ( k  - 
1 ) )  u.  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m
) )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( k ... m ) ) )
8481, 83eqtrd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( k ... m ) ) )
8541recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  CC )
8662, 84, 31, 85fsumsplit 12163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8786oveq1d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
88 fzfid 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k ... m )  e.  Fin )
89 elfzuz 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  ( k ... m )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
9068uztrn2 10198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k ) )  ->  n  e.  NN )
9158, 89, 90syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( k ... m
) )  ->  n  e.  NN )
9291, 40syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( k ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
9388, 92fsumrecl 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9493recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
9549, 94pncan2d 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
9687, 95eqtrd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
9796fveq2d 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9843, 49abs2dif2d 11891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
9997, 98eqbrtrrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
10094abscld 11869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
10144, 50readdcld 8816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
102 2re 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  RR
103102a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  2  e.  RR )
104103, 52remulcld 8817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR )
105 letr 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  b
)  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
106100, 101, 104, 105syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10799, 106mpand 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10857, 107sylbird 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10954, 108syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
110109ancomsd 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11130, 110sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11229, 111pm2.61dane 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
113112imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
114113an4s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
115114expr 601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  (
2  x.  b ) ) )
116115ralimdva 2594 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
117116impancom 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
118117an32s 782 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11917, 118mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
120119ralrimiva 2599 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
121 breq2 3987 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( 2  x.  b )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
1221212ralbidv 2558 . . . . 5  |-  ( c  =  ( 2  x.  b )  ->  ( A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  (
2  x.  b ) ) )
123122rcla4ev 2852 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  b
)  e.  RR+  /\  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
1246, 120, 123syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
125124rexlimiva 2635 . 2  |-  ( E. b  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
1262, 125ax-mp 10 1  |-  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517    u. cun 3111    i^i cin 3112   (/)c0 3416   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689   RRcr 8690   0cc0 8691   1c1 8692    + caddc 8694    x. cmul 8696    < clt 8821    <_ cle 8822    - cmin 8991    / cdiv 9377   NNcn 9700   2c2 9749   ZZcz 9977   ZZ>=cuz 10183   RR+crp 10307   ...cfz 10734   abscabs 11670   sum_csu 12109  ψcchp 20278
This theorem is referenced by:  pntpbnd  20685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-fac 11241  df-bc 11268  df-hash 11290  df-shft 11513  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-limsup 11896  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-o1 11915  df-lo1 11916  df-sum 12110  df-ef 12297  df-e 12298  df-sin 12299  df-cos 12300  df-pi 12302  df-divides 12480  df-gcd 12634  df-prime 12707  df-pc 12838  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-lp 16816  df-perf 16817  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-haus 16991  df-cmp 17062  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-fm 17581  df-flim 17582  df-flf 17583  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-limc 19164  df-dv 19165  df-log 19862  df-cxp 19863  df-em 20235  df-cht 20282  df-vma 20283  df-chp 20284  df-ppi 20285
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