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Theorem pntrsumbnd2 20716
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd2  |-  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Distinct variable groups:    k, a, m, n    k, c, m, n, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumbnd2
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntrval.r . . 3  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
21pntrsumbnd 20715 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
3 2rp 10359 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
4 rpmulcl 10375 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  b )  e.  RR+ )
53, 4mpan 651 . . . . 5  |-  ( b  e.  RR+  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
7 nnz 10045 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
87adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
9 peano2zm 10062 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
11 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )
12 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) )
1312sumeq1d 12174 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
1413fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
1514breq1d 4033 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )
)
1615rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )
)
1710, 11, 16sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)
185ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
1918rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  0  <_  (
2  x.  b ) )
20 sumeq1 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  (/)  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
21 sum0 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ n  e.  (/)  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  0
2220, 21syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  0 )
2322fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  0 ) )
24 abs0 11770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs `  0 )  =  0
2523, 24syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  0 )
2625breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  b
)  <->  0  <_  (
2  x.  b ) ) )
2719, 26syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
2827imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =  (/) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
2928a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =  (/) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
30 fzn0 10809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k ... m )  =/=  (/)  <->  m  e.  ( ZZ>=
`  k ) )
31 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  e.  Fin )
32 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... m )  ->  n  e.  NN )
33 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
3433nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
351pntrf 20712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  R : RR+
--> RR
3635ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
3734, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
3833peano2nnd 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
3933, 38nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  NN )
4037, 39nndivred 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4132, 40sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
4231, 41fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4342recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
4443abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
45 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... ( k  -  1 ) )  e.  Fin )
46 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) )  ->  n  e.  NN )
4746, 40sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
4845, 47fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4948recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
5049abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
51 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  RR+ )
5251rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  RR )
53 le2add 9256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )  /\  ( b  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
5444, 50, 52, 52, 53syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
5552recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  CC )
56552timesd 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2  x.  b )  =  ( b  +  b ) )
5756breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b )  <->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
58 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  NN )
5958nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  RR )
6059ltm1d 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k  - 
1 )  <  k
)
61 fzdisj 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  -  1 )  <  k  ->  (
( 1 ... (
k  -  1 ) )  i^i  ( k ... m ) )  =  (/) )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1 ... ( k  - 
1 ) )  i^i  ( k ... m
) )  =  (/) )
6358nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  CC )
64 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1  e.  CC
65 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
6663, 64, 65sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
6766, 58eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  e.  NN )
68 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6967, 68syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
7058nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  ZZ )
7170, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  ZZ )
72 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  k  e.  NN )
7372nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
7473, 64, 65sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
7574fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  (
( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  k ) )
7675eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
m  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )
7776biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  -  1 )  +  1 ) ) )
78 peano2uzr 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  1 ) ) )
7971, 77, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( k  - 
1 ) ) )
80 fzsplit2 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  1 ) ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... ( k  -  1 ) )  u.  (
( ( k  - 
1 )  +  1 ) ... m ) ) )
8169, 79, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m ) ) )
8266oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m )  =  ( k ... m ) )
8382uneq2d 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1 ... ( k  - 
1 ) )  u.  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m
) )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( k ... m ) ) )
8481, 83eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( k ... m ) ) )
8541recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  CC )
8662, 84, 31, 85fsumsplit 12212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8786oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
88 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k ... m )  e.  Fin )
89 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  ( k ... m )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
9068uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k ) )  ->  n  e.  NN )
9158, 89, 90syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( k ... m
) )  ->  n  e.  NN )
9291, 40syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( k ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
9388, 92fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9493recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
9549, 94pncan2d 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
9687, 95eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
9796fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9843, 49abs2dif2d 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
9997, 98eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
10094abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
10144, 50readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
102 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  RR
103102a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  2  e.  RR )
104103, 52remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR )
105 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  b
)  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
106100, 101, 104, 105syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10799, 106mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10857, 107sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10954, 108syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
110109ancomsd 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11130, 110sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11229, 111pm2.61dane 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
113112imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
114113an4s 799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
115114expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  (
2  x.  b ) ) )
116115ralimdva 2621 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
117116impancom 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
118117an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11917, 118mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
120119ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
121 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( 2  x.  b )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
1221212ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( c  =  ( 2  x.  b )  ->  ( A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  (
2  x.  b ) ) )
123122rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  b
)  e.  RR+  /\  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
1246, 120, 123syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
125124rexlimiva 2662 . 2  |-  ( E. b  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
1262, 125ax-mp 8 1  |-  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    u. cun 3150    i^i cin 3151   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782   abscabs 11719   sum_csu 12158  ψcchp 20330
This theorem is referenced by:  pntpbnd  20737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-cht 20334  df-vma 20335  df-chp 20336  df-ppi 20337
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