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Theorem pntrsumbnd2 21249
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd2  |-  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Distinct variable groups:    k, a, m, n    k, c, m, n, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumbnd2
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntrval.r . . 3  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
21pntrsumbnd 21248 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
3 2rp 10606 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
4 rpmulcl 10622 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  b )  e.  RR+ )
53, 4mpan 652 . . . . 5  |-  ( b  e.  RR+  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
7 nnz 10292 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
87adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
9 peano2zm 10309 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
11 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )
12 oveq2 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) )
1312sumeq1d 12483 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
1413fveq2d 5723 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
1514breq1d 4214 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )
)
1615rspcv 3040 . . . . . . 7  |-  ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )
)
1710, 11, 16sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)
185ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR+ )
1918rpge0d 10641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  0  <_  (
2  x.  b ) )
20 sumeq1 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  sum_ n  e.  (/)  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
21 sum0 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ n  e.  (/)  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  0
2220, 21syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  0 )
2322abs00bd 12084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  0 )
2423breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  b
)  <->  0  <_  (
2  x.  b ) ) )
2519, 24syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( k ... m )  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
2625imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =  (/) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
2726a1d 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =  (/) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
28 fzn0 11059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k ... m )  =/=  (/)  <->  m  e.  ( ZZ>=
`  k ) )
29 fzfid 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  e.  Fin )
30 elfznn 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... m )  ->  n  e.  NN )
31 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
3231nnrpd 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
331pntrf 21245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  R : RR+
--> RR
3433ffvelrni 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
3631peano2nnd 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
3731, 36nnmulcld 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  NN )
3835, 37nndivred 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
3930, 38sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
4029, 39fsumrecl 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4140recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
4241abscld 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
43 fzfid 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... ( k  -  1 ) )  e.  Fin )
44 elfznn 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) )  ->  n  e.  NN )
4544, 38sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
4643, 45fsumrecl 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
4746recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
4847abscld 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
49 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  RR+ )
5049rpred 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  RR )
51 le2add 9499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )  /\  ( b  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
5242, 48, 50, 50, 51syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
5350recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  b  e.  CC )
54532timesd 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2  x.  b )  =  ( b  +  b ) )
5554breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b )  <->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b ) ) )
56 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  NN )
5756nnred 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  RR )
5857ltm1d 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k  - 
1 )  <  k
)
59 fzdisj 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  -  1 )  <  k  ->  (
( 1 ... (
k  -  1 ) )  i^i  ( k ... m ) )  =  (/) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1 ... ( k  - 
1 ) )  i^i  ( k ... m
) )  =  (/) )
6156nncnd 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  CC )
62 ax-1cn 9037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1  e.  CC
63 npcan 9303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
6461, 62, 63sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
6564, 56eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  e.  NN )
66 nnuz 10510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6765, 66syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
6856nnzd 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  ZZ )
6968, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  ZZ )
70 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  k  e.  NN )
7170nncnd 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
7271, 62, 63sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
7372fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  (
( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  k ) )
7473eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
m  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )
7574biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  -  1 )  +  1 ) ) )
76 peano2uzr 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  1 ) ) )
7769, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( k  - 
1 ) ) )
78 fzsplit2 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( k  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  1 ) ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... ( k  -  1 ) )  u.  (
( ( k  - 
1 )  +  1 ) ... m ) ) )
7967, 77, 78syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m ) ) )
8064oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m )  =  ( k ... m ) )
8180uneq2d 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1 ... ( k  - 
1 ) )  u.  ( ( ( k  -  1 )  +  1 ) ... m
) )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( k ... m ) ) )
8279, 81eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 1 ... m )  =  ( ( 1 ... (
k  -  1 ) )  u.  ( k ... m ) ) )
8339recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  CC )
8460, 82, 29, 83fsumsplit 12521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8584oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
86 fzfid 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( k ... m )  e.  Fin )
87 elfzuz 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  ( k ... m )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
8866uztrn2 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  k ) )  ->  n  e.  NN )
8956, 87, 88syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( k ... m
) )  ->  n  e.  NN )
9089, 38syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  k )
)  /\  n  e.  ( k ... m
) )  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
9186, 90fsumrecl 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9291recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
9347, 92pncan2d 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  + 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
9485, 93eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
9594fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9641, 47abs2dif2d 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
9795, 96eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
9892abscld 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
9942, 48readdcld 9104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
100 2re 10058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  RR
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  2  e.  RR )
102101, 50remulcld 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2  x.  b )  e.  RR )
103 letr 9156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  b
)  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10498, 99, 102, 103syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10597, 104mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10655, 105sylbird 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  +  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( b  +  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10752, 106syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... ( k  - 
1 ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
108107ancomsd 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
10928, 108sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( k ... m )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11027, 109pm2.61dane 2676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... (
k  -  1 ) ) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b  /\  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
1 ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  b )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
111110imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
112111an4s 800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
113112expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  (
2  x.  b ) ) )
114113ralimdva 2776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
115114impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\  k  e.  NN )  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b )  -> 
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
116115an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( k  -  1 ) ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
11717, 116mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  RR+  /\ 
A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m
) ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  <_ 
b )  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
118117ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )
119 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( 2  x.  b )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
k ... m ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) ) )
1201192ralbidv 2739 . . . . 5  |-  ( c  =  ( 2  x.  b )  ->  ( A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c  <->  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  (
2  x.  b ) ) )
121120rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  b
)  e.  RR+  /\  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  b ) )  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
1226, 118, 121syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( b  e.  RR+  /\  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b
)  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
123122rexlimiva 2817 . 2  |-  ( E. b  e.  RR+  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  b  ->  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c )
1242, 123ax-mp 8 1  |-  E. c  e.  RR+  A. k  e.  NN  A. m  e.  ZZ  ( abs `  sum_ n  e.  ( k ... m ) ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    u. cun 3310    i^i cin 3311   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280    / cdiv 9666   NNcn 9989   2c2 10038   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   RR+crp 10601   ...cfz 11032   abscabs 12027   sum_csu 12467  ψcchp 20863
This theorem is referenced by:  pntpbnd  21270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-o1 12272  df-lo1 12273  df-sum 12468  df-ef 12658  df-e 12659  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-prm 13068  df-pc 13199  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742  df-log 20442  df-cxp 20443  df-em 20819  df-cht 20867  df-vma 20868  df-chp 20869  df-ppi 20870
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