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Theorem pntrsumo1 20677
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumo1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O
( 1 )
Distinct variable groups:    n, a, x    R, n, x
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumo1
StepHypRef Expression
1 1re 8805 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 10706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
43simplbi 448 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
5 0re 8806 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
65a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
71a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
8 0lt1 9264 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
98a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  1 )
103simprbi 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  x )
116, 7, 4, 9, 10ltletrd 8944 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
124, 11elrpd 10356 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
1312ssriv 3159 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+
1413a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
15 rpssre 10332 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
1614, 15syl6ss 3166 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR )
17 resmpt 4988 . . . . 5  |-  ( ( 1 [,)  +oo )  C_  RR  ->  ( (
x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |-> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
1816, 17syl 17 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
19 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  /  n ) )
20 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
2120fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )
2221, 20oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) )
2319, 22jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  n )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) ) )
24 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
25 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
2625fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
2726, 25oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
2824, 27jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )
29 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
1 ) )
30 ax-1cn 8763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
3130div1i 9456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3229, 31syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  1 )
33 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
3430subidi 9085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3533, 34syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
3635fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  0 ) )
37 2pos 9796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
38 chpeq0 20410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
(ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2 ) )
395, 38ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2
)
4037, 39mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (ψ ` 
0 )  =  0
4136, 40syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  0 )
4241, 35oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
43 0cn 8799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
4443subidi 9085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4542, 44syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  0 )
4632, 45jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( 1  /  m
)  =  1  /\  ( (ψ `  (
m  -  1 ) )  -  ( m  -  1 ) )  =  0 ) )
47 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
48 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
4948fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
5049, 48oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )
5147, 50jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5212rprege0d 10365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
53 flge0nn0 10915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( |_ `  x )  e. 
NN0 )
55 nn0p1nn 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN )
57 nnuz 10231 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5856, 57syl6eleq 2348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
59 elfznn 10786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
6059adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
6160nnrecred 9759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
6261recnd 8829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
6360nnred 9729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
64 peano2rem 9081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
66 chpcl 20325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  e.  RR )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  e.  RR )
6867, 65resubcld 9179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  e.  RR )
6968recnd 8829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  e.  CC )
7023, 28, 46, 51, 58, 62, 69fsumparts 12230 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
714flcld 10897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
72 fzval3 10878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7473eqcomd 2263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1..^ ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
75 elfznn 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
7675adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
7776nncnd 9730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
78 pncan 9025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
7977, 30, 78sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  =  n )
8076nnred 9729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
8179, 80eqeltrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  e.  RR )
82 chpcl 20325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8483recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
8581recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  e.  CC )
86 peano2rem 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
8780, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  RR )
88 chpcl 20325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  RR )
9089recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
9130a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
9277, 91subcld 9125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
9384, 85, 90, 92sub4d 9174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  -  (
n  -  1 ) ) ) )
94 nnm1nn0 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
9576, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
96 chpp1 20356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  (ψ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
98 npcan 9028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
9977, 30, 98sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  -  1 )  +  1 )  =  n )
10099, 79eqtr4d 2293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  -  1 )  +  1 )  =  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )
101100fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
10299fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  (Λ `  n
) )
103102oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  +  (Λ `  n
) ) )
10497, 101, 1033eqtr3d 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n ) ) )
105104oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  ( n  -  1
) )  +  (Λ `  n ) )  -  (ψ `  ( n  - 
1 ) ) ) )
106 vmacl 20319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
10776, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
108107recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
10990, 108pncan2d 9127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n
) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  (Λ `  n )
)
110105, 109eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  (Λ `  n )
)
111 peano2cn 8952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
11277, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  CC )
113112, 77, 91nnncan2d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  - 
1 ) )  =  ( ( n  + 
1 )  -  n
) )
114 pncan2 9026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  n
)  =  1 )
11577, 30, 114sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  n )  =  1 )
116113, 115eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  - 
1 ) )  =  1 )
117110, 116oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  -  ( n  -  1 ) ) )  =  ( (Λ `  n )  -  1 ) )
11893, 117eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( (Λ `  n
)  -  1 ) )
119118oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
(Λ `  n )  - 
1 ) ) )
120 peano2rem 9081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Λ `  n )  e.  RR  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  RR )
121107, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  RR )
122121recnd 8829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  CC )
12376nnne0d 9758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
124122, 77, 123divrec2d 9508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  =  ( ( 1  /  n )  x.  ( (Λ `  n
)  -  1 ) ) )
125119, 124eqtr4d 2293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12674, 125sumeq12rdv 12146 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12754nn0cnd 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
128 pncan 9025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  x ) )
129127, 30, 128sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  x ) )
130129fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  ( |_ `  x
) ) )
131 chpfl 20351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  ( |_ `  x
) )  =  (ψ `  x ) )
1324, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  ( |_ `  x
) )  =  (ψ `  x ) )
133130, 132eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  x ) )
134133oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  x
)  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )
135 chpcl 20325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1364, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
137136recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
13856nncnd 9730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  CC )
13930a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  e.  CC )
140137, 138, 139subsub3d 9155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
141134, 140eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
142141oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
14356nnrecred 9759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
144143recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
145 peano2cn 8952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  x )  e.  CC  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  CC )
146137, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  +  1 )  e.  CC )
147144, 146, 138subdid 9203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x
)  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) ) )
14856nnne0d 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  =/=  0 )
149146, 138, 148divrec2d 9508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  =  ( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  x )  +  1 ) ) )
150149eqcomd 2263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
151138, 148recid2d 9500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  =  1 )
152150, 151oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  x )  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
153142, 147, 1523eqtrd 2294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
15430mul01i 8970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
155154a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1  x.  0 )  =  0 )
156153, 155oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  0 ) )
157 peano2re 8953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (ψ `  x )  e.  RR  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
158136, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
159158, 56nndivred 9762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR )
160159recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  CC )
161 subcl 9019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
162160, 30, 161sylancl 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
163162subid1d 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
164156, 163eqtrd 2290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
165 peano2nn 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
166 nnmulcl 9737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
167165, 166mpdan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
16876, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
169168nnrecred 9759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
170169recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
171 nnrp 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
172 pntrval.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
173172pntrf 20675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  R : RR+
--> RR
174173ffvelrni 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
175171, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( R `  n )  e.  RR )
17676, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  RR )
177176recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  CC )
178170, 177mulneg1d 9200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( -u (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  x.  ( R `  n ) )  = 
-u ( ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n
) ) )
17977, 91mulcld 8823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  e.  CC )
18077, 112mulcld 8823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
181168nnne0d 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  =/=  0
)
182112, 179, 180, 181divsubdird 9543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( n  +  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  (
( n  x.  1 )  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
18377mulid1d 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  =  n )
184183oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  =  ( ( n  + 
1 )  -  n
) )
185184, 115eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  =  1 )
186185oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
187112mulid1d 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  x.  1 )  =  ( n  +  1 ) )
188112, 77mulcomd 8824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  x.  n )  =  ( n  x.  (
n  +  1 ) ) )
189187, 188oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( n  +  1 )  x.  n ) )  =  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
19076, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
191190nnne0d 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  =/=  0 )
19291, 77, 112, 123, 191divcan5d 9530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( n  +  1 )  x.  n ) )  =  ( 1  /  n
) )
193189, 192eqtr3d 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  n
) )
19491, 112, 77, 191, 123divcan5d 9530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  x.  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )
195193, 194oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  ( ( n  x.  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  -  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
196182, 186, 1953eqtr3d 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  -  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
197196negeqd 9014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( 1  /  n )  -  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
19876nnrecred 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
199198recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
200190nnrecred 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
201200recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  CC )
202199, 201negsubdi2d 9141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( 1  /  n )  -  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  / 
( n  +  1 ) )  -  (
1  /  n ) ) )
203197, 202eqtr2d 2291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  ( n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  = 
-u ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
20476nnrpd 10357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
20579, 204eqeltrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  e.  RR+ )
206172pntrval 20674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )
20879fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( R `  n ) )
209207, 208eqtr3d 2292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( R `
 n ) )
210203, 209oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  (
-u ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n )
) )
211177, 180, 181divrec2d 9508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n )
) )
212211negeqd 9014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n
) ) )
213178, 210, 2123eqtr4d 2300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  -u ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
21474, 213sumeq12rdv 12146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
215 fzfid 11002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
216175, 167nndivred 9762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
21776, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
218217recnd 8829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
219215, 218fsumneg 12215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
220214, 219eqtrd 2290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
221164, 220oveq12d 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  / 
( n  +  1 ) )  -  (
1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
22270, 126, 2213eqtr3d 2298 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
223 fzfid 11002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
22475adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
225224, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
226223, 225fsumrecl 12173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
227226recnd 8829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2284, 227syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
229162, 228subnegd 9132 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
230222, 229eqtrd 2290 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
231230oveq1d 5807 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
232162, 228pncan2d 9127 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
233231, 232eqtrd 2290 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
234233mpteq2ia 4076 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
235 fzfid 11002 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
23675adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
237236, 106syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
238237, 120syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  RR )
239238, 236nndivred 9762 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  e.  RR )
240235, 239fsumrecl 12173 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  e.  RR )
241 rpre 10328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
242241adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
243242, 135syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
244243, 157syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
245 rprege0 10336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
246245, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
247246adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
248247, 55syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
249244, 248nndivred 9762 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
250 peano2rem 9081 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
251249, 250syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
252 reex 8796 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
253252, 15ssexi 4133 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  e.  _V
254253a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  RR+  e.  _V )
255237, 236nndivred 9762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
256255recnd 8829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
257235, 256fsumcl 12172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
258 relogcl 19895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
259258adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
260259recnd 8829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
261257, 260subcld 9125 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
262236nnrecred 9759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
263235, 262fsumrecl 12173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
264263, 259resubcld 9179 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
265 eqidd 2259 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )
266 eqidd 2259 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) ) )
267254, 261, 264, 265, 266offval2 6029 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) ) )
268262recnd 8829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
269235, 256, 268fsumsub 12216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
270237recnd 8829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
27130a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
272236nncnd 9730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
273236nnne0d 9758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
274270, 271, 272, 273divsubdird 9543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
1  /  n ) ) )
275274sumeq2dv 12142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) ) )
276263recnd 8829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
277257, 276, 260nnncan2d 9160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
278269, 275, 2773eqtr4rd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
279278mpteq2dva 4080 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
280267, 279eqtrd 2290 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
281 vmadivsum 20594 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
28215a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
283264recnd 8829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
2841a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
285 harmoniclbnd 20265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
286285adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
287259, 263, 286abssubge0d 11880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
288287adantrr 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
289241ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
290 simprr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
291 harmonicubnd 20266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
292289, 290, 291syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
2931a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
294263, 259, 293lesubadd2d 9339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) )  <_  1  <->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
295294adantrr 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
296292, 295mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1 )
297288, 296eqbrtrd 4017 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  <_ 
1 )
298282, 283, 284, 284, 297elo1d 11976 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
299 o1sub 12055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
300281, 298, 299sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
301280, 300eqeltrrd 2333 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )  e.  O ( 1 ) )
302249recnd 8829 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
30330a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
304243recnd 8829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
305 rpcnne0 10339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
306305adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
307 divdir 9415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )
308304, 303, 306, 307syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
309308mpteq2dva 4080 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
310 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
311243, 310rerpdivcld 10385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
312 rpreccl 10345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
313312adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
314 eqidd 2259 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) ) )
315 eqidd 2259 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
316254, 311, 313, 314, 315offval2 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) ) )
317 chpo1ub 20592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
318 divrcnv 12274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
31930, 318ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
320 rlimo1 12056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
321319, 320mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O
( 1 ) )
322 o1add 12053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
323317, 321, 322sylancr 647 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
324316, 323eqeltrrd 2333 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
325309, 324eqeltrd 2332 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
326244, 310rerpdivcld 10385 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  RR )
327 chpge0 20327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
328242, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
(ψ `  x )
)
329243, 328ge0p1rpd 10384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
330329rprege0d 10365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
331248nnrpd 10357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
332331rpregt0d 10364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
333 divge0 9593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
334330, 332, 333syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
335249, 334absidd 11871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
336326recnd 8829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  CC )
337336abscld 11884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  RR )
338 fllep1 10900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
339242, 338syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )
340 rpregt0 10335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
341340adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
342329rpregt0d 10364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
343 lediv2 9614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
344341, 332, 342, 343syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
345339, 344mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) )
346326leabsd 11863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
347249, 326, 337, 345, 346letrd 8941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
348335, 347eqbrtrd 4017 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
349348adantrr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
350284, 325, 326, 302, 349o1le 12092 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  e.  O ( 1 ) )
351 o1const 12059 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
35215, 30, 351mp2an 656 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )
353352a1i 12 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O
( 1 ) )
354302, 303, 350, 353o1sub2 12065 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  O ( 1 ) )
355240, 251, 301, 354o1sub2 12065 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O ( 1 ) )
35614, 355o1res2 12003 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O ( 1 ) )
357234, 356syl5eqelr 2343 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |-> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
35818, 357eqeltrd 2332 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  e.  O ( 1 ) )
359 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
360359, 227fmpti 5617 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) : RR --> CC
361360a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) : RR --> CC )
362 ssid 3172 . . . . 5  |-  RR  C_  RR
363362a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  C_  RR )
364361, 363, 284o1resb 12006 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( (
x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  e.  O ( 1 ) ) )
365358, 364mpbird 225 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
366365trud 1320 1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O
( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    |` cres 4663   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    o Fcof 6010   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    +oocpnf 8832    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005   -ucneg 9006    / cdiv 9391   NNcn 9714   2c2 9763   NN0cn0 9933   ZZcz 9992   ZZ>=cuz 10198   RR+crp 10322   [,)cico 10625   ...cfz 10749  ..^cfzo 10837   |_cfl 10891   abscabs 11685    ~~> r crli 11925   O (
1 )co1 11926   sum_csu 12124   logclog 19875  Λcvma 20292  ψcchp 20293
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd  20678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9934  df-z 9993  df-dec 10093  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-ioo 10627  df-ioc 10628  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-mod 10941  df-seq 11014  df-exp 11072  df-fac 11256  df-bc 11283  df-hash 11305  df-shft 11528  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-limsup 11911  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-o1 11930  df-lo1 11931  df-sum 12125  df-ef 12312  df-e 12313  df-sin 12314  df-cos 12315  df-pi 12317  df-divides 12495  df-gcd 12649  df-prime 12722  df-pc 12853  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-starv 13186  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-tset 13190  df-ple 13191  df-ds 13193  df-hom 13195  df-cco 13196  df-rest 13290  df-topn 13291  df-topgen 13307  df-pt 13308  df-prds 13311  df-xrs 13366  df-0g 13367  df-gsum 13368  df-qtop 13373  df-imas 13374  df-xps 13376  df-mre 13451  df-mrc 13452  df-acs 13454  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-mulg 14455  df-cntz 14756  df-cmn 15054  df-xmet 16336  df-met 16337  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-cnfld 16341  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-topsp 16603  df-cld 16719  df-ntr 16720  df-cls 16721  df-nei 16798  df-lp 16831  df-perf 16832  df-cn 16920  df-cnp 16921  df-haus 17006  df-cmp 17077  df-tx 17220  df-hmeo 17409  df-fbas 17483  df-fg 17484  df-fil 17504  df-fm 17596  df-flim 17597  df-flf 17598  df-xms 17848  df-ms 17849  df-tms 17850  df-cncf 18345  df-limc 19179  df-dv 19180  df-log 19877  df-cxp 19878  df-em 20250  df-cht 20297  df-vma 20298  df-chp 20299  df-ppi 20300
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