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Theorem pntrsumo1 20716
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumo1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O
( 1 )
Distinct variable groups:    n, a, x    R, n, x
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumo1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8839 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 10741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
43simplbi 446 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
5 0re 8840 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
65a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
71a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
8 0lt1 9298 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
98a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  1 )
103simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  x )
116, 7, 4, 9, 10ltletrd 8978 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
124, 11elrpd 10390 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
1312ssriv 3186 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+
1413a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
15 rpssre 10366 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
1614, 15syl6ss 3193 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR )
17 resmpt 5002 . . . . 5  |-  ( ( 1 [,)  +oo )  C_  RR  ->  ( (
x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |-> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
1816, 17syl 15 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
19 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  /  n ) )
20 oveq1 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
2120fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )
2221, 20oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) )
2319, 22jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  n )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) ) )
24 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
25 oveq1 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
2625fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
2726, 25oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
2824, 27jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )
29 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
1 ) )
30 ax-1cn 8797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
3130div1i 9490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3229, 31syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  1 )
33 oveq1 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
3430subidi 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3533, 34syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
3635fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  0 ) )
37 2pos 9830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
38 chpeq0 20449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
(ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2 ) )
395, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2
)
4037, 39mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (ψ ` 
0 )  =  0
4136, 40syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  0 )
4241, 35oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
43 0cn 8833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
4443subidi 9119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4542, 44syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  0 )
4632, 45jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( 1  /  m
)  =  1  /\  ( (ψ `  (
m  -  1 ) )  -  ( m  -  1 ) )  =  0 ) )
47 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
48 oveq1 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
4948fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
5049, 48oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )
5147, 50jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5212rprege0d 10399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
53 flge0nn0 10950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( |_ `  x )  e. 
NN0 )
55 nn0p1nn 10005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN )
57 nnuz 10265 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5856, 57syl6eleq 2375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
59 elfznn 10821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
6059adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
6160nnrecred 9793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
6261recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
6360nnred 9763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
64 peano2rem 9115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
66 chpcl 20364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  e.  RR )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  e.  RR )
6867, 65resubcld 9213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  e.  RR )
6968recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  e.  CC )
7023, 28, 46, 51, 58, 62, 69fsumparts 12266 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
714flcld 10932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
72 fzval3 10913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7473eqcomd 2290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1..^ ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
75 elfznn 10821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
7675adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
7776nncnd 9764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
78 pncan 9059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
7977, 30, 78sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  =  n )
8076nnred 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
8179, 80eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  e.  RR )
82 chpcl 20364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8483recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
8581recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  e.  CC )
86 peano2rem 9115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
8780, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  RR )
88 chpcl 20364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  RR )
9089recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
9130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
9277, 91subcld 9159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
9384, 85, 90, 92sub4d 9208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  -  (
n  -  1 ) ) ) )
94 nnm1nn0 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
9576, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
96 chpp1 20395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  (ψ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
98 npcan 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
9977, 30, 98sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  -  1 )  +  1 )  =  n )
10099, 79eqtr4d 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  -  1 )  +  1 )  =  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )
101100fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
10299fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  (Λ `  n
) )
103102oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  +  (Λ `  n
) ) )
10497, 101, 1033eqtr3d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n ) ) )
105104oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  ( n  -  1
) )  +  (Λ `  n ) )  -  (ψ `  ( n  - 
1 ) ) ) )
106 vmacl 20358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
10776, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
108107recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
10990, 108pncan2d 9161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n
) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  (Λ `  n )
)
110105, 109eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  (Λ `  n )
)
111 peano2cn 8986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
11277, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  CC )
113112, 77, 91nnncan2d 9194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  - 
1 ) )  =  ( ( n  + 
1 )  -  n
) )
114 pncan2 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  n
)  =  1 )
11577, 30, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  n )  =  1 )
116113, 115eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  - 
1 ) )  =  1 )
117110, 116oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  -  ( n  -  1 ) ) )  =  ( (Λ `  n )  -  1 ) )
11893, 117eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( (Λ `  n
)  -  1 ) )
119118oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
(Λ `  n )  - 
1 ) ) )
120 peano2rem 9115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Λ `  n )  e.  RR  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  RR )
121107, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  RR )
122121recnd 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  CC )
12376nnne0d 9792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
124122, 77, 123divrec2d 9542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  =  ( ( 1  /  n )  x.  ( (Λ `  n
)  -  1 ) ) )
125119, 124eqtr4d 2320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12674, 125sumeq12rdv 12182 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12754nn0cnd 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
128 pncan 9059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  x ) )
129127, 30, 128sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  x ) )
130129fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  ( |_ `  x
) ) )
131 chpfl 20390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  ( |_ `  x
) )  =  (ψ `  x ) )
1324, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  ( |_ `  x
) )  =  (ψ `  x ) )
133130, 132eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  x ) )
134133oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  x
)  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )
135 chpcl 20364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1364, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
137136recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
13856nncnd 9764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  CC )
13930a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  e.  CC )
140137, 138, 139subsub3d 9189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
141134, 140eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
142141oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
14356nnrecred 9793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
144143recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
145 peano2cn 8986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  x )  e.  CC  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  CC )
146137, 145syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  +  1 )  e.  CC )
147144, 146, 138subdid 9237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x
)  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) ) )
14856nnne0d 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  =/=  0 )
149146, 138, 148divrec2d 9542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  =  ( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  x )  +  1 ) ) )
150149eqcomd 2290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
151138, 148recid2d 9534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  =  1 )
152150, 151oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  x )  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
153142, 147, 1523eqtrd 2321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
15430mul01i 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
155154a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1  x.  0 )  =  0 )
156153, 155oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  0 ) )
157 peano2re 8987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (ψ `  x )  e.  RR  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
158136, 157syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
159158, 56nndivred 9796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR )
160159recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  CC )
161 subcl 9053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
162160, 30, 161sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
163162subid1d 9148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
164156, 163eqtrd 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
165 peano2nn 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
166 nnmulcl 9771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
167165, 166mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
16876, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
169168nnrecred 9793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
170169recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
171 nnrp 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
172 pntrval.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
173172pntrf 20714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  R : RR+
--> RR
174173ffvelrni 5666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
175171, 174syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( R `  n )  e.  RR )
17676, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  RR )
177176recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  CC )
178170, 177mulneg1d 9234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( -u (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  x.  ( R `  n ) )  = 
-u ( ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n
) ) )
17977, 91mulcld 8857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  e.  CC )
18077, 112mulcld 8857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
181168nnne0d 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  =/=  0
)
182112, 179, 180, 181divsubdird 9577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( n  +  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  (
( n  x.  1 )  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
18377mulid1d 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  =  n )
184183oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  =  ( ( n  + 
1 )  -  n
) )
185184, 115eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  =  1 )
186185oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
187112mulid1d 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  x.  1 )  =  ( n  +  1 ) )
188112, 77mulcomd 8858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  x.  n )  =  ( n  x.  (
n  +  1 ) ) )
189187, 188oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( n  +  1 )  x.  n ) )  =  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
19076, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
191190nnne0d 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  =/=  0 )
19291, 77, 112, 123, 191divcan5d 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( n  +  1 )  x.  n ) )  =  ( 1  /  n
) )
193189, 192eqtr3d 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  n
) )
19491, 112, 77, 191, 123divcan5d 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  x.  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )
195193, 194oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  ( ( n  x.  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  -  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
196182, 186, 1953eqtr3d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  -  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
197196negeqd 9048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( 1  /  n )  -  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
19876nnrecred 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
199198recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
200190nnrecred 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
201200recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  CC )
202199, 201negsubdi2d 9175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( 1  /  n )  -  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  / 
( n  +  1 ) )  -  (
1  /  n ) ) )
203197, 202eqtr2d 2318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  ( n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  = 
-u ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
20476nnrpd 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
20579, 204eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  e.  RR+ )
206172pntrval 20713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
207205, 206syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )
20879fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( R `  n ) )
209207, 208eqtr3d 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( R `
 n ) )
210203, 209oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  (
-u ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n )
) )
211177, 180, 181divrec2d 9542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n )
) )
212211negeqd 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n
) ) )
213178, 210, 2123eqtr4d 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  -u ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
21474, 213sumeq12rdv 12182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
215 fzfid 11037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
216175, 167nndivred 9796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
21776, 216syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
218217recnd 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
219215, 218fsumneg 12251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
220214, 219eqtrd 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
221164, 220oveq12d 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  / 
( n  +  1 ) )  -  (
1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
22270, 126, 2213eqtr3d 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
223 fzfid 11037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
22475adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
225224, 216syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
226223, 225fsumrecl 12209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
227226recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2284, 227syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
229162, 228subnegd 9166 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
230222, 229eqtrd 2317 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
231230oveq1d 5875 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
232162, 228pncan2d 9161 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
233231, 232eqtrd 2317 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
234233mpteq2ia 4104 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
235 fzfid 11037 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
23675adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
237236, 106syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
238237, 120syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  RR )
239238, 236nndivred 9796 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  e.  RR )
240235, 239fsumrecl 12209 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  e.  RR )
241 rpre 10362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
242241adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
243242, 135syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
244243, 157syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
245 rprege0 10370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
246245, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
247246adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
248247, 55syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
249244, 248nndivred 9796 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
250 peano2rem 9115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
251249, 250syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
252 reex 8830 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
253252, 15ssexi 4161 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  e.  _V
254253a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  RR+  e.  _V )
255237, 236nndivred 9796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
256255recnd 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
257235, 256fsumcl 12208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
258 relogcl 19934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
259258adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
260259recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
261257, 260subcld 9159 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
262236nnrecred 9793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
263235, 262fsumrecl 12209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
264263, 259resubcld 9213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
265 eqidd 2286 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )
266 eqidd 2286 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) ) )
267254, 261, 264, 265, 266offval2 6097 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) ) )
268262recnd 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
269235, 256, 268fsumsub 12252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
270237recnd 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
27130a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
272236nncnd 9764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
273236nnne0d 9792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
274270, 271, 272, 273divsubdird 9577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
1  /  n ) ) )
275274sumeq2dv 12178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) ) )
276263recnd 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
277257, 276, 260nnncan2d 9194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
278269, 275, 2773eqtr4rd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
279278mpteq2dva 4108 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
280267, 279eqtrd 2317 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
281 vmadivsum 20633 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
28215a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
283264recnd 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
2841a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
285 harmoniclbnd 20304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
286285adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
287259, 263, 286abssubge0d 11916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
288287adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
289241ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
290 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
291 harmonicubnd 20305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
292289, 290, 291syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
2931a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
294263, 259, 293lesubadd2d 9373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) )  <_  1  <->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
295294adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
296292, 295mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1 )
297288, 296eqbrtrd 4045 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  <_ 
1 )
298282, 283, 284, 284, 297elo1d 12012 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
299 o1sub 12091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
300281, 298, 299sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
301280, 300eqeltrrd 2360 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )  e.  O ( 1 ) )
302249recnd 8863 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
30330a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
304243recnd 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
305 rpcnne0 10373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
306305adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
307 divdir 9449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )
308304, 303, 306, 307syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
309308mpteq2dva 4108 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
310 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
311243, 310rerpdivcld 10419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
312 rpreccl 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
313312adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
314 eqidd 2286 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) ) )
315 eqidd 2286 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
316254, 311, 313, 314, 315offval2 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) ) )
317 chpo1ub 20631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
318 divrcnv 12313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
31930, 318ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
320 rlimo1 12092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
321319, 320mp1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O
( 1 ) )
322 o1add 12089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
323317, 321, 322sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
324316, 323eqeltrrd 2360 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
325309, 324eqeltrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
326244, 310rerpdivcld 10419 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  RR )
327 chpge0 20366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
328242, 327syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
(ψ `  x )
)
329243, 328ge0p1rpd 10418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
330329rprege0d 10399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
331248nnrpd 10391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
332331rpregt0d 10398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
333 divge0 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
334330, 332, 333syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
335249, 334absidd 11907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
336326recnd 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  CC )
337336abscld 11920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  RR )
338 fllep1 10935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
339242, 338syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )
340 rpregt0 10369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
341340adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
342329rpregt0d 10398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
343 lediv2 9648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
344341, 332, 342, 343syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
345339, 344mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) )
346326leabsd 11899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
347249, 326, 337, 345, 346letrd 8975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
348335, 347eqbrtrd 4045 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
349348adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
350284, 325, 326, 302, 349o1le 12128 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  e.  O ( 1 ) )
351 o1const 12095 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
35215, 30, 351mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )
353352a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O
( 1 ) )
354302, 303, 350, 353o1sub2 12101 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  O ( 1 ) )
355240, 251, 301, 354o1sub2 12101 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O ( 1 ) )
35614, 355o1res2 12039 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O ( 1 ) )
357234, 356syl5eqelr 2370 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |-> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
35818, 357eqeltrd 2359 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  e.  O ( 1 ) )
359 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
360359, 227fmpti 5685 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) : RR --> CC
361360a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) : RR --> CC )
362 ssid 3199 . . . . 5  |-  RR  C_  RR
363362a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  C_  RR )
364361, 363, 284o1resb 12042 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( (
x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  e.  O ( 1 ) ) )
365358, 364mpbird 223 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
366365trud 1314 1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O
( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079    |` cres 4693   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    o Fcof 6078   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    +oocpnf 8866    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039   -ucneg 9040    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   RR+crp 10356   [,)cico 10660   ...cfz 10784  ..^cfzo 10872   |_cfl 10926   abscabs 11721    ~~> r crli 11961   O (
1 )co1 11962   sum_csu 12160   logclog 19914  Λcvma 20331  ψcchp 20332
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd  20717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-o1 11966  df-lo1 11967  df-sum 12161  df-ef 12351  df-e 12352  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-dvds 12534  df-gcd 12688  df-prm 12761  df-pc 12892  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-cmp 17116  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-cxp 19917  df-em 20289  df-cht 20336  df-vma 20337  df-chp 20338  df-ppi 20339
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