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Theorem poml4N 28831
Description: Orthomodular law for projective lattices. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
poml4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
poml4.p  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
poml4N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  Y  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )

Proof of Theorem poml4N
StepHypRef Expression
1 eqcom 2255 . . 3  |-  ( ( 
._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y  <-> 
Y  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
2 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 poml4.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
5 poml4.p . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
62, 3, 4, 52polvalN 28792 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) )
763adant2 979 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) )
87eqeq2d 2264 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <->  Y  =  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )
98biimpd 200 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  ->  Y  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) ) )
101, 9syl5bi 210 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y  ->  Y  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) ) )
11 simpl1 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  HL )
12 hloml 28236 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OML )
1311, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  OML )
14 hlclat 28237 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  CLat )
16 simpl2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  X  C_  A )
17 eqid 2253 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1817, 3atssbase 28169 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( Base `  K )
1916, 18syl6ss 3112 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  X  C_  ( Base `  K
) )
2017, 2clatlubcl 14061 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )
2115, 19, 20syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )
22 simpl3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  Y  C_  A )
2322, 18syl6ss 3112 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  Y  C_  ( Base `  K
) )
2417, 2clatlubcl 14061 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  Y  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2515, 23, 24syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2613, 21, 253jca 1137 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( K  e.  OML  /\  ( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
) )
27 simprl 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  X  C_  Y )
28 eqid 2253 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2917, 28, 2lubss 14069 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  Y  C_  ( Base `  K
)  /\  X  C_  Y
)  ->  ( ( lub `  K ) `  X ) ( le
`  K ) ( ( lub `  K
) `  Y )
)
3015, 23, 27, 29syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( lub `  K
) `  X )
( le `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )
31 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
32 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
3317, 28, 31, 32omllaw4 28125 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  X )
( le `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) )  =  ( ( lub `  K ) `  X
) ) )
3426, 30, 33sylc 58 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
)  =  ( ( lub `  K ) `
 X ) )
3534fveq2d 5381 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) ) )  =  ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) )
362, 32, 3, 4, 5polval2N 28784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) ) )
3711, 16, 36syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  X )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) ) )
38 simprr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) )
3937, 38ineq12d 3279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  Y )  =  ( ( (
pmap `  K ) `  ( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) )  i^i  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )
40 hlop 28241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
4111, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  OP )
4217, 32opoccl 28073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) )  e.  ( Base `  K
) )
4341, 21, 42syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K ) )
4417, 31, 3, 4pmapmeet 28651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  =  ( ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
4511, 43, 25, 44syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) )  i^i  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )
4639, 45eqtr4d 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  Y )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )
4746fveq2d 5381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i 
Y ) )  =  (  ._|_  `  ( (
pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) ) )
48 hllat 28242 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4911, 48syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  Lat )
5017, 31latmcl 14001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)
5149, 43, 25, 50syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)
5217, 32, 4, 5polpmapN 28790 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  (  ._|_  `  ( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) ) )
5311, 51, 52syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ) )
5447, 53eqtrd 2285 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i 
Y ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) ) )
5554, 38ineq12d 3279 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
5617, 32opoccl 28073 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  e.  ( Base `  K
) )
5741, 51, 56syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  e.  ( Base `  K
) )
5817, 31, 3, 4pmapmeet 28651 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
5911, 57, 25, 58syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) ) )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
6055, 59eqtr4d 2288 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) ) ) )
612, 3, 4, 52polvalN 28792 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) )
6211, 16, 61syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) )
6335, 60, 623eqtr4d 2295 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
6463ex 425 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  Y  /\  Y  =  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i 
Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )
6510, 64sylan2d 470 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  Y  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    i^i cin 3077    C_ wss 3078   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   lecple 13089   occoc 13090   lubclub 13920   meetcmee 13923   Latclat 13995   CLatccla 14057   OPcops 28051   OMLcoml 28054   Atomscatm 28142   HLchlt 28229   pmapcpmap 28375   _|_ PcpolN 28780
This theorem is referenced by:  poml5N  28832  poml6N  28833  pexmidlem6N  28853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-pmap 28382  df-polarityN 28781
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