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Theorem poml4N 30589
Description: Orthomodular law for projective lattices. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
poml4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
poml4.p  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
poml4N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  Y  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )

Proof of Theorem poml4N
StepHypRef Expression
1 eqcom 2437 . . 3  |-  ( ( 
._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y  <-> 
Y  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
2 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 poml4.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
5 poml4.p . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
62, 3, 4, 52polvalN 30550 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) )
763adant2 976 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) )
87eqeq2d 2446 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <->  Y  =  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )
98biimpd 199 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  ->  Y  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) ) )
101, 9syl5bi 209 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y  ->  Y  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) ) )
11 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  HL )
12 hloml 29994 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OML )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  OML )
14 hlclat 29995 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
1511, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  CLat )
16 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  X  C_  A )
17 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1817, 3atssbase 29927 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( Base `  K )
1916, 18syl6ss 3352 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  X  C_  ( Base `  K
) )
2017, 2clatlubcl 14528 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )
2115, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )
22 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  Y  C_  A )
2322, 18syl6ss 3352 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  Y  C_  ( Base `  K
) )
2417, 2clatlubcl 14528 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  Y  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2515, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2613, 21, 253jca 1134 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( K  e.  OML  /\  ( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
) )
27 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  X  C_  Y )
28 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2917, 28, 2lubss 14536 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  Y  C_  ( Base `  K
)  /\  X  C_  Y
)  ->  ( ( lub `  K ) `  X ) ( le
`  K ) ( ( lub `  K
) `  Y )
)
3015, 23, 27, 29syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( lub `  K
) `  X )
( le `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )
31 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
32 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
3317, 28, 31, 32omllaw4 29883 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  X )
( le `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) )  =  ( ( lub `  K ) `  X
) ) )
3426, 30, 33sylc 58 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
)  =  ( ( lub `  K ) `
 X ) )
3534fveq2d 5723 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) ) )  =  ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) )
362, 32, 3, 4, 5polval2N 30542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) ) )
3711, 16, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  X )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) ) )
38 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) )
3937, 38ineq12d 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  Y )  =  ( ( (
pmap `  K ) `  ( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) )  i^i  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )
40 hlop 29999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
4111, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  OP )
4217, 32opoccl 29831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) )  e.  ( Base `  K
) )
4341, 21, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K ) )
4417, 31, 3, 4pmapmeet 30409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  =  ( ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
4511, 43, 25, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) )  i^i  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )
4639, 45eqtr4d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  Y )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )
4746fveq2d 5723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i 
Y ) )  =  (  ._|_  `  ( (
pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) ) )
48 hllat 30000 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4911, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  Lat )
5017, 31latmcl 14468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)
5149, 43, 25, 50syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)
5217, 32, 4, 5polpmapN 30548 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  (  ._|_  `  ( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) ) )
5311, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ) )
5447, 53eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i 
Y ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) ) )
5554, 38ineq12d 3535 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
5617, 32opoccl 29831 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  e.  ( Base `  K
) )
5741, 51, 56syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  e.  ( Base `  K
) )
5817, 31, 3, 4pmapmeet 30409 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
5911, 57, 25, 58syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) ) )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
6055, 59eqtr4d 2470 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) ) ) )
612, 3, 4, 52polvalN 30550 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) )
6211, 16, 61syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) )
6335, 60, 623eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
6463ex 424 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  Y  /\  Y  =  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i 
Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )
6510, 64sylan2d 469 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  Y  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457   lecple 13524   occoc 13525   lubclub 14387   meetcmee 14390   Latclat 14462   CLatccla 14524   OPcops 29809   OMLcoml 29812   Atomscatm 29900   HLchlt 29987   pmapcpmap 30133   _|_ PcpolN 30538
This theorem is referenced by:  poml5N  30590  poml6N  30591  pexmidlem6N  30611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-pmap 30140  df-polarityN 30539
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