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Theorem poml4N 29409
Description: Orthomodular law for projective lattices. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
poml4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
poml4.p  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
poml4N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  Y  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )

Proof of Theorem poml4N
StepHypRef Expression
1 eqcom 2286 . . 3  |-  ( ( 
._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y  <-> 
Y  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
2 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 poml4.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
5 poml4.p . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
62, 3, 4, 52polvalN 29370 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) )
763adant2 979 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) )
87eqeq2d 2295 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <->  Y  =  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )
98biimpd 200 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  ->  Y  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) ) )
101, 9syl5bi 210 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y  ->  Y  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  Y ) ) ) )
11 simpl1 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  HL )
12 hloml 28814 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OML )
1311, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  OML )
14 hlclat 28815 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  CLat )
16 simpl2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  X  C_  A )
17 eqid 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1817, 3atssbase 28747 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( Base `  K )
1916, 18syl6ss 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  X  C_  ( Base `  K
) )
2017, 2clatlubcl 14211 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )
2115, 19, 20syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )
22 simpl3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  Y  C_  A )
2322, 18syl6ss 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  Y  C_  ( Base `  K
) )
2417, 2clatlubcl 14211 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  Y  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2515, 23, 24syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2613, 21, 253jca 1137 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( K  e.  OML  /\  ( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
) )
27 simprl 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  X  C_  Y )
28 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2917, 28, 2lubss 14219 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  Y  C_  ( Base `  K
)  /\  X  C_  Y
)  ->  ( ( lub `  K ) `  X ) ( le
`  K ) ( ( lub `  K
) `  Y )
)
3015, 23, 27, 29syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( lub `  K
) `  X )
( le `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )
31 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
32 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
3317, 28, 31, 32omllaw4 28703 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  X )
( le `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) )  =  ( ( lub `  K ) `  X
) ) )
3426, 30, 33sylc 58 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
)  =  ( ( lub `  K ) `
 X ) )
3534fveq2d 5489 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) ) )  =  ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) )
362, 32, 3, 4, 5polval2N 29362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) ) )
3711, 16, 36syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  X )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) ) )
38 simprr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) )
3937, 38ineq12d 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  Y )  =  ( ( (
pmap `  K ) `  ( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) )  i^i  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )
40 hlop 28819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
4111, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  OP )
4217, 32opoccl 28651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) )  e.  ( Base `  K
) )
4341, 21, 42syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K ) )
4417, 31, 3, 4pmapmeet 29229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  =  ( ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
4511, 43, 25, 44syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) )  i^i  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )
4639, 45eqtr4d 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  X
)  i^i  Y )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )
4746fveq2d 5489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i 
Y ) )  =  (  ._|_  `  ( (
pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) ) )
48 hllat 28820 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4911, 48syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  ->  K  e.  Lat )
5017, 31latmcl 14151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( lub `  K
) `  Y )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)
5149, 43, 25, 50syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)
5217, 32, 4, 5polpmapN 29368 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  (  ._|_  `  ( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) ) )
5311, 51, 52syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ) )
5447, 53eqtrd 2316 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i 
Y ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) ) )
5554, 38ineq12d 3372 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
5617, 32opoccl 28651 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  e.  ( Base `  K
) )
5741, 51, 56syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  e.  ( Base `  K
) )
5817, 31, 3, 4pmapmeet 29229 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( pmap `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
5911, 57, 25, 58syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) ) )  =  ( ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) ( meet `  K
) ( ( lub `  K ) `  Y
) ) ) )  i^i  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  Y )
) ) )
6055, 59eqtr4d 2319 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) (
meet `  K )
( ( lub `  K
) `  Y )
) ) ( meet `  K ) ( ( lub `  K ) `
 Y ) ) ) )
612, 3, 4, 52polvalN 29370 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) )
6211, 16, 61syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) )
6335, 60, 623eqtr4d 2326 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( X  C_  Y  /\  Y  =  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) ) )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
6463ex 425 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  Y  /\  Y  =  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  Y )
) )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i 
Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )
6510, 64sylan2d 470 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  Y  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1628    e. wcel 1688    i^i cin 3152    C_ wss 3153   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   Basecbs 13142   lecple 13209   occoc 13210   lubclub 14070   meetcmee 14073   Latclat 14145   CLatccla 14207   OPcops 28629   OMLcoml 28632   Atomscatm 28720   HLchlt 28807   pmapcpmap 28953   _|_ PcpolN 29358
This theorem is referenced by:  poml5N  29410  poml6N  29411  pexmidlem6N  29431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-poset 14074  df-plt 14086  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-p0 14139  df-p1 14140  df-lat 14146  df-clat 14208  df-oposet 28633  df-ol 28635  df-oml 28636  df-covers 28723  df-ats 28724  df-atl 28755  df-cvlat 28779  df-hlat 28808  df-pmap 28960  df-polarityN 29359
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