Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pospo Structured version   Unicode version

Theorem pospo 14435
 Description: Write a poset structure in terms of the proper-class poset predicate (strict less than version). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pospo.b
pospo.l
pospo.s
Assertion
Ref Expression
pospo

Proof of Theorem pospo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pospo.s . . . . 5
21pltirr 14425 . . . 4
3 pospo.b . . . . 5
43, 1plttr 14432 . . . 4
52, 4ispod 4514 . . 3
6 relres 5177 . . . . 5
76a1i 11 . . . 4
8 opabresid 5197 . . . . . . 7
98eleq2i 2502 . . . . . 6
10 opabid 4464 . . . . . 6
119, 10bitr3i 244 . . . . 5
12 pospo.l . . . . . . . 8
133, 12posref 14413 . . . . . . 7
14 df-br 4216 . . . . . . . 8
15 breq2 4219 . . . . . . . 8
1614, 15syl5bbr 252 . . . . . . 7
1713, 16syl5ibrcom 215 . . . . . 6
1817expimpd 588 . . . . 5
1911, 18syl5bi 210 . . . 4
207, 19relssdv 4971 . . 3
215, 20jca 520 . 2
22 elex 2966 . . . . 5
2322adantr 453 . . . 4
243a1i 11 . . . 4
2512a1i 11 . . . 4
26 equid 1689 . . . . . 6
27 simpr 449 . . . . . . 7
28 resieq 5159 . . . . . . 7
2927, 27, 28syl2anc 644 . . . . . 6
3026, 29mpbiri 226 . . . . 5
31 simplrr 739 . . . . . 6
3231ssbrd 4256 . . . . 5
3330, 32mpd 15 . . . 4
343, 12, 1pleval2i 14426 . . . . . 6
35343adant1 976 . . . . 5
363, 12, 1pleval2i 14426 . . . . . . 7
3736ancoms 441 . . . . . 6
38373adant1 976 . . . . 5
39 simprl 734 . . . . . . . 8
40 po2nr 4519 . . . . . . . . 9
41403impb 1150 . . . . . . . 8
4239, 41syl3an1 1218 . . . . . . 7
4342pm2.21d 101 . . . . . 6
44 simpl 445 . . . . . . 7
4544a1i 11 . . . . . 6
46 simpr 449 . . . . . . . 8
4746eqcomd 2443 . . . . . . 7
4847a1i 11 . . . . . 6
49 simpl 445 . . . . . . 7
5049a1i 11 . . . . . 6
5143, 45, 48, 50ccased 915 . . . . 5
5235, 38, 51syl2and 471 . . . 4
53 simpr1 964 . . . . . 6
54 simpr2 965 . . . . . 6
5553, 54, 34syl2anc 644 . . . . 5
56 simpr3 966 . . . . . 6
573, 12, 1pleval2i 14426 . . . . . 6
5854, 56, 57syl2anc 644 . . . . 5
59 potr 4518 . . . . . . . 8
6039, 59sylan 459 . . . . . . 7
61 simpll 732 . . . . . . . 8
6212, 1pltle 14423 . . . . . . . 8
6361, 53, 56, 62syl3anc 1185 . . . . . . 7
6460, 63syld 43 . . . . . 6
65 breq1 4218 . . . . . . . 8
6665biimpar 473 . . . . . . 7
6766, 63syl5 31 . . . . . 6
68 breq2 4219 . . . . . . . 8
6968biimpac 474 . . . . . . 7
7069, 63syl5 31 . . . . . 6
7153, 33syldan 458 . . . . . . 7
72 eqtr 2455 . . . . . . . 8
7372breq2d 4227 . . . . . . 7
7471, 73syl5ibcom 213 . . . . . 6
7564, 67, 70, 74ccased 915 . . . . 5
7655, 58, 75syl2and 471 . . . 4
7723, 24, 25, 33, 52, 76isposd 14417 . . 3
7877ex 425 . 2
7921, 78impbid2 197 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   wss 3322  cop 3819   class class class wbr 4215  copab 4268   cid 4496   wpo 4504   cres 4883   wrel 4886  cfv 5457  cbs 13474  cple 13541  cpo 14402  cplt 14403 This theorem is referenced by:  tosso  14470 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-res 4893  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-poset 14408  df-plt 14420
 Copyright terms: Public domain W3C validator