MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppifl Unicode version

Theorem ppifl 20394
Description: The prime pi function does not change off the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppifl  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  =  (π `  A ) )

Proof of Theorem ppifl
StepHypRef Expression
1 ppisval 20337 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  =  ( ( 2 ... ( |_ `  A
) )  i^i  Prime ) )
21fveq2d 5491 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( # `
 ( ( 0 [,] A )  i^i 
Prime ) )  =  (
# `  ( (
2 ... ( |_ `  A ) )  i^i 
Prime ) ) )
3 ppival 20361 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  A )  =  (
# `  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) ) )
4 flcl 10923 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
5 ppival2 20362 . . 3  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  =  (
# `  ( (
2 ... ( |_ `  A ) )  i^i 
Prime ) ) )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  =  (
# `  ( (
2 ... ( |_ `  A ) )  i^i 
Prime ) ) )
72, 3, 63eqtr4rd 2329 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  =  (π `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1625    e. wcel 1687    i^i cin 3154   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   RRcr 8733   0cc0 8734   2c2 9792   ZZcz 10021   [,]cicc 10655   ...cfz 10778   |_cfl 10920   #chash 11333   Primecprime 12754  πcppi 20327
This theorem is referenced by:  ppip1le  20395  ppieq0  20410  ppiltx  20411  ppiub  20439  chtppilimlem1  20618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-er 6657  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-sup 7191  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-nn 9744  df-2 9801  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fl 10921  df-dvds 12528  df-prm 12755  df-ppi 20333
  Copyright terms: Public domain W3C validator