Theorem prcdpq 5109

Description: A positive real is closed downwards under the positive fractions. Definition 9-3.1 (ii) of [Gleason] p. 121.

Assertion

Ref	Expression
prcdpq	|- ((A e. P. /\ B e. A) -> (C <Q B -> C e. A))

Proof of Theorem prcdpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1537	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> (x e. A <-> B e. A))
2	1	anbi2d 618	. . . . . . . 8 |- (x = B -> ((A e. P. /\ x e. A) <-> (A e. P. /\ B e. A)))
3		breq2 2628	. . . . . . . 8 |- (x = B -> (y <Q x <-> y <Q B))
4	2, 3	anbi12d 630	. . . . . . 7 |- (x = B -> (((A e. P. /\ x e. A) /\ y <Q x) <-> ((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B)))
5	4	imbi1d 615	. . . . . 6 |- (x = B -> ((((A e. P. /\ x e. A) /\ y <Q x) -> y e. A) <-> (((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B) -> y e. A)))
6		breq1 2627	. . . . . . . 8 |- (y = C -> (y <Q B <-> C <Q B))
7	6	anbi2d 618	. . . . . . 7 |- (y = C -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B) <-> ((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B)))
8		eleq1 1537	. . . . . . 7 |- (y = C -> (y e. A <-> C e. A))
9	7, 8	imbi12d 628	. . . . . 6 |- (y = C -> ((((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B) -> y e. A) <-> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A)))
10		elnp 5104	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))
11	10	pm3.27bi 326	. . . . . . . . . 10 |- (A e. P. -> A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))
12	11	r19.21bi 1728	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))
13	12	pm3.26d 321	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> A.y(y <Q x -> y e. A))
14	13	19.21bi 1062	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> (y <Q x -> y e. A))
15	14	imp 350	. . . . . 6 |- (((A e. P. /\ x e. A) /\ y <Q x) -> y e. A)
16	5, 9, 15	vtocl2g 1853	. . . . 5 |- ((B e. A /\ C e. V) -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A))
17		ltrelpq 5063	. . . . . . 7 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
18		relxp 3261	. . . . . . 7 |- Rel (Q. X. Q.)
19		relss 3252	. . . . . . 7 |- ( <Q (_ (Q. X. Q.) -> (Rel (Q. X. Q.) -> Rel <Q ))
20	17, 18, 19	mp2 43	. . . . . 6 |- Rel <Q
21	20	brrelexi 3214	. . . . 5 |- (C <Q B -> C e. V)
22	16, 21	sylan2 453	. . . 4 |- ((B e. A /\ C <Q B) -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A))
23	22	adantll 394	. . 3 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A))
24	23	pm2.43i 64	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A)
25	24	ex 373	1 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> (C <Q B -> C e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050   (. wpss 2051  (/)c0 2283   class class class wbr 2624   X. cxp 3174  Rel wrel 3181  Q.cnq 4991   <Q cltq 4996  P.cnp 4997

This theorem is referenced by:  prub 5110  addclprlem1 5130  mulclprlem 5133  distrlem4pr 5142  1idpr 5145  psslinpr 5147  prlem934 5151  ltaddpr 5152  ltexprlem2 5155  ltexprlem3 5156  ltexprlem6 5159  prlem936 5167  reclem2pr 5169  suplem1pr 5173

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-qs 4272  df-ni 5012  df-nq 5050  df-ltq 5054  df-np 5098

Copyright terms: Public domain