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Theorem prdstopn 17338
Description: Topology of a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstopn.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstopn.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstopn.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdstopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdstopn  |-  ( ph  ->  O  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) )

Proof of Theorem prdstopn
Dummy variables  x  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdstopn.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
3 prdstopn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4 prdstopn.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 fnex 5757 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
8 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  dom  R )
9 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (TopSet `  Y )  =  (TopSet `  Y )
101, 2, 6, 7, 8, 9prdstset 13381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
11 topnfn 13346 . . . . . . . . . . 11  |-  TopOpen  Fn  _V
12 dffn2 5406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
133, 12sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
14 fnfco 5423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
1511, 13, 14sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
16 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  =  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }
1716ptval 17281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
184, 15, 17syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
1918unieqd 3854 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  U. ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
20 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y ) )
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
22 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (TopSet `  ( R `  y ) )  =  (TopSet `  ( R `  y ) )
2321, 22topnval 13355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (TopSet `  ( R `  y
) )t  ( Base `  ( R `  y )
) )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) )
24 restsspw 13352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (TopSet `  ( R `  y
) )t  ( Base `  ( R `  y )
) )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) )
2523, 24eqsstr3i 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( TopOpen `  ( R `  y ) )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) )
26 fvco2 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  Fn  I  /\  y  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  =  ( TopOpen `  ( R `  y )
) )
273, 26sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
2827sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  C_ 
~P ( Base `  ( R `  y )
)  <->  ( TopOpen `  ( R `  y )
)  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) ) ) )
2925, 28mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) ) )
3029sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  (
g `  y )  e.  ~P ( Base `  ( R `  y )
) ) )
31 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
3231elpw 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g `  y )  e.  ~P ( Base `  ( R `  y
) )  <->  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) )
3330, 32syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  (
g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y )
) ) )
3433ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) ) )
3534imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y ) )  ->  A. y  e.  I 
( g `  y
)  C_  ( Base `  ( R `  y
) ) )
3620, 35sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) )
37 ss2ixp 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  I  (
g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y )
)  ->  X_ y  e.  I  ( g `  y )  C_  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  I  ( g `  y )  C_  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
39 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  x  =  X_ y  e.  I 
( g `  y
) )
401, 7, 2, 4, 3prdsbas2 13384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  ( Base `  Y )  = 
X_ y  e.  I 
( Base `  ( R `  y ) ) )
4238, 39, 413sstr4d 3234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y
) )
4342ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y
) ) )
4443exlimdv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y ) ) )
45 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
4645elpw 3644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( Base `  Y )  <->  x  C_  ( Base `  Y ) )
4744, 46syl6ibr 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  e.  ~P ( Base `  Y
) ) )
4847abssdv 3260 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } 
C_  ~P ( Base `  Y
) )
49 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
5049pwex 4209 . . . . . . . . . 10  |-  ~P ( Base `  Y )  e. 
_V
5150ssex 4174 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ~P ( Base `  Y )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  e.  _V )
52 unitg 16721 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  e.  _V  ->  U. ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
5348, 51, 523syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
5419, 53eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
55 sspwuni 4003 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ~P ( Base `  Y )  <->  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } 
C_  ( Base `  Y
) )
5648, 55sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ( Base `  Y ) )
5754, 56eqsstrd 3225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ( Base `  Y
) )
58 sspwuni 4003 . . . . . 6  |-  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  C_  ~P ( Base `  Y )  <->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ( Base `  Y
) )
5957, 58sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ~P ( Base `  Y
) )
6010, 59eqsstrd 3225 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  C_ 
~P ( Base `  Y
) )
617, 9topnid 13356 . . . 4  |-  ( (TopSet `  Y )  C_  ~P ( Base `  Y )  ->  (TopSet `  Y )  =  ( TopOpen `  Y
) )
6260, 61syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( TopOpen `  Y
) )
63 prdstopn.o . . 3  |-  O  =  ( TopOpen `  Y )
6462, 63syl6eqr 2346 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  O )
6564, 10eqtr3d 2330 1  |-  ( ph  ->  O  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   dom cdm 4705    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   X_cixp 6833   Fincfn 6879   Basecbs 13164  TopSetcts 13230   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   topGenctg 13358   Xt_cpt 13359   X_scprds 13362
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  17518  prdstmdd  17822  prdstgpd  17823  prdsxmslem2  18091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364
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