Theorem pre-axltadd 5261

Description: Ordering property of addition on reals. Axiom 23 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axltadd 5477.

Assertion

Ref	Expression
pre-axltadd	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <R B -> (C + A) <R (C + B)))

Proof of Theorem pre-axltadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5222	. . 3 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2		elreal 5222	. . 3 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3		elreal 5222	. . 3 |- (C e. RR <-> E.z(z e. R. /\ <.z, 0R>. = C))
4		breq1 2612	. . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> A <R <.y, 0R>.))
5		opreq2 3954	. . . . 5 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) = (<.z, 0R>. + A))
6	5	breq1d 2619	. . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> ((<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)))
7	4, 6	bibi12d 627	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> ((<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)) <-> (A <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.))))
8		breq2 2613	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> (A <R <.y, 0R>. <-> A <R B))
9		opreq2 3954	. . . . 5 |- (<.y, 0R>. = B -> (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) = (<.z, 0R>. + B))
10	9	breq2d 2620	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> ((<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + B)))
11	8, 10	bibi12d 627	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> ((A <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)) <-> (A <R B <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + B))))
12		opreq1 3953	. . . . 5 |- (<.z, 0R>. = C -> (<.z, 0R>. + A) = (C + A))
13		opreq1 3953	. . . . 5 |- (<.z, 0R>. = C -> (<.z, 0R>. + B) = (C + B))
14	12, 13	breq12d 2621	. . . 4 |- (<.z, 0R>. = C -> ((<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + B) <-> (C + A) <R (C + B)))
15	14	bibi2d 616	. . 3 |- (<.z, 0R>. = C -> ((A <R B <-> (<.z, 0R>. + A) <R (<.z, 0R>. + B)) <-> (A <R B <-> (C + A) <R (C + B))))
16		visset 1804	. . . . . . . 8 |- x e. V
17		visset 1804	. . . . . . . 8 |- y e. V
18	16, 17	ltasr 5181	. . . . . . 7 |- (z e. R. -> (x <R y <-> (z +R x) <R (z +R y)))
19	18	adantr 389	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> (x <R y <-> (z +R x) <R (z +R y)))
20	16, 17	ltresr 5230	. . . . . . 7 |- (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> x <R y)
21	20	a1i 8	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> x <R y))
22		addresr 5228	. . . . . . . . 9 |- ((z e. R. /\ x e. R.) -> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) = <.(z +R x), 0R>.)
23		addresr 5228	. . . . . . . . 9 |- ((z e. R. /\ y e. R.) -> (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) = <.(z +R y), 0R>.)
24	22, 23	breqan12d 2622	. . . . . . . 8 |- (((z e. R. /\ x e. R.) /\ (z e. R. /\ y e. R.)) -> ((<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) <-> <.(z +R x), 0R>. <R <.(z +R y), 0R>.))
25	24	anandis 511	. . . . . . 7 |- ((z e. R. /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> ((<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) <-> <.(z +R x), 0R>. <R <.(z +R y), 0R>.))
26		oprex 3968	. . . . . . . 8 |- (z +R x) e. V
27		oprex 3968	. . . . . . . 8 |- (z +R y) e. V
28	26, 27	ltresr 5230	. . . . . . 7 |- (<.(z +R x), 0R>. <R <.(z +R y), 0R>. <-> (z +R x) <R (z +R y))
29	25, 28	syl6bb 534	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> ((<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.) <-> (z +R x) <R (z +R y)))
30	19, 21, 29	3bitr4d 548	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)))
31	30	ancoms 436	. . . 4 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ z e. R.) -> (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)))
32	31	3impa 826	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R.) -> (<.x, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> (<.z, 0R>. + <.x, 0R>.) <R (<.z, 0R>. + <.y, 0R>.)))
33	1, 2, 3, 7, 11, 15, 32	3gencl 1821	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <R B <-> (C + A) <R (C + B)))
34	33	biimpd 153	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <R B -> (C + A) <R (C + B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  R.cnr 4965  0Rc0r 4966   +R cplr 4969   <R cltr 4971  RRcr 5205   + caddc 5209   <R cltrr 5210

This theorem is referenced by:  axltadd 5477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-plus 5217  df-lt 5219

Copyright terms: Public domain