Theorem prime 7750

Description: Two ways to express "A is a prime number (or 1)."

Assertion

Ref	Expression
prime	|- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem prime

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bi2.04 239	. . . 4 |- ((x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
2		impexp 404	. . . 4 |- (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> (x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)))
3		neor 2345	. . . . 5 |- ((x = 1 \/ x = A) <-> (x =/= 1 -> x = A))
4	3	imbi2i 297	. . . 4 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
5	1, 2, 4	3bitr4ri 296	. . 3 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A))
6		nngt1ne1 7460	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (1 < x <-> x =/= 1))
7	6	adantl 448	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (1 < x <-> x =/= 1))
8	7	anbi1d 752	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (x =/= 1 /\ (A / x) e. NN)))
9		nnz 7703	. . . . . . . . 9 |- ((A / x) e. NN -> (A / x) e. ZZ)
10		nnre 7445	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> x e. RR)
11		gtndiv 7748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ A e. NN /\ A < x) -> -. (A / x) e. ZZ)
12	11	3expia 1319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
13	10, 12	sylan 597	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
14	13	con2d 132	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> -. A < x))
15		nnre 7445	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. NN -> A e. RR)
16		lenlt 6869	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (x <_ A <-> -. A < x))
17	10, 15, 16	syl2an 603	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (x <_ A <-> -. A < x))
18	14, 17	sylibrd 247	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
19	18	ancoms 416	. . . . . . . . 9 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
20	9, 19	syl5 35	. . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN -> x <_ A))
21	20	pm4.71rd 962	. . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN <-> (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
22	21	anbi2d 751	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN))))
23		3anass 1106	. . . . . 6 |- ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
24	22, 23	syl6bbr 731	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
25	8, 24	bitr3d 287	. . . 4 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
26	25	imbi1d 748	. . 3 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
27	5, 26	syl5bb 721	. 2 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
28	27	ralbidva 2369	1 |- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 219   \/ wo 336   /\ wa 337   /\ w3a 1102   = wceq 1586   e. wcel 1588   =/= wne 2266  A.wral 2355   class class class wbr 3507  (class class class)co 4981  RRcr 6751  1c1 6753   <_ cle 6841   < clt 6845   / cdiv 6991  NNcn 6992  ZZcz 6994

This theorem is referenced by:  infpnlem1 9388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1592  ax-gen 1593  ax-8 1594  ax-9 1595  ax-10 1596  ax-11 1597  ax-12 1598  ax-13 1599  ax-14 1600  ax-17 1605  ax-4 1608  ax-5o 1610  ax-6o 1613  ax-9o 1763  ax-10o 1781  ax-16 1854  ax-11o 1864  ax-ext 2123  ax-rep 3596  ax-sep 3606  ax-nul 3613  ax-pow 3649  ax-pr 3687  ax-un 3929  ax-inf2 5964

This theorem depends on definitions:  df-bi 220  df-or 338  df-an 339  df-3or 1103  df-3an 1104  df-ex 1616  df-sb 1816  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2129  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-ne 2268  df-nel 2269  df-ral 2359  df-rex 2360  df-reu 2361  df-rab 2362  df-v 2540  df-sbc 2700  df-csb 2774  df-dif 2830  df-un 2832  df-in 2834  df-ss 2836  df-pss 2838  df-nul 3083  df-if 3181  df-pw 3229  df-sn 3242  df-pr 3243  df-tp 3245  df-op 3246  df-uni 3367  df-int 3401  df-iun 3438  df-br 3508  df-opab 3566  df-tr 3580  df-eprel 3744  df-id 3747  df-po 3752  df-so 3764  df-fr 3782  df-we 3798  df-ord 3814  df-on 3815  df-lim 3816  df-suc 3817  df-om 4086  df-xp 4133  df-rel 4134  df-cnv 4135  df-co 4136  df-dm 4137  df-rn 4138  df-res 4139  df-ima 4140  df-fun 4141  df-fn 4142  df-f 4143  df-f1 4144  df-fo 4145  df-f1o 4146  df-fv 4147  df-opr 4983  df-oprab 4984  df-mpt 5099  df-1st 5126  df-2nd 5127  df-iota 5219  df-rdg 5304  df-1o 5344  df-oadd 5346  df-omul 5347  df-er 5479  df-ec 5481  df-qs 5484  df-en 5588  df-dom 5589  df-sdom 5590  df-undef 5725  df-riota 5729  df-ni 6518  df-pli 6519  df-mi 6520  df-lti 6521  df-plpq 6553  df-mpq 6554  df-enq 6555  df-nq 6556  df-plq 6557  df-mq 6558  df-rq 6559  df-ltq 6560  df-1q 6561  df-np 6604  df-1p 6605  df-plp 6606  df-mp 6607  df-ltp 6608  df-plpr 6682  df-mpr 6683  df-enr 6684  df-nr 6685  df-plr 6686  df-mr 6687  df-ltr 6688  df-0r 6689  df-1r 6690  df-m1r 6691  df-c 6758  df-0 6759  df-1 6760  df-i 6761  df-r 6762  df-plus 6763  df-mul 6764  df-lt 6765  df-pnf 6846  df-mnf 6847  df-xr 6848  df-ltxr 6849  df-le 6850  df-sub 7009  df-neg 7011  df-div 7223  df-n 7441  df-n0 7649  df-z 7686

Copyright terms: Public domain