HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem prime 8109
Description: Two ways to express "A is a prime number (or 1)."
Assertion
Ref Expression
prime |- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem prime
StepHypRef Expression
1 bi2.04 410 . . . 4 |- ((x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
2 impexp 492 . . . 4 |- (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> (x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)))
3 neor 2299 . . . . 5 |- ((x = 1 \/ x = A) <-> (x =/= 1 -> x = A))
43imbi2i 355 . . . 4 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
51, 2, 43bitr4ri 321 . . 3 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A))
6 nngt1ne1 7789 . . . . . . 7 |- (x e. NN -> (1 < x <-> x =/= 1))
76adantl 517 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (1 < x <-> x =/= 1))
87anbi1d 797 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (x =/= 1 /\ (A / x) e. NN)))
9 nnz 8061 . . . . . . . . 9 |- ((A / x) e. NN -> (A / x) e. ZZ)
10 nnre 7774 . . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> x e. RR)
11 gtndiv 8107 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ A e. NN /\ A < x) -> -. (A / x) e. ZZ)
12113expia 1248 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
1310, 12sylan 523 . . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
1413con2d 116 . . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> -. A < x))
15 nnre 7774 . . . . . . . . . . . 12 |- (A e. NN -> A e. RR)
16 lenlt 7242 . . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (x <_ A <-> -. A < x))
1710, 15, 16syl2an 529 . . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (x <_ A <-> -. A < x))
1814, 17sylibrd 271 . . . . . . . . . 10 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
1918ancoms 503 . . . . . . . . 9 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
209, 19syl5 29 . . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN -> x <_ A))
2120pm4.71rd 701 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN <-> (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2221anbi2d 795 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN))))
23 3anass 1041 . . . . . 6 |- ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2422, 23syl6bbr 305 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
258, 24bitr3d 293 . . . 4 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2625imbi1d 360 . . 3 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
275, 26syl5bb 295 . 2 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
2827ralbidva 2324 1 |- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 209   \/ wo 417   /\ wa 418   /\ w3a 1037   = wceq 1592   e. wcel 1594   =/= wne 2218  A.wral 2310   class class class wbr 3509  (class class class)co 5067  RRcr 7105  1c1 7107   <_ cle 7214   < clt 7218   / cdiv 7330  NNcn 7331  ZZcz 7333
This theorem is referenced by:  infpnlem1 9920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1516  ax-6 1517  ax-7 1518  ax-gen 1519  ax-8 1596  ax-10 1597  ax-11 1598  ax-12 1599  ax-13 1600  ax-14 1601  ax-17 1608  ax-9 1620  ax-4 1626  ax-16 1803  ax-ext 2074  ax-rep 3599  ax-sep 3609  ax-nul 3619  ax-pow 3655  ax-pr 3679  ax-un 3947  ax-inf2 6137  ax-resscn 7160  ax-1cn 7161  ax-icn 7162  ax-addcl 7163  ax-addrcl 7164  ax-mulcl 7165  ax-mulrcl 7166  ax-mulcom 7167  ax-addass 7168  ax-mulass 7169  ax-distr 7170  ax-i2m1 7171  ax-1ne0 7172  ax-1rid 7173  ax-rnegex 7174  ax-rrecex 7175  ax-cnre 7176  ax-pre-lttri 7177  ax-pre-lttrn 7178  ax-pre-ltadd 7179  ax-pre-mulgt0 7180
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-or 419  df-an 420  df-3or 1038  df-3an 1039  df-ex 1521  df-sb 1765  df-eu 1992  df-mo 1993  df-clab 2080  df-cleq 2085  df-clel 2088  df-ne 2220  df-nel 2221  df-ral 2314  df-rex 2315  df-reu 2316  df-rab 2317  df-v 2501  df-sbc 2671  df-csb 2745  df-dif 2804  df-un 2806  df-in 2808  df-ss 2810  df-pss 2812  df-nul 3066  df-if 3166  df-pw 3222  df-sn 3237  df-pr 3238  df-tp 3240  df-op 3241  df-uni 3365  df-int 3399  df-iun 3437  df-br 3510  df-opab 3568  df-tr 3583  df-eprel 3762  df-id 3765  df-po 3770  df-so 3782  df-fr 3800  df-we 3816  df-ord 3832  df-on 3833  df-lim 3834  df-suc 3835  df-om 4104  df-xp 4151  df-rel 4152  df-cnv 4153  df-co 4154  df-dm 4155  df-rn 4156  df-res 4157  df-ima 4158  df-fun 4159  df-fn 4160  df-f 4161  df-f1 4162  df-fo 4163  df-f1o 4164  df-fv 4165  df-opr 5069  df-oprab 5070  df-mpt 5202  df-mpt2 5203  df-iota 5374  df-rdg 5460  df-er 5637  df-en 5752  df-dom 5753  df-sdom 5754  df-riota 5896  df-pnf 7219  df-mnf 7220  df-xr 7221  df-ltxr 7222  df-le 7223  df-sub 7347  df-neg 7349  df-div 7564  df-n 7769  df-n0 8005  df-z 8044
Copyright terms: Public domain