HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem prime 8093
Description: Two ways to express "A is a prime number (or 1)."
Assertion
Ref Expression
prime |- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem prime
StepHypRef Expression
1 bi2.04 404 . . . 4 |- ((x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
2 impexp 486 . . . 4 |- (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> (x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)))
3 neor 2282 . . . . 5 |- ((x = 1 \/ x = A) <-> (x =/= 1 -> x = A))
43imbi2i 349 . . . 4 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
51, 2, 43bitr4ri 315 . . 3 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A))
6 nngt1ne1 7773 . . . . . . 7 |- (x e. NN -> (1 < x <-> x =/= 1))
76adantl 506 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (1 < x <-> x =/= 1))
87anbi1d 780 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (x =/= 1 /\ (A / x) e. NN)))
9 nnz 8045 . . . . . . . . 9 |- ((A / x) e. NN -> (A / x) e. ZZ)
10 nnre 7758 . . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> x e. RR)
11 gtndiv 8091 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ A e. NN /\ A < x) -> -. (A / x) e. ZZ)
12113expia 1229 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
1310, 12sylan 512 . . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
1413con2d 114 . . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> -. A < x))
15 nnre 7758 . . . . . . . . . . . 12 |- (A e. NN -> A e. RR)
16 lenlt 7225 . . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (x <_ A <-> -. A < x))
1710, 15, 16syl2an 518 . . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (x <_ A <-> -. A < x))
1814, 17sylibrd 265 . . . . . . . . . 10 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
1918ancoms 492 . . . . . . . . 9 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
209, 19syl5 28 . . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN -> x <_ A))
2120pm4.71rd 684 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN <-> (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2221anbi2d 778 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN))))
23 3anass 1022 . . . . . 6 |- ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2422, 23syl6bbr 299 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
258, 24bitr3d 287 . . . 4 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2625imbi1d 354 . . 3 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
275, 26syl5bb 289 . 2 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
2827ralbidva 2307 1 |- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 203   \/ wo 411   /\ wa 412   /\ w3a 1018   = wceq 1573   e. wcel 1575   =/= wne 2201  A.wral 2293   class class class wbr 3492  (class class class)co 5050  RRcr 7088  1c1 7090   <_ cle 7197   < clt 7201   / cdiv 7313  NNcn 7314  ZZcz 7316
This theorem is referenced by:  infpnlem1 9905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1497  ax-6 1498  ax-7 1499  ax-gen 1500  ax-8 1577  ax-10 1578  ax-11 1579  ax-12 1580  ax-13 1581  ax-14 1582  ax-17 1589  ax-9 1603  ax-4 1609  ax-16 1786  ax-ext 2057  ax-rep 3582  ax-sep 3592  ax-nul 3602  ax-pow 3638  ax-pr 3662  ax-un 3930  ax-inf2 6120  ax-resscn 7143  ax-1cn 7144  ax-icn 7145  ax-addcl 7146  ax-addrcl 7147  ax-mulcl 7148  ax-mulrcl 7149  ax-mulcom 7150  ax-addass 7151  ax-mulass 7152  ax-distr 7153  ax-i2m1 7154  ax-1ne0 7155  ax-1rid 7156  ax-rnegex 7157  ax-rrecex 7158  ax-cnre 7159  ax-pre-lttri 7160  ax-pre-lttrn 7161  ax-pre-ltadd 7162  ax-pre-mulgt0 7163
This theorem depends on definitions:  df-bi 204  df-or 413  df-an 414  df-3or 1019  df-3an 1020  df-ex 1502  df-sb 1748  df-eu 1975  df-mo 1976  df-clab 2063  df-cleq 2068  df-clel 2071  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2297  df-rex 2298  df-reu 2299  df-rab 2300  df-v 2484  df-sbc 2654  df-csb 2728  df-dif 2787  df-un 2789  df-in 2791  df-ss 2793  df-pss 2795  df-nul 3049  df-if 3149  df-pw 3205  df-sn 3220  df-pr 3221  df-tp 3223  df-op 3224  df-uni 3348  df-int 3382  df-iun 3420  df-br 3493  df-opab 3551  df-tr 3566  df-eprel 3745  df-id 3748  df-po 3753  df-so 3765  df-fr 3783  df-we 3799  df-ord 3815  df-on 3816  df-lim 3817  df-suc 3818  df-om 4087  df-xp 4134  df-rel 4135  df-cnv 4136  df-co 4137  df-dm 4138  df-rn 4139  df-res 4140  df-ima 4141  df-fun 4142  df-fn 4143  df-f 4144  df-f1 4145  df-fo 4146  df-f1o 4147  df-fv 4148  df-opr 5052  df-oprab 5053  df-mpt 5185  df-mpt2 5186  df-iota 5357  df-rdg 5443  df-er 5620  df-en 5735  df-dom 5736  df-sdom 5737  df-riota 5879  df-pnf 7202  df-mnf 7203  df-xr 7204  df-ltxr 7205  df-le 7206  df-sub 7330  df-neg 7332  df-div 7547  df-n 7753  df-n0 7989  df-z 8028
Copyright terms: Public domain