HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem prime 7986
Description: Two ways to express "A is a prime number (or 1)." See also isprm 9665.
Assertion
Ref Expression
prime |- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem prime
StepHypRef Expression
1 bi2.04 369 . . . 4 |- ((x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
2 impexp 449 . . . 4 |- (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> (x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)))
3 neor 2151 . . . . 5 |- ((x = 1 \/ x = A) <-> (x =/= 1 -> x = A))
43imbi2i 316 . . . 4 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
51, 2, 43bitr4ri 284 . . 3 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A))
6 nngt1ne1 7728 . . . . . . 7 |- (x e. NN -> (1 < x <-> x =/= 1))
76adantl 469 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (1 < x <-> x =/= 1))
87anbi1d 704 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (x =/= 1 /\ (A / x) e. NN)))
9 nnz 7939 . . . . . . . . 9 |- ((A / x) e. NN -> (A / x) e. ZZ)
10 nnre 7711 . . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> x e. RR)
11 gtndiv 7984 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ A e. NN /\ A < x) -> -. (A / x) e. ZZ)
12113expia 1150 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
1310, 12sylan 474 . . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
1413con2d 104 . . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> -. A < x))
15 nnre 7711 . . . . . . . . . . . 12 |- (A e. NN -> A e. RR)
16 lenlt 7137 . . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (x <_ A <-> -. A < x))
1710, 15, 16syl2an 480 . . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (x <_ A <-> -. A < x))
1814, 17sylibrd 239 . . . . . . . . . 10 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
1918ancoms 455 . . . . . . . . 9 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
209, 19syl5 27 . . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN -> x <_ A))
2120pm4.71rd 631 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN <-> (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2221anbi2d 702 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN))))
23 3anass 941 . . . . . 6 |- ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2422, 23syl6bbr 268 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
258, 24bitr3d 260 . . . 4 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2625imbi1d 321 . . 3 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
275, 26syl5bb 262 . 2 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
2827ralbidva 2176 1 |- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 376   /\ wa 377   /\ w3a 937   = wceq 1449   e. wcel 1451   =/= wne 2071  A.wral 2162   class class class wbr 3373  (class class class)co 4931  RRcr 6999  1c1 7001   <_ cle 7108   < clt 7112   / cdiv 7225  NNcn 7226  ZZcz 7228
This theorem is referenced by:  infpnlem1 9800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1367  ax-6 1368  ax-7 1369  ax-gen 1370  ax-8 1453  ax-10 1454  ax-11 1455  ax-12 1456  ax-13 1457  ax-14 1458  ax-17 1465  ax-9 1480  ax-4 1486  ax-16 1664  ax-ext 1935  ax-rep 3459  ax-sep 3469  ax-nul 3478  ax-pow 3514  ax-pr 3538  ax-un 3808  ax-resscn 7054  ax-1cn 7055  ax-icn 7056  ax-addcl 7057  ax-addrcl 7058  ax-mulcl 7059  ax-mulrcl 7060  ax-mulcom 7061  ax-addass 7062  ax-mulass 7063  ax-distr 7064  ax-i2m1 7065  ax-1ne0 7066  ax-1rid 7067  ax-rnegex 7068  ax-rrecex 7069  ax-cnre 7070  ax-pre-lttri 7071  ax-pre-lttrn 7072  ax-pre-ltadd 7073  ax-pre-mulgt0 7074
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 378  df-an 379  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1345  df-ex 1372  df-sb 1626  df-eu 1853  df-mo 1854  df-clab 1941  df-cleq 1946  df-clel 1949  df-ne 2073  df-nel 2074  df-ral 2166  df-rex 2167  df-reu 2168  df-rab 2169  df-v 2360  df-sbc 2525  df-csb 2600  df-dif 2660  df-un 2662  df-in 2664  df-ss 2666  df-pss 2668  df-nul 2922  df-if 3023  df-pw 3081  df-sn 3096  df-pr 3097  df-tp 3099  df-op 3100  df-uni 3229  df-iun 3301  df-br 3374  df-opab 3428  df-tr 3443  df-eprel 3621  df-id 3624  df-po 3629  df-so 3643  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-lim 3696  df-suc 3697  df-om 3971  df-xp 4018  df-rel 4019  df-cnv 4020  df-co 4021  df-dm 4022  df-rn 4023  df-res 4024  df-ima 4025  df-fun 4026  df-fn 4027  df-f 4028  df-f1 4029  df-fo 4030  df-f1o 4031  df-fv 4032  df-ov 4933  df-oprab 4934  df-mpt 5068  df-mpt2 5069  df-iota 5270  df-rdg 5356  df-er 5530  df-en 5675  df-dom 5676  df-sdom 5677  df-riota 5818  df-pnf 7113  df-mnf 7114  df-xr 7115  df-ltxr 7116  df-le 7117  df-sub 7242  df-neg 7244  df-div 7468  df-n 7706  df-n0 7876  df-z 7920
Copyright terms: Public domain