HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem prime 7979
Description: Two ways to express "A is a prime number (or 1)." See also isprm 9714.
Assertion
Ref Expression
prime |- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem prime
StepHypRef Expression
1 bi2.04 353 . . . 4 |- ((x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
2 impexp 433 . . . 4 |- (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> (x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)))
3 neor 2136 . . . . 5 |- ((x = 1 \/ x = A) <-> (x =/= 1 -> x = A))
43imbi2i 303 . . . 4 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
51, 2, 43bitr4ri 269 . . 3 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A))
6 nngt1ne1 7721 . . . . . . 7 |- (x e. NN -> (1 < x <-> x =/= 1))
76adantl 453 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (1 < x <-> x =/= 1))
87anbi1d 690 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (x =/= 1 /\ (A / x) e. NN)))
9 nnz 7932 . . . . . . . . 9 |- ((A / x) e. NN -> (A / x) e. ZZ)
10 nnre 7704 . . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> x e. RR)
11 gtndiv 7977 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ A e. NN /\ A < x) -> -. (A / x) e. ZZ)
12113expia 1134 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
1310, 12sylan 458 . . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
1413con2d 104 . . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> -. A < x))
15 nnre 7704 . . . . . . . . . . . 12 |- (A e. NN -> A e. RR)
16 lenlt 7129 . . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (x <_ A <-> -. A < x))
1710, 15, 16syl2an 464 . . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (x <_ A <-> -. A < x))
1814, 17sylibrd 224 . . . . . . . . . 10 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
1918ancoms 439 . . . . . . . . 9 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
209, 19syl5 27 . . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN -> x <_ A))
2120pm4.71rd 617 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN <-> (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2221anbi2d 688 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN))))
23 3anass 925 . . . . . 6 |- ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2422, 23syl6bbr 253 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
258, 24bitr3d 245 . . . 4 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
2625imbi1d 308 . . 3 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
275, 26syl5bb 247 . 2 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
2827ralbidva 2161 1 |- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 174   \/ wo 360   /\ wa 361   /\ w3a 921   = wceq 1434   e. wcel 1436   =/= wne 2056  A.wral 2147   class class class wbr 3362  (class class class)co 4922  RRcr 6991  1c1 6993   <_ cle 7100   < clt 7104   / cdiv 7217  NNcn 7218  ZZcz 7220
This theorem is referenced by:  infpnlem1 9849
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1351  ax-6 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-12 1441  ax-13 1442  ax-14 1443  ax-17 1450  ax-9 1465  ax-4 1471  ax-16 1649  ax-ext 1920  ax-rep 3448  ax-sep 3458  ax-nul 3467  ax-pow 3503  ax-pr 3527  ax-un 3799  ax-resscn 7046  ax-1cn 7047  ax-icn 7048  ax-addcl 7049  ax-addrcl 7050  ax-mulcl 7051  ax-mulrcl 7052  ax-mulcom 7053  ax-addass 7054  ax-mulass 7055  ax-distr 7056  ax-i2m1 7057  ax-1ne0 7058  ax-1rid 7059  ax-rnegex 7060  ax-rrecex 7061  ax-cnre 7062  ax-pre-lttri 7063  ax-pre-lttrn 7064  ax-pre-ltadd 7065  ax-pre-mulgt0 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 362  df-an 363  df-3or 922  df-3an 923  df-tru 1329  df-ex 1356  df-sb 1611  df-eu 1838  df-mo 1839  df-clab 1926  df-cleq 1931  df-clel 1934  df-ne 2058  df-nel 2059  df-ral 2151  df-rex 2152  df-reu 2153  df-rab 2154  df-v 2345  df-sbc 2510  df-csb 2585  df-dif 2645  df-un 2647  df-in 2649  df-ss 2651  df-pss 2653  df-nul 2907  df-if 3009  df-pw 3067  df-sn 3084  df-pr 3085  df-tp 3086  df-op 3087  df-uni 3218  df-iun 3290  df-br 3363  df-opab 3417  df-tr 3432  df-eprel 3612  df-id 3615  df-po 3620  df-so 3634  df-fr 3653  df-we 3669  df-ord 3685  df-on 3686  df-lim 3687  df-suc 3688  df-om 3962  df-xp 4009  df-rel 4010  df-cnv 4011  df-co 4012  df-dm 4013  df-rn 4014  df-res 4015  df-ima 4016  df-fun 4017  df-fn 4018  df-f 4019  df-f1 4020  df-fo 4021  df-f1o 4022  df-fv 4023  df-ov 4924  df-oprab 4925  df-mpt 5059  df-mpt2 5060  df-iota 5263  df-rdg 5349  df-er 5523  df-en 5668  df-dom 5669  df-sdom 5670  df-riota 5811  df-pnf 7105  df-mnf 7106  df-xr 7107  df-ltxr 7108  df-le 7109  df-sub 7234  df-neg 7236  df-div 7460  df-n 7699  df-n0 7869  df-z 7913
Copyright terms: Public domain