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Theorem prlem934 8625
Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
prlem934.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
prlem934  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  +Q  B )  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem prlem934
StepHypRef Expression
1 prn0 8581 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  A  =/=  (/) )
2 r19.2z 3518 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  B )  e.  A )  ->  E. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A )
32ex 425 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  (
x  +Q  B )  e.  A  ->  E. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
41, 3syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A  ->  E. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
5 prpssnq 8582 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C.  Q. )
65pssssd 3248 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C_ 
Q. )
76sseld 3154 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( x  +Q  B
)  e.  A  -> 
( x  +Q  B
)  e.  Q. )
)
8 addnqf 8540 . . . . . . . . . 10  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
98fdmi 5332 . . . . . . . . 9  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
10 0nnq 8516 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  Q.
119, 10ndmovrcl 5940 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  +Q  B )  e.  Q.  ->  (
x  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )
)
1211simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +Q  B )  e.  Q.  ->  B  e.  Q. )
137, 12syl6com 33 . . . . . 6  |-  ( ( x  +Q  B )  e.  A  ->  ( A  e.  P.  ->  B  e.  Q. ) )
1413rexlimivw 2638 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A  ->  ( A  e.  P.  ->  B  e.  Q. ) )
1514com12 29 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A  ->  B  e.  Q. )
)
16 oveq2 5800 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
x  +Q  b )  =  ( x  +Q  B ) )
1716eleq1d 2324 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
( x  +Q  b
)  e.  A  <->  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
1817ralbidv 2538 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  <->  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
1918notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  <->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
2019imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  P.  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  <->  ( A  e. 
P.  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) ) )
21 dfpss2 3236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C.  Q.  <->  ( A  C_  Q.  /\  -.  A  =  Q. ) )
225, 21sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  C_  Q.  /\  -.  A  =  Q. )
)
2322simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  -.  A  =  Q. )
2423adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  -.  A  =  Q. )
2563ad2ant1 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  ->  A  C_  Q. )
26 simpl1 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  A  e.  P. )
27 n0 3439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  A )
281, 27sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  P.  ->  E. y 
y  e.  A )
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  E. y  y  e.  A )
30 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  w  e.  Q. )
31 simpl2 964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  b  e.  Q. )
32 recclnq 8558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  Q.  ->  ( *Q `  b )  e. 
Q. )
33 mulclnq 8539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  ( *Q `  b )  e.  Q. )  -> 
( w  .Q  ( *Q `  b ) )  e.  Q. )
34 archnq 8572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .Q  ( *Q
`  b ) )  e.  Q.  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >. )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  ( *Q `  b )  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )
3632, 35sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )
3730, 31, 36syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >. )
38 simpll2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  b  e.  Q. )
39 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  e.  Q. )
40 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )
41 ltmnq 8564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  <-> 
( b  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) )  <Q  ( b  .Q  <. z ,  1o >. ) ) )
42 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  b  e. 
_V
43 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  w  e. 
_V
44 fvex 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( *Q
`  b )  e. 
_V
45 mulcomnq 8545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  .Q  x )  =  ( x  .Q  v
)
46 mulassnq 8551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  .Q  x )  .Q  y )  =  ( v  .Q  (
x  .Q  y ) )
4742, 43, 44, 45, 46caov12 5982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) )  =  ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )
48 mulcomnq 8545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  .Q  <. z ,  1o >. )  =  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )
4947, 48breq12i 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) ) 
<Q  ( b  .Q  <. z ,  1o >. )  <->  ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) ) 
<Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )
5041, 49syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  <-> 
( w  .Q  (
b  .Q  ( *Q
`  b ) ) )  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) ) )
5150adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >.  <->  ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) ) )
52 recidnq 8557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
b  .Q  ( *Q
`  b ) )  =  1Q )
5352oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )  =  ( w  .Q  1Q ) )
54 mulidnq 8555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
5553, 54sylan9eq 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( w  .Q  (
b  .Q  ( *Q
`  b ) ) )  =  w )
5655breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  <->  w  <Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
5751, 56bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >.  <->  w  <Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
5857biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )  ->  w  <Q  (
<. z ,  1o >.  .Q  b ) )
5938, 39, 40, 58syl21anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )
60 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  z  e.  N. )
61 pinq 8519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  N.  ->  <. z ,  1o >.  e.  Q. )
62 mulclnq 8539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
<. z ,  1o >.  e. 
Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  e.  Q. )
6361, 62sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e. 
Q. )
6460, 38, 63syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e.  Q. )
65 simpll1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  A  e.  P. )
66 simplrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  y  e.  A )
67 elprnq 8583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  P.  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  Q. )
6865, 66, 67syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  y  e.  Q. )
69 ltaddnq 8566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e. 
Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  <Q  (
( <. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  y ) )
70 addcomnq 8543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
<. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  y
)  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )
7169, 70syl6breq 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e. 
Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  <Q  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
7264, 68, 71syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  <Q  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
73 ltsonq 8561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <Q  Or  Q.
74 ltrelnq 8518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
7573, 74sotri 5058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  /\  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) ) )  ->  w  <Q  ( y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
7659, 72, 75syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
77 simpll3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)
78 opeq1 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  =  1o  ->  <. w ,  1o >.  =  <. 1o ,  1o >. )
79 df-1nq 8508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1Q  =  <. 1o ,  1o >.
8078, 79syl6eqr 2308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  1o  ->  <. w ,  1o >.  =  1Q )
8180oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  1o  ->  ( <. w ,  1o >.  .Q  b )  =  ( 1Q  .Q  b ) )
8281oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  1o  ->  (
y  +Q  ( <.
w ,  1o >.  .Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b ) ) )
8382eleq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  1o  ->  (
( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b
) )  e.  A
) )
8483imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  1o  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  <->  ( (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  e.  A ) ) )
85 opeq1 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  z  ->  <. w ,  1o >.  =  <. z ,  1o >. )
8685oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  z  ->  ( <. w ,  1o >.  .Q  b )  =  (
<. z ,  1o >.  .Q  b ) )
8786oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  (
y  +Q  ( <.
w ,  1o >.  .Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
8887eleq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  z  ->  (
( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
8988imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  <->  ( (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) ) )
90 opeq1 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  <. w ,  1o >.  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
9190oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  ( <. w ,  1o >.  .Q  b )  =  (
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )
9291oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  (
y  +Q  ( <.
w ,  1o >.  .Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) ) )
9392eleq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  (
( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
9493imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  <->  ( (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
95 mulcomnq 8545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1Q 
.Q  b )  =  ( b  .Q  1Q )
96 mulidnq 8555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
b  .Q  1Q )  =  b )
9795, 96syl5eq 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  b )  =  b )
98 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +Q  b )  =  ( y  +Q  b ) )
9998eleq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  +Q  b
)  e.  A  <->  ( y  +Q  b )  e.  A
) )
10099rcla4cva 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( y  +Q  b
)  e.  A )
101 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 1Q  .Q  b )  =  b  ->  (
y  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  =  ( y  +Q  b ) )
102101eleq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1Q  .Q  b )  =  b  ->  (
( y  +Q  ( 1Q  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  b )  e.  A
) )
103102biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( 1Q  .Q  b
)  =  b  /\  ( y  +Q  b
)  e.  A )  ->  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b
) )  e.  A
)
10497, 100, 103syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b
) )  e.  A
)
1051043impb 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  e.  A )
106 3simpa 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A ) )
107 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  ( x  +Q  b )  =  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b ) )
108107eleq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  ( ( x  +Q  b )  e.  A  <->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )  +Q  b
)  e.  A ) )
109108rcla4cva 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  ->  (
( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b )  e.  A
)
110 addassnq 8550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b )  =  ( y  +Q  ( (
<. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  b
) )
111 opex 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  <. z ,  1o >.  e.  _V
112 1nq 8520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  1Q  e.  Q.
113112elexi 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  1Q  e.  _V
114 distrnq 8553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v  .Q  ( x  +Q  y ) )  =  ( ( v  .Q  x )  +Q  (
v  .Q  y ) )
115111, 113, 42, 45, 114caovdir 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
<. z ,  1o >.  +Q  1Q )  .Q  b
)  =  ( (
<. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  ( 1Q  .Q  b ) )
116115a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  .Q  b )  =  ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) ) )
117 addpqnq 8530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
<. z ,  1o >.  e. 
Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  +Q  1Q )  =  ( /Q `  ( <.
z ,  1o >.  +pQ 
1Q ) ) )
11861, 112, 117sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  =  ( /Q `  ( <.
z ,  1o >.  +pQ 
1Q ) ) )
11979oveq2i 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( <.
z ,  1o >.  +pQ 
1Q )  =  (
<. z ,  1o >.  +pQ 
<. 1o ,  1o >. )
120 1pi 8475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  1o  e.  N.
121 addpipq 8529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ  <. 1o ,  1o >. )  =  <. ( ( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
122120, 120, 121mpanr12 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( <. z ,  1o >.  +pQ  <. 1o ,  1o >. )  =  <. (
( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
123120, 122mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ 
<. 1o ,  1o >. )  =  <. ( ( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
124119, 123syl5eq 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ 
1Q )  =  <. ( ( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
125 mulidpi 8478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o )  =  z )
126 mulidpi 8478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( 1o  e.  N.  ->  ( 1o  .N  1o )  =  1o )
127120, 126mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( z  e.  N.  ->  ( 1o  .N  1o )  =  1o )
128125, 127oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  =  ( z  +N  1o ) )
129128, 127opeq12d 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  e.  N.  ->  <. (
( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>.  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
130124, 129eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ 
1Q )  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
131130fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  N.  ->  ( /Q `  ( <. z ,  1o >.  +pQ  1Q ) )  =  ( /Q
`  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ) )
132 addclpi 8484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( z  +N  1o )  e.  N. )
133120, 132mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  1o )  e.  N. )
134 pinq 8519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( z  +N  1o )  e.  N.  ->  <. (
z  +N  1o ) ,  1o >.  e.  Q. )
135 nqerid 8525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  e.  Q.  ->  ( /Q `  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
136133, 134, 1353syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  N.  ->  ( /Q `  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )  =  <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. )
137118, 131, 1363eqtrd 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
138137adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  = 
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
139138oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  .Q  b )  =  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )
14097adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  b
)  =  b )
141140oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  =  ( ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  b
) )
142116, 139, 1413eqtr3rd 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  +Q  b )  =  ( <. (
z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )
143142oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( y  +Q  (
( <. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) ) )
144110, 143syl5eq 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b )  =  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) ) )
145144eleq1d 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )  +Q  b
)  e.  A  <->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
146109, 145syl5ib 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) )
147146exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
148147expimpd 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A )  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A  ->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
149106, 148syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
150149a2d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  -> 
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) ) )
15184, 89, 94, 89, 105, 150indpi 8499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
152151imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )
15360, 38, 77, 66, 152syl13anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )
154 prcdnq 8585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  ->  (
w  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  w  e.  A
) )
15565, 153, 154syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  (
w  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  w  e.  A
) )
15676, 155mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  e.  A )
157156exp32 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  ( z  e.  N.  ->  ( (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  ->  w  e.  A
) ) )
158157rexlimdv 2641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  ( E. z  e.  N.  (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  ->  w  e.  A
) )
15937, 158mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
160159expr 601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( y  e.  A  ->  w  e.  A ) )
161160exlimdv 1933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( E. y  y  e.  A  ->  w  e.  A ) )
16229, 161mpd 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  w  e.  A )
163162ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  -> 
( w  e.  Q.  ->  w  e.  A ) )
164163ssrdv 3160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  ->  Q.  C_  A )
16525, 164eqssd 3171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  ->  A  =  Q. )
1661653expia 1158 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  ->  A  =  Q. )
)
16724, 166mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)
168167expcom 426 . . . . . 6  |-  ( b  e.  Q.  ->  ( A  e.  P.  ->  -. 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A ) )
16920, 168vtoclga 2824 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( A  e.  P.  ->  -. 
A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
170169com12 29 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  Q.  ->  -. 
A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
1714, 15, 1703syld 53 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
172171pm2.01d 163 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A )
173 rexnal 2529 . 2  |-  ( E. x  e.  A  -.  ( x  +Q  B
)  e.  A  <->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
)
174172, 173sylibr 205 1  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  +Q  B )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    C_ wss 3127    C. wpss 3128   (/)c0 3430   <.cop 3617   class class class wbr 3997    X. cxp 4659   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   1oc1o 6440   N.cnpi 8434    +N cpli 8435    .N cmi 8436    +pQ cplpq 8438   Q.cnq 8442   1Qc1q 8443   /Qcerq 8444    +Q cplq 8445    .Q cmq 8446   *Qcrq 8447    <Q cltq 8448   P.cnp 8449
This theorem is referenced by:  ltaddpr  8626  ltexprlem7  8634  prlem936  8639
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ni 8464  df-pli 8465  df-mi 8466  df-lti 8467  df-plpq 8500  df-mpq 8501  df-ltpq 8502  df-enq 8503  df-nq 8504  df-erq 8505  df-plq 8506  df-mq 8507  df-1nq 8508  df-rq 8509  df-ltnq 8510  df-np 8573
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