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Theorem prlem934 8537
Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
prlem934.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
prlem934  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  +Q  B )  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem prlem934
StepHypRef Expression
1 prn0 8493 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  A  =/=  (/) )
2 r19.2z 3449 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  B )  e.  A )  ->  E. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A )
32ex 425 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  (
x  +Q  B )  e.  A  ->  E. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
41, 3syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A  ->  E. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
5 prpssnq 8494 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C.  Q. )
65pssssd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C_ 
Q. )
76sseld 3102 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( x  +Q  B
)  e.  A  -> 
( x  +Q  B
)  e.  Q. )
)
8 addnqf 8452 . . . . . . . . . 10  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
98fdmi 5251 . . . . . . . . 9  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
10 0nnq 8428 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  Q.
119, 10ndmovrcl 5858 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  +Q  B )  e.  Q.  ->  (
x  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )
)
1211simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +Q  B )  e.  Q.  ->  B  e.  Q. )
137, 12syl6com 33 . . . . . 6  |-  ( ( x  +Q  B )  e.  A  ->  ( A  e.  P.  ->  B  e.  Q. ) )
1413rexlimivw 2625 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A  ->  ( A  e.  P.  ->  B  e.  Q. ) )
1514com12 29 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A  ->  B  e.  Q. )
)
16 oveq2 5718 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
x  +Q  b )  =  ( x  +Q  B ) )
1716eleq1d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
( x  +Q  b
)  e.  A  <->  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
1817ralbidv 2527 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  <->  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
1918notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  <->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
2019imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  P.  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  <->  ( A  e. 
P.  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) ) )
21 dfpss2 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C.  Q.  <->  ( A  C_  Q.  /\  -.  A  =  Q. ) )
225, 21sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  C_  Q.  /\  -.  A  =  Q. )
)
2322simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  -.  A  =  Q. )
2423adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  -.  A  =  Q. )
2563ad2ant1 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  ->  A  C_  Q. )
26 simpl1 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  A  e.  P. )
27 n0 3371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  A )
281, 27sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  P.  ->  E. y 
y  e.  A )
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  E. y  y  e.  A )
30 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  w  e.  Q. )
31 simpl2 964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  b  e.  Q. )
32 recclnq 8470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  Q.  ->  ( *Q `  b )  e. 
Q. )
33 mulclnq 8451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  ( *Q `  b )  e.  Q. )  -> 
( w  .Q  ( *Q `  b ) )  e.  Q. )
34 archnq 8484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .Q  ( *Q
`  b ) )  e.  Q.  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >. )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  ( *Q `  b )  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )
3632, 35sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )
3730, 31, 36syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >. )
38 simpll2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  b  e.  Q. )
39 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  e.  Q. )
40 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )
41 ltmnq 8476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  <-> 
( b  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) )  <Q  ( b  .Q  <. z ,  1o >. ) ) )
42 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  b  e. 
_V
43 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  w  e. 
_V
44 fvex 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( *Q
`  b )  e. 
_V
45 mulcomnq 8457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  .Q  x )  =  ( x  .Q  v
)
46 mulassnq 8463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  .Q  x )  .Q  y )  =  ( v  .Q  (
x  .Q  y ) )
4742, 43, 44, 45, 46caov12 5900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) )  =  ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )
48 mulcomnq 8457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  .Q  <. z ,  1o >. )  =  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )
4947, 48breq12i 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) ) 
<Q  ( b  .Q  <. z ,  1o >. )  <->  ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) ) 
<Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )
5041, 49syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  <-> 
( w  .Q  (
b  .Q  ( *Q
`  b ) ) )  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) ) )
5150adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >.  <->  ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) ) )
52 recidnq 8469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
b  .Q  ( *Q
`  b ) )  =  1Q )
5352oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )  =  ( w  .Q  1Q ) )
54 mulidnq 8467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
5553, 54sylan9eq 2305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( w  .Q  (
b  .Q  ( *Q
`  b ) ) )  =  w )
5655breq1d 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  <->  w  <Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
5751, 56bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >.  <->  w  <Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
5857biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )  ->  w  <Q  (
<. z ,  1o >.  .Q  b ) )
5938, 39, 40, 58syl21anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )
60 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  z  e.  N. )
61 pinq 8431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  N.  ->  <. z ,  1o >.  e.  Q. )
62 mulclnq 8451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
<. z ,  1o >.  e. 
Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  e.  Q. )
6361, 62sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e. 
Q. )
6460, 38, 63syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e.  Q. )
65 simpll1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  A  e.  P. )
66 simplrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  y  e.  A )
67 elprnq 8495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  P.  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  Q. )
6865, 66, 67syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  y  e.  Q. )
69 ltaddnq 8478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e. 
Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  <Q  (
( <. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  y ) )
70 addcomnq 8455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
<. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  y
)  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )
7169, 70syl6breq 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e. 
Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  <Q  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
7264, 68, 71syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  <Q  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
73 ltsonq 8473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <Q  Or  Q.
74 ltrelnq 8430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
7573, 74sotri 4977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  /\  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) ) )  ->  w  <Q  ( y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
7659, 72, 75syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
77 simpll3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)
78 opeq1 3696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  =  1o  ->  <. w ,  1o >.  =  <. 1o ,  1o >. )
79 df-1nq 8420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1Q  =  <. 1o ,  1o >.
8078, 79syl6eqr 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  1o  ->  <. w ,  1o >.  =  1Q )
8180oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  1o  ->  ( <. w ,  1o >.  .Q  b )  =  ( 1Q  .Q  b ) )
8281oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  1o  ->  (
y  +Q  ( <.
w ,  1o >.  .Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b ) ) )
8382eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  1o  ->  (
( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b
) )  e.  A
) )
8483imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  1o  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  <->  ( (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  e.  A ) ) )
85 opeq1 3696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  z  ->  <. w ,  1o >.  =  <. z ,  1o >. )
8685oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  z  ->  ( <. w ,  1o >.  .Q  b )  =  (
<. z ,  1o >.  .Q  b ) )
8786oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  (
y  +Q  ( <.
w ,  1o >.  .Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
8887eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  z  ->  (
( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
8988imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  <->  ( (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) ) )
90 opeq1 3696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  <. w ,  1o >.  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
9190oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  ( <. w ,  1o >.  .Q  b )  =  (
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )
9291oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  (
y  +Q  ( <.
w ,  1o >.  .Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) ) )
9392eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  (
( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
9493imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  <->  ( (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
95 mulcomnq 8457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1Q 
.Q  b )  =  ( b  .Q  1Q )
96 mulidnq 8467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
b  .Q  1Q )  =  b )
9795, 96syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  b )  =  b )
98 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +Q  b )  =  ( y  +Q  b ) )
9998eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  +Q  b
)  e.  A  <->  ( y  +Q  b )  e.  A
) )
10099rcla4cva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( y  +Q  b
)  e.  A )
101 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 1Q  .Q  b )  =  b  ->  (
y  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  =  ( y  +Q  b ) )
102101eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1Q  .Q  b )  =  b  ->  (
( y  +Q  ( 1Q  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  b )  e.  A
) )
103102biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( 1Q  .Q  b
)  =  b  /\  ( y  +Q  b
)  e.  A )  ->  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b
) )  e.  A
)
10497, 100, 103syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b
) )  e.  A
)
1051043impb 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  e.  A )
106 3simpa 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A ) )
107 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  ( x  +Q  b )  =  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b ) )
108107eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  ( ( x  +Q  b )  e.  A  <->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )  +Q  b
)  e.  A ) )
109108rcla4cva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  ->  (
( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b )  e.  A
)
110 addassnq 8462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b )  =  ( y  +Q  ( (
<. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  b
) )
111 opex 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  <. z ,  1o >.  e.  _V
112 1nq 8432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  1Q  e.  Q.
113112elexi 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  1Q  e.  _V
114 distrnq 8465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v  .Q  ( x  +Q  y ) )  =  ( ( v  .Q  x )  +Q  (
v  .Q  y ) )
115111, 113, 42, 45, 114caovdir 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
<. z ,  1o >.  +Q  1Q )  .Q  b
)  =  ( (
<. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  ( 1Q  .Q  b ) )
116115a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  .Q  b )  =  ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) ) )
117 addpqnq 8442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
<. z ,  1o >.  e. 
Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  +Q  1Q )  =  ( /Q `  ( <.
z ,  1o >.  +pQ 
1Q ) ) )
11861, 112, 117sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  =  ( /Q `  ( <.
z ,  1o >.  +pQ 
1Q ) ) )
11979oveq2i 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( <.
z ,  1o >.  +pQ 
1Q )  =  (
<. z ,  1o >.  +pQ 
<. 1o ,  1o >. )
120 1pi 8387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  1o  e.  N.
121 addpipq 8441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ  <. 1o ,  1o >. )  =  <. ( ( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
122120, 120, 121mpanr12 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( <. z ,  1o >.  +pQ  <. 1o ,  1o >. )  =  <. (
( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
123120, 122mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ 
<. 1o ,  1o >. )  =  <. ( ( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
124119, 123syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ 
1Q )  =  <. ( ( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
125 mulidpi 8390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o )  =  z )
126 mulidpi 8390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( 1o  e.  N.  ->  ( 1o  .N  1o )  =  1o )
127120, 126mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( z  e.  N.  ->  ( 1o  .N  1o )  =  1o )
128125, 127oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  =  ( z  +N  1o ) )
129128, 127opeq12d 3704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  e.  N.  ->  <. (
( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>.  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
130124, 129eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ 
1Q )  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
131130fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  N.  ->  ( /Q `  ( <. z ,  1o >.  +pQ  1Q ) )  =  ( /Q
`  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ) )
132 addclpi 8396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( z  +N  1o )  e.  N. )
133120, 132mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  1o )  e.  N. )
134 pinq 8431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( z  +N  1o )  e.  N.  ->  <. (
z  +N  1o ) ,  1o >.  e.  Q. )
135 nqerid 8437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  e.  Q.  ->  ( /Q `  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
136133, 134, 1353syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  N.  ->  ( /Q `  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )  =  <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. )
137118, 131, 1363eqtrd 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
138137adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  = 
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
139138oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  .Q  b )  =  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )
14097adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  b
)  =  b )
141140oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  =  ( ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  b
) )
142116, 139, 1413eqtr3rd 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  +Q  b )  =  ( <. (
z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )
143142oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( y  +Q  (
( <. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) ) )
144110, 143syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b )  =  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) ) )
145144eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )  +Q  b
)  e.  A  <->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
146109, 145syl5ib 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) )
147146exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
148147expimpd 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A )  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A  ->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
149106, 148syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
150149a2d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  -> 
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) ) )
15184, 89, 94, 89, 105, 150indpi 8411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
152151imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )
15360, 38, 77, 66, 152syl13anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )
154 prcdnq 8497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  ->  (
w  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  w  e.  A
) )
15565, 153, 154syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  (
w  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  w  e.  A
) )
15676, 155mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  e.  A )
157156exp32 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  ( z  e.  N.  ->  ( (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  ->  w  e.  A
) ) )
158157rexlimdv 2628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  ( E. z  e.  N.  (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  ->  w  e.  A
) )
15937, 158mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
160159expr 601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( y  e.  A  ->  w  e.  A ) )
161160exlimdv 1932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( E. y  y  e.  A  ->  w  e.  A ) )
16229, 161mpd 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  w  e.  A )
163162ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  -> 
( w  e.  Q.  ->  w  e.  A ) )
164163ssrdv 3106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  ->  Q.  C_  A )
16525, 164eqssd 3117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  ->  A  =  Q. )
1661653expia 1158 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  ->  A  =  Q. )
)
16724, 166mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)
168167expcom 426 . . . . . 6  |-  ( b  e.  Q.  ->  ( A  e.  P.  ->  -. 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A ) )
16920, 168vtoclga 2787 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( A  e.  P.  ->  -. 
A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
170169com12 29 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  Q.  ->  -. 
A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
1714, 15, 1703syld 53 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
172171pm2.01d 163 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A )
173 rexnal 2518 . 2  |-  ( E. x  e.  A  -.  ( x  +Q  B
)  e.  A  <->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
)
174172, 173sylibr 205 1  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  +Q  B )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    C_ wss 3078    C. wpss 3079   (/)c0 3362   <.cop 3547   class class class wbr 3920    X. cxp 4578   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   1oc1o 6358   N.cnpi 8346    +N cpli 8347    .N cmi 8348    +pQ cplpq 8350   Q.cnq 8354   1Qc1q 8355   /Qcerq 8356    +Q cplq 8357    .Q cmq 8358   *Qcrq 8359    <Q cltq 8360   P.cnp 8361
This theorem is referenced by:  ltaddpr  8538  ltexprlem7  8546  prlem936  8551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421  df-ltnq 8422  df-np 8485
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