MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prlem934 Unicode version

Theorem prlem934 8659
Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
prlem934.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
prlem934  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  +Q  B )  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem prlem934
Dummy variables  b  w  y  z  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 8615 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  A  =/=  (/) )
2 r19.2z 3545 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  B )  e.  A )  ->  E. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A )
32ex 423 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  (
x  +Q  B )  e.  A  ->  E. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
41, 3syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A  ->  E. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
5 prpssnq 8616 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C.  Q. )
65pssssd 3275 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C_ 
Q. )
76sseld 3181 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( x  +Q  B
)  e.  A  -> 
( x  +Q  B
)  e.  Q. )
)
8 addnqf 8574 . . . . . . . . . 10  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
98fdmi 5396 . . . . . . . . 9  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
10 0nnq 8550 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  Q.
119, 10ndmovrcl 6008 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  +Q  B )  e.  Q.  ->  (
x  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )
)
1211simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +Q  B )  e.  Q.  ->  B  e.  Q. )
137, 12syl6com 31 . . . . . 6  |-  ( ( x  +Q  B )  e.  A  ->  ( A  e.  P.  ->  B  e.  Q. ) )
1413rexlimivw 2665 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A  ->  ( A  e.  P.  ->  B  e.  Q. ) )
1514com12 27 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A  ->  B  e.  Q. )
)
16 oveq2 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
x  +Q  b )  =  ( x  +Q  B ) )
1716eleq1d 2351 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
( x  +Q  b
)  e.  A  <->  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
1817ralbidv 2565 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  <->  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
1918notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  <->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) )
2019imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  P.  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  <->  ( A  e. 
P.  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
) ) )
21 dfpss2 3263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C.  Q.  <->  ( A  C_  Q.  /\  -.  A  =  Q. ) )
225, 21sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  C_  Q.  /\  -.  A  =  Q. )
)
2322simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  -.  A  =  Q. )
2423adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  -.  A  =  Q. )
2563ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  ->  A  C_  Q. )
26 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  A  e.  P. )
27 n0 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  A )
281, 27sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  P.  ->  E. y 
y  e.  A )
2926, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  E. y  y  e.  A )
30 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  w  e.  Q. )
31 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  b  e.  Q. )
32 recclnq 8592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  Q.  ->  ( *Q `  b )  e. 
Q. )
33 mulclnq 8573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  ( *Q `  b )  e.  Q. )  -> 
( w  .Q  ( *Q `  b ) )  e.  Q. )
34 archnq 8606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .Q  ( *Q
`  b ) )  e.  Q.  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >. )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  ( *Q `  b )  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )
3632, 35sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )
3730, 31, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  E. z  e.  N.  ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >. )
38 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  b  e.  Q. )
39 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  e.  Q. )
40 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )
41 ltmnq 8598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  <-> 
( b  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) )  <Q  ( b  .Q  <. z ,  1o >. ) ) )
42 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  b  e. 
_V
43 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  w  e. 
_V
44 fvex 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( *Q
`  b )  e. 
_V
45 mulcomnq 8579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  .Q  x )  =  ( x  .Q  v
)
46 mulassnq 8585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  .Q  x )  .Q  y )  =  ( v  .Q  (
x  .Q  y ) )
4742, 43, 44, 45, 46caov12 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) )  =  ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )
48 mulcomnq 8579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  .Q  <. z ,  1o >. )  =  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )
4947, 48breq12i 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) ) 
<Q  ( b  .Q  <. z ,  1o >. )  <->  ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) ) 
<Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )
5041, 49syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  <-> 
( w  .Q  (
b  .Q  ( *Q
`  b ) ) )  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) ) )
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >.  <->  ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) ) )
52 recidnq 8591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
b  .Q  ( *Q
`  b ) )  =  1Q )
5352oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )  =  ( w  .Q  1Q ) )
54 mulidnq 8589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
5553, 54sylan9eq 2337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( w  .Q  (
b  .Q  ( *Q
`  b ) ) )  =  w )
5655breq1d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( w  .Q  ( b  .Q  ( *Q `  b ) ) )  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  <->  w  <Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
5751, 56bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( w  .Q  ( *Q `  b ) )  <Q  <. z ,  1o >.  <->  w  <Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
5857biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. )  ->  w  <Q  (
<. z ,  1o >.  .Q  b ) )
5938, 39, 40, 58syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )
60 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  z  e.  N. )
61 pinq 8553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  N.  ->  <. z ,  1o >.  e.  Q. )
62 mulclnq 8573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
<. z ,  1o >.  e. 
Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  e.  Q. )
6361, 62sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e. 
Q. )
6460, 38, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e.  Q. )
65 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  A  e.  P. )
66 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  y  e.  A )
67 elprnq 8617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  P.  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  Q. )
6865, 66, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  y  e.  Q. )
69 ltaddnq 8600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e. 
Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  <Q  (
( <. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  y ) )
70 addcomnq 8577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
<. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  y
)  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )
7169, 70syl6breq 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  e. 
Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  <Q  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
7264, 68, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  ( <. z ,  1o >.  .Q  b )  <Q  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
73 ltsonq 8595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <Q  Or  Q.
74 ltrelnq 8552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
7573, 74sotri 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  <Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  /\  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) ) )  ->  w  <Q  ( y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
7659, 72, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
77 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)
78 opeq1 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  =  1o  ->  <. w ,  1o >.  =  <. 1o ,  1o >. )
79 df-1nq 8542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1Q  =  <. 1o ,  1o >.
8078, 79syl6eqr 2335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  1o  ->  <. w ,  1o >.  =  1Q )
8180oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  1o  ->  ( <. w ,  1o >.  .Q  b )  =  ( 1Q  .Q  b ) )
8281oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  1o  ->  (
y  +Q  ( <.
w ,  1o >.  .Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b ) ) )
8382eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  1o  ->  (
( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b
) )  e.  A
) )
8483imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  1o  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  <->  ( (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  e.  A ) ) )
85 opeq1 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  z  ->  <. w ,  1o >.  =  <. z ,  1o >. )
8685oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  z  ->  ( <. w ,  1o >.  .Q  b )  =  (
<. z ,  1o >.  .Q  b ) )
8786oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  (
y  +Q  ( <.
w ,  1o >.  .Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) ) )
8887eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  z  ->  (
( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
8988imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  <->  ( (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) ) )
90 opeq1 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  <. w ,  1o >.  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
9190oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  ( <. w ,  1o >.  .Q  b )  =  (
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )
9291oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  (
y  +Q  ( <.
w ,  1o >.  .Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) ) )
9392eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  (
( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
9493imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( z  +N  1o )  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. w ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  <->  ( (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
95 mulcomnq 8579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1Q 
.Q  b )  =  ( b  .Q  1Q )
96 mulidnq 8589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  Q.  ->  (
b  .Q  1Q )  =  b )
9795, 96syl5eq 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  b )  =  b )
98 oveq1 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +Q  b )  =  ( y  +Q  b ) )
9998eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  +Q  b
)  e.  A  <->  ( y  +Q  b )  e.  A
) )
10099rspccva 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( y  +Q  b
)  e.  A )
101 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 1Q  .Q  b )  =  b  ->  (
y  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  =  ( y  +Q  b ) )
102101eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1Q  .Q  b )  =  b  ->  (
( y  +Q  ( 1Q  .Q  b ) )  e.  A  <->  ( y  +Q  b )  e.  A
) )
103102biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( 1Q  .Q  b
)  =  b  /\  ( y  +Q  b
)  e.  A )  ->  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b
) )  e.  A
)
10497, 100, 103syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( y  +Q  ( 1Q  .Q  b
) )  e.  A
)
1051043impb 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  e.  A )
106 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A ) )
107 oveq1 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  ( x  +Q  b )  =  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b ) )
108107eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  ( ( x  +Q  b )  e.  A  <->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )  +Q  b
)  e.  A ) )
109108rspccva 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  ->  (
( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b )  e.  A
)
110 addassnq 8584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b )  =  ( y  +Q  ( (
<. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  b
) )
111 opex 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  <. z ,  1o >.  e.  _V
112 1nq 8554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  1Q  e.  Q.
113112elexi 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  1Q  e.  _V
114 distrnq 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v  .Q  ( x  +Q  y ) )  =  ( ( v  .Q  x )  +Q  (
v  .Q  y ) )
115111, 113, 42, 45, 114caovdir 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
<. z ,  1o >.  +Q  1Q )  .Q  b
)  =  ( (
<. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  ( 1Q  .Q  b ) )
116115a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  .Q  b )  =  ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) ) )
117 addpqnq 8564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
<. z ,  1o >.  e. 
Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  ( <.
z ,  1o >.  +Q  1Q )  =  ( /Q `  ( <.
z ,  1o >.  +pQ 
1Q ) ) )
11861, 112, 117sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  =  ( /Q `  ( <.
z ,  1o >.  +pQ 
1Q ) ) )
11979oveq2i 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( <.
z ,  1o >.  +pQ 
1Q )  =  (
<. z ,  1o >.  +pQ 
<. 1o ,  1o >. )
120 1pi 8509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  1o  e.  N.
121 addpipq 8563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ  <. 1o ,  1o >. )  =  <. ( ( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
122120, 120, 121mpanr12 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( <. z ,  1o >.  +pQ  <. 1o ,  1o >. )  =  <. (
( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
123120, 122mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ 
<. 1o ,  1o >. )  =  <. ( ( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
124119, 123syl5eq 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ 
1Q )  =  <. ( ( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. )
125 mulidpi 8512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o )  =  z )
126 mulidpi 8512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( 1o  e.  N.  ->  ( 1o  .N  1o )  =  1o )
127120, 126mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( z  e.  N.  ->  ( 1o  .N  1o )  =  1o )
128125, 127oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  =  ( z  +N  1o ) )
129128, 127opeq12d 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  e.  N.  ->  <. (
( z  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>.  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
130124, 129eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +pQ 
1Q )  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
131130fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  N.  ->  ( /Q `  ( <. z ,  1o >.  +pQ  1Q ) )  =  ( /Q
`  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. ) )
132 addclpi 8518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( z  +N  1o )  e.  N. )
133120, 132mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  1o )  e.  N. )
134 pinq 8553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( z  +N  1o )  e.  N.  ->  <. (
z  +N  1o ) ,  1o >.  e.  Q. )
135 nqerid 8559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  e.  Q.  ->  ( /Q `  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
136133, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  N.  ->  ( /Q `  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )  =  <. (
z  +N  1o ) ,  1o >. )
137118, 131, 1363eqtrd 2321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( z  e.  N.  ->  ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  =  <. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
138137adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  = 
<. ( z  +N  1o ) ,  1o >. )
139138oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  +Q  1Q )  .Q  b )  =  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )
14097adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  b
)  =  b )
141140oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  +Q  ( 1Q 
.Q  b ) )  =  ( ( <.
z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  b
) )
142116, 139, 1413eqtr3rd 2326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( <. z ,  1o >.  .Q  b
)  +Q  b )  =  ( <. (
z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )
143142oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( y  +Q  (
( <. z ,  1o >.  .Q  b )  +Q  b ) )  =  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) ) )
144110, 143syl5eq 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  +Q  b )  =  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) ) )
145144eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )  +Q  b
)  e.  A  <->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
146109, 145syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) )
147146exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  N.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
148147expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A )  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A  ->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
149106, 148syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A  ->  (
y  +Q  ( <.
( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b
) )  e.  A
) ) )
150149a2d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  -> 
( ( b  e. 
Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  +Q  ( <. ( z  +N  1o ) ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) ) )
15184, 89, 94, 89, 105, 150indpi 8533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A ) )
152151imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( b  e.  Q.  /\ 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )
15360, 38, 77, 66, 152syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  (
y  +Q  ( <.
z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )
154 prcdnq 8619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  e.  A )  ->  (
w  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  w  e.  A
) )
15565, 153, 154syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  (
w  <Q  ( y  +Q  ( <. z ,  1o >.  .Q  b ) )  ->  w  e.  A
) )
15676, 155mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  /\  ( z  e.  N.  /\  ( w  .Q  ( *Q `  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >. ) )  ->  w  e.  A )
157156exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  ( z  e.  N.  ->  ( (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  ->  w  e.  A
) ) )
158157rexlimdv 2668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  ( E. z  e.  N.  (
w  .Q  ( *Q
`  b ) ) 
<Q  <. z ,  1o >.  ->  w  e.  A
) )
15937, 158mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  ( w  e.  Q.  /\  y  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
160159expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( y  e.  A  ->  w  e.  A ) )
161160exlimdv 1666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( E. y  y  e.  A  ->  w  e.  A ) )
16229, 161mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  w  e.  A )
163162ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  -> 
( w  e.  Q.  ->  w  e.  A ) )
164163ssrdv 3187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  ->  Q.  C_  A )
16525, 164eqssd 3198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q.  /\  A. x  e.  A  (
x  +Q  b )  e.  A )  ->  A  =  Q. )
1661653expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A  ->  A  =  Q. )
)
16724, 166mtod 168 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  b  e.  Q. )  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  b )  e.  A
)
168167expcom 424 . . . . . 6  |-  ( b  e.  Q.  ->  ( A  e.  P.  ->  -. 
A. x  e.  A  ( x  +Q  b
)  e.  A ) )
16920, 168vtoclga 2851 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( A  e.  P.  ->  -. 
A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
170169com12 27 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  Q.  ->  -. 
A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
1714, 15, 1703syld 51 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B
)  e.  A ) )
172171pm2.01d 161 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A )
173 rexnal 2556 . 2  |-  ( E. x  e.  A  -.  ( x  +Q  B
)  e.  A  <->  -.  A. x  e.  A  ( x  +Q  B )  e.  A
)
174172, 173sylibr 203 1  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  +Q  B )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1530    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    C_ wss 3154    C. wpss 3155   (/)c0 3457   <.cop 3645   class class class wbr 4025    X. cxp 4689   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   1oc1o 6474   N.cnpi 8468    +N cpli 8469    .N cmi 8470    +pQ cplpq 8472   Q.cnq 8476   1Qc1q 8477   /Qcerq 8478    +Q cplq 8479    .Q cmq 8480   *Qcrq 8481    <Q cltq 8482   P.cnp 8483
This theorem is referenced by:  ltaddpr  8660  ltexprlem7  8668  prlem936  8673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-ni 8498  df-pli 8499  df-mi 8500  df-lti 8501  df-plpq 8534  df-mpq 8535  df-ltpq 8536  df-enq 8537  df-nq 8538  df-erq 8539  df-plq 8540  df-mq 8541  df-1nq 8542  df-rq 8543  df-ltnq 8544  df-np 8607
  Copyright terms: Public domain W3C validator