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Theorem prlem936 8625
Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prlem936  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  B
)  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem prlem936
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 8504 . . . . 5  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
21brel 4711 . . . 4  |-  ( 1Q 
<Q  B  ->  ( 1Q  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
32simprd 451 . . 3  |-  ( 1Q 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
43adantl 454 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B )  ->  B  e.  Q. )
5 breq2 3987 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( 1Q  <Q  b  <->  1Q  <Q  B ) )
65anbi2d 687 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  <->  ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B ) ) )
7 oveq2 5786 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
x  .Q  b )  =  ( x  .Q  B ) )
87eleq1d 2322 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( x  .Q  b
)  e.  A  <->  ( x  .Q  B )  e.  A
) )
98notbid 287 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( -.  ( x  .Q  b
)  e.  A  <->  -.  (
x  .Q  B )  e.  A ) )
109rexbidv 2537 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  ( E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A  <->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  B )  e.  A ) )
116, 10imbi12d 313 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A )  <->  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  B )  e.  A ) ) )
12 prn0 8567 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  A  =/=  (/) )
13 n0 3425 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  A )
1412, 13sylib 190 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  E. y 
y  e.  A )
1514adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  ->  E. y  y  e.  A )
16 elprnq 8569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  Q. )
1716ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  y  e.  Q. )
18 mulidnq 8541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  1Q )  =  y )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( y  .Q  1Q )  =  y )
20 simplr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  1Q  <Q  b )
21 ltmnq 8550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( 1Q  <Q  b  <->  ( y  .Q  1Q )  <Q  (
y  .Q  b ) ) )
2221biimpa 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  1Q  <Q  b )  -> 
( y  .Q  1Q )  <Q  ( y  .Q  b ) )
2317, 20, 22syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( y  .Q  1Q )  <Q  (
y  .Q  b ) )
2419, 23eqbrtrrd 4005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  y  <Q  ( y  .Q  b ) )
251brel 4711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1Q 
<Q  b  ->  ( 1Q  e.  Q.  /\  b  e.  Q. ) )
2625simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1Q 
<Q  b  ->  b  e. 
Q. )
2726ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  b  e.  Q. )
28 mulclnq 8525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  b
)  e.  Q. )
2917, 27, 28syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( y  .Q  b )  e.  Q. )
30 ltexnq 8553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  .Q  b )  e.  Q.  ->  (
y  <Q  ( y  .Q  b )  <->  E. z
( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) ) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( y  <Q  ( y  .Q  b
)  <->  E. z ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) ) )
3224, 31mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) )
33 simplll 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  A  e.  P. )
34 vex 2760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
3534prlem934 8611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  +Q  z )  e.  A )
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  +Q  z )  e.  A )
3733adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  P. )
38 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( y  .Q  b )  e.  A
)
39 eleq1 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b )  ->  (
( y  +Q  z
)  e.  A  <->  ( y  .Q  b )  e.  A
) )
4039biimparc 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  .Q  b
)  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) )  ->  ( y  +Q  z )  e.  A
)
4138, 40sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  ( y  +Q  z )  e.  A
)
4241adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  +Q  z )  e.  A )
43 elprnq 8569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
4433, 43sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
45 elprnq 8569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( y  +Q  z
)  e.  A )  ->  ( y  +Q  z )  e.  Q. )
46 addnqf 8526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
4746fdmi 5318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
48 0nnq 8502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -.  (/)  e.  Q.
4947, 48ndmovrcl 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  +Q  z )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)
5049simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  z )  e.  Q.  ->  z  e.  Q. )
5145, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( y  +Q  z
)  e.  A )  ->  z  e.  Q. )
5233, 41, 51syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  z  e.  Q. )
5352adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  Q. )
54 addclnq 8523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( x  +Q  z
)  e.  Q. )
5544, 53, 54syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  +Q  z )  e.  Q. )
56 prub 8572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  ( y  +Q  z
)  e.  A )  /\  ( x  +Q  z )  e.  Q. )  ->  ( -.  (
x  +Q  z )  e.  A  ->  (
y  +Q  z ) 
<Q  ( x  +Q  z
) ) )
5737, 42, 55, 56syl21anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  -> 
( y  +Q  z
)  <Q  ( x  +Q  z ) ) )
5827ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  b  e.  Q. )
59 mulclnq 8525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  b
)  e.  Q. )
6044, 58, 59syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  .Q  b )  e.  Q. )
6117ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  Q. )
62 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )
63 recclnq 8544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( *Q `  y )  e. 
Q. )
64 mulclnq 8525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  ( *Q `  y )  e.  Q. )  -> 
( z  .Q  ( *Q `  y ) )  e.  Q. )
6563, 64sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  e.  Q. )
6665ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  e.  Q. )
67 ltmnq 8550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  e.  Q.  ->  (
y  <Q  x  <->  ( (
z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  y )  <Q 
( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
) ) )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  <Q  x  <->  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  y )  <Q 
( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
) ) )
69 mulassnq 8537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  y )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  y
)  .Q  y ) )
70 mulcomnq 8531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( *Q `  y )  .Q  y )  =  ( y  .Q  ( *Q `  y ) )
7170oveq2i 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  .Q  ( ( *Q
`  y )  .Q  y ) )  =  ( z  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
7269, 71eqtri 2276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  y )  =  ( z  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
73 recidnq 8543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) )  =  1Q )
7473oveq2d 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( z  .Q  1Q ) )
75 mulidnq 8541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
z  .Q  1Q )  =  z )
7674, 75sylan9eq 2308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( z  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  z )
7772, 76syl5eq 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  y
)  =  z )
7877breq1d 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  y )  <Q  (
( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <->  z  <Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x ) ) )
7968, 78bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  <Q  x  <->  z 
<Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
) ) )
8079adantll 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  <Q  x 
<->  z  <Q  ( (
z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x ) ) )
81 mulnqf 8527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
8281fdmi 5318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  dom  .Q  =  ( Q.  X.  Q. )
8382, 48ndmovrcl 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  ->  (
x  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )
)
8483simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  ->  x  e.  Q. )
85 ltanq 8549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
z  <Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x ) ) ) )
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  ->  (
z  <Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x ) ) ) )
8786adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( z  <Q  (
( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x ) ) ) )
88 vex 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  y  e. 
_V
89 ovex 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  .Q  ( *Q `  y ) )  e. 
_V
90 mulcomnq 8531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  .Q  w )  =  ( w  .Q  u
)
91 distrnq 8539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  .Q  ( w  +Q  v ) )  =  ( ( u  .Q  w )  +Q  (
u  .Q  v ) )
9288, 34, 89, 90, 91caovdir 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  +Q  z )  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( y  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  +Q  ( z  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) )
93 vex 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  x  e. 
_V
94 fvex 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( *Q
`  y )  e. 
_V
95 mulassnq 8537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( u  .Q  w )  .Q  v )  =  ( u  .Q  (
w  .Q  v ) )
9688, 93, 94, 90, 95caov12 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( x  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )
9773oveq2d 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
98 mulidnq 8541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  1Q )  =  x )
9984, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  ->  (
x  .Q  1Q )  =  x )
10097, 99sylan9eqr 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  x )
10196, 100syl5eq 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  x )
102 mulcomnq 8531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  .Q  ( *Q `  y ) )  =  ( ( *Q `  y )  .Q  x
)
103102oveq2i 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  y )  .Q  x ) )
104 mulassnq 8537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  y
)  .Q  x ) )
105103, 104eqtr4i 2279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )
106105a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( z  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x ) )
107101, 106oveq12d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( y  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  +Q  ( z  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) )  =  ( x  +Q  (
( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x ) ) )
10892, 107syl5eq 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( y  +Q  z )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  ( x  +Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x ) ) )
109108breq2d 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( x  +Q  z )  <Q  (
( y  +Q  z
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  <-> 
( x  +Q  z
)  <Q  ( x  +Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
) ) ) )
11087, 109bitr4d 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( z  <Q  (
( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
( y  +Q  z
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) ) )
111110adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  z  e.  Q. )  ->  ( z  <Q 
( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
)  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
( y  +Q  z
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) ) )
11280, 111bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  <Q  x 
<->  ( x  +Q  z
)  <Q  ( ( y  +Q  z )  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) ) )
113112adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( z  e.  Q.  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) ) )  ->  ( y  <Q  x  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
( y  +Q  z
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) ) )
114 ltanq 8549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
y  <Q  x  <->  ( z  +Q  y )  <Q  (
z  +Q  x ) ) )
115 addcomnq 8529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  +Q  y )  =  ( y  +Q  z
)
116 addcomnq 8529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  +Q  x )  =  ( x  +Q  z
)
117115, 116breq12i 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  +Q  y ) 
<Q  ( z  +Q  x
)  <->  ( y  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  z ) )
118114, 117syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
y  <Q  x  <->  ( y  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  z ) ) )
119118ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( z  e.  Q.  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) ) )  ->  ( y  <Q  x  <->  ( y  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  z ) ) )
120 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b )  ->  (
( y  +Q  z
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( y  .Q  b )  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) )
121 vex 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  b  e. 
_V
12288, 121, 93, 90, 95, 94caov411 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  .Q  b )  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( x  .Q  b
)  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )
12373oveq2d 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  b
)  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( x  .Q  b )  .Q  1Q ) )
124 mulidnq 8541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  b
)  .Q  1Q )  =  ( x  .Q  b ) )
125123, 124sylan9eqr 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( x  .Q  b )  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  ( x  .Q  b ) )
126122, 125syl5eq 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( y  .Q  b )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  ( x  .Q  b ) )
127120, 126sylan9eqr 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) )  ->  ( ( y  +Q  z )  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( x  .Q  b ) )
128127breq2d 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) )  ->  ( ( x  +Q  z )  <Q 
( ( y  +Q  z )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b ) ) )
129128adantrl 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( z  e.  Q.  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) ) )  ->  ( (
x  +Q  z ) 
<Q  ( ( y  +Q  z )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b ) ) )
130113, 119, 1293bitr3d 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( z  e.  Q.  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) ) )  ->  ( (
y  +Q  z ) 
<Q  ( x  +Q  z
)  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b ) ) )
13160, 61, 53, 62, 130syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  +Q  z
)  <Q  ( x  +Q  z )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b ) ) )
13257, 131sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  -> 
( x  +Q  z
)  <Q  ( x  .Q  b ) ) )
133 prcdnq 8571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( x  .Q  b
)  e.  A )  ->  ( ( x  +Q  z )  <Q 
( x  .Q  b
)  ->  ( x  +Q  z )  e.  A
) )
134133impancom 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( x  +Q  z
)  <Q  ( x  .Q  b ) )  -> 
( ( x  .Q  b )  e.  A  ->  ( x  +Q  z
)  e.  A ) )
135134con3d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( x  +Q  z
)  <Q  ( x  .Q  b ) )  -> 
( -.  ( x  +Q  z )  e.  A  ->  -.  (
x  .Q  b )  e.  A ) )
136135ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( x  +Q  z
)  <Q  ( x  .Q  b )  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  ->  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) ) )
137136com23 74 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  P.  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  -> 
( ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b )  ->  -.  ( x  .Q  b )  e.  A
) ) )
13837, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  -> 
( ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b )  ->  -.  ( x  .Q  b )  e.  A
) ) )
139132, 138mpdd 38 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  ->  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
140139reximdva 2628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  ( E. x  e.  A  -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
14136, 140mpd 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A )
142141ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( (
y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A ) )
143142exlimdv 1933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( E. z ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
14432, 143mpd 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A )
145144expr 601 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
y  .Q  b )  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A ) )
146 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .Q  b )  =  ( y  .Q  b ) )
147146eleq1d 2322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .Q  b
)  e.  A  <->  ( y  .Q  b )  e.  A
) )
148147notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  ( x  .Q  b
)  e.  A  <->  -.  (
y  .Q  b )  e.  A ) )
149148rcla4ev 2852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  -.  ( y  .Q  b
)  e.  A )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A )
150149ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( -.  ( y  .Q  b
)  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
151150adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  ( y  .Q  b
)  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
152145, 151pm2.61d 152 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  y  e.  A
)  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A )
153152ex 425 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  -> 
( y  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
154153exlimdv 1933 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  -> 
( E. y  y  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A ) )
15515, 154mpd 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A )
15611, 155vtoclg 2811 . 2  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  B
)  e.  A ) )
1574, 156mpcom 34 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  B
)  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   E.wrex 2517   (/)c0 3416   class class class wbr 3983    X. cxp 4645   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   Q.cnq 8428   1Qc1q 8429    +Q cplq 8431    .Q cmq 8432   *Qcrq 8433    <Q cltq 8434   P.cnp 8435
This theorem is referenced by:  reclem3pr  8627
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-ni 8450  df-pli 8451  df-mi 8452  df-lti 8453  df-plpq 8486  df-mpq 8487  df-ltpq 8488  df-enq 8489  df-nq 8490  df-erq 8491  df-plq 8492  df-mq 8493  df-1nq 8494  df-rq 8495  df-ltnq 8496  df-np 8559
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