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Theorem prlem936 8671
Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prlem936  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  B
)  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem prlem936
Dummy variables  y 
z  b  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 8550 . . . . 5  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
21brel 4737 . . . 4  |-  ( 1Q 
<Q  B  ->  ( 1Q  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
32simprd 449 . . 3  |-  ( 1Q 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
43adantl 452 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B )  ->  B  e.  Q. )
5 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( 1Q  <Q  b  <->  1Q  <Q  B ) )
65anbi2d 684 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  <->  ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B ) ) )
7 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
x  .Q  b )  =  ( x  .Q  B ) )
87eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( x  .Q  b
)  e.  A  <->  ( x  .Q  B )  e.  A
) )
98notbid 285 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( -.  ( x  .Q  b
)  e.  A  <->  -.  (
x  .Q  B )  e.  A ) )
109rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  ( E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A  <->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  B )  e.  A ) )
116, 10imbi12d 311 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A )  <->  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  B )  e.  A ) ) )
12 prn0 8613 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  A  =/=  (/) )
13 n0 3464 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  A )
1412, 13sylib 188 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  E. y 
y  e.  A )
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  ->  E. y  y  e.  A )
16 elprnq 8615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  Q. )
1716ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  y  e.  Q. )
18 mulidnq 8587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  1Q )  =  y )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( y  .Q  1Q )  =  y )
20 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  1Q  <Q  b )
21 ltmnq 8596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( 1Q  <Q  b  <->  ( y  .Q  1Q )  <Q  (
y  .Q  b ) ) )
2221biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  1Q  <Q  b )  -> 
( y  .Q  1Q )  <Q  ( y  .Q  b ) )
2317, 20, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( y  .Q  1Q )  <Q  (
y  .Q  b ) )
2419, 23eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  y  <Q  ( y  .Q  b ) )
251brel 4737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1Q 
<Q  b  ->  ( 1Q  e.  Q.  /\  b  e.  Q. ) )
2625simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1Q 
<Q  b  ->  b  e. 
Q. )
2726ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  b  e.  Q. )
28 mulclnq 8571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  b
)  e.  Q. )
2917, 27, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( y  .Q  b )  e.  Q. )
30 ltexnq 8599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  .Q  b )  e.  Q.  ->  (
y  <Q  ( y  .Q  b )  <->  E. z
( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( y  <Q  ( y  .Q  b
)  <->  E. z ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) ) )
3224, 31mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) )
33 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  A  e.  P. )
34 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
3534prlem934 8657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  +Q  z )  e.  A )
3633, 35syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  +Q  z )  e.  A )
3733adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  P. )
38 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( y  .Q  b )  e.  A
)
39 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b )  ->  (
( y  +Q  z
)  e.  A  <->  ( y  .Q  b )  e.  A
) )
4039biimparc 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  .Q  b
)  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) )  ->  ( y  +Q  z )  e.  A
)
4138, 40sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  ( y  +Q  z )  e.  A
)
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  +Q  z )  e.  A )
43 elprnq 8615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
4433, 43sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
45 elprnq 8615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( y  +Q  z
)  e.  A )  ->  ( y  +Q  z )  e.  Q. )
46 addnqf 8572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
4746fdmi 5394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
48 0nnq 8548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -.  (/)  e.  Q.
4947, 48ndmovrcl 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  +Q  z )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)
5049simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  z )  e.  Q.  ->  z  e.  Q. )
5145, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( y  +Q  z
)  e.  A )  ->  z  e.  Q. )
5233, 41, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  z  e.  Q. )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  Q. )
54 addclnq 8569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( x  +Q  z
)  e.  Q. )
5544, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  +Q  z )  e.  Q. )
56 prub 8618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  ( y  +Q  z
)  e.  A )  /\  ( x  +Q  z )  e.  Q. )  ->  ( -.  (
x  +Q  z )  e.  A  ->  (
y  +Q  z ) 
<Q  ( x  +Q  z
) ) )
5737, 42, 55, 56syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  -> 
( y  +Q  z
)  <Q  ( x  +Q  z ) ) )
5827ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  b  e.  Q. )
59 mulclnq 8571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  b
)  e.  Q. )
6044, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  .Q  b )  e.  Q. )
6117ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  Q. )
62 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )
63 recclnq 8590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( *Q `  y )  e. 
Q. )
64 mulclnq 8571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  ( *Q `  y )  e.  Q. )  -> 
( z  .Q  ( *Q `  y ) )  e.  Q. )
6563, 64sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  e.  Q. )
6665ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  e.  Q. )
67 ltmnq 8596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  e.  Q.  ->  (
y  <Q  x  <->  ( (
z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  y )  <Q 
( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
) ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  <Q  x  <->  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  y )  <Q 
( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
) ) )
69 mulassnq 8583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  y )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  y
)  .Q  y ) )
70 mulcomnq 8577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( *Q `  y )  .Q  y )  =  ( y  .Q  ( *Q `  y ) )
7170oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  .Q  ( ( *Q
`  y )  .Q  y ) )  =  ( z  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
7269, 71eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  y )  =  ( z  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
73 recidnq 8589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) )  =  1Q )
7473oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( z  .Q  1Q ) )
75 mulidnq 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
z  .Q  1Q )  =  z )
7674, 75sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( z  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  z )
7772, 76syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  y
)  =  z )
7877breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  y )  <Q  (
( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <->  z  <Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x ) ) )
7968, 78bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  <Q  x  <->  z 
<Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
) ) )
8079adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  <Q  x 
<->  z  <Q  ( (
z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x ) ) )
81 mulnqf 8573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
8281fdmi 5394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  dom  .Q  =  ( Q.  X.  Q. )
8382, 48ndmovrcl 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  ->  (
x  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )
)
8483simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  ->  x  e.  Q. )
85 ltanq 8595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
z  <Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x ) ) ) )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  ->  (
z  <Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x ) ) ) )
8786adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( z  <Q  (
( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x ) ) ) )
88 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  y  e. 
_V
89 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  .Q  ( *Q `  y ) )  e. 
_V
90 mulcomnq 8577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  .Q  w )  =  ( w  .Q  u
)
91 distrnq 8585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  .Q  ( w  +Q  v ) )  =  ( ( u  .Q  w )  +Q  (
u  .Q  v ) )
9288, 34, 89, 90, 91caovdir 6054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  +Q  z )  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( y  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  +Q  ( z  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) )
93 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  x  e. 
_V
94 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( *Q
`  y )  e. 
_V
95 mulassnq 8583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( u  .Q  w )  .Q  v )  =  ( u  .Q  (
w  .Q  v ) )
9688, 93, 94, 90, 95caov12 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( x  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )
9773oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
98 mulidnq 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  1Q )  =  x )
9984, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  ->  (
x  .Q  1Q )  =  x )
10097, 99sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  x )
10196, 100syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  x )
102 mulcomnq 8577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  .Q  ( *Q `  y ) )  =  ( ( *Q `  y )  .Q  x
)
103102oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  y )  .Q  x ) )
104 mulassnq 8583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  y
)  .Q  x ) )
105103, 104eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )
106105a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( z  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  ( ( z  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x ) )
107101, 106oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( y  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  +Q  ( z  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) )  =  ( x  +Q  (
( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x ) ) )
10892, 107syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( y  +Q  z )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  ( x  +Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x ) ) )
109108breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( x  +Q  z )  <Q  (
( y  +Q  z
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  <-> 
( x  +Q  z
)  <Q  ( x  +Q  ( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
) ) ) )
11087, 109bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( z  <Q  (
( z  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
( y  +Q  z
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) ) )
111110adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  z  e.  Q. )  ->  ( z  <Q 
( ( z  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
)  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
( y  +Q  z
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) ) )
11280, 111bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  <Q  x 
<->  ( x  +Q  z
)  <Q  ( ( y  +Q  z )  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) ) )
113112adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( z  e.  Q.  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) ) )  ->  ( y  <Q  x  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
( y  +Q  z
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) ) )
114 ltanq 8595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
y  <Q  x  <->  ( z  +Q  y )  <Q  (
z  +Q  x ) ) )
115 addcomnq 8575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  +Q  y )  =  ( y  +Q  z
)
116 addcomnq 8575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  +Q  x )  =  ( x  +Q  z
)
117115, 116breq12i 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  +Q  y ) 
<Q  ( z  +Q  x
)  <->  ( y  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  z ) )
118114, 117syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
y  <Q  x  <->  ( y  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  z ) ) )
119118ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( z  e.  Q.  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) ) )  ->  ( y  <Q  x  <->  ( y  +Q  z )  <Q  (
x  +Q  z ) ) )
120 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b )  ->  (
( y  +Q  z
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( y  .Q  b )  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) ) )
121 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  b  e. 
_V
12288, 121, 93, 90, 95, 94caov411 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  .Q  b )  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( x  .Q  b
)  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )
12373oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  b
)  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( x  .Q  b )  .Q  1Q ) )
124 mulidnq 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  b
)  .Q  1Q )  =  ( x  .Q  b ) )
125123, 124sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( x  .Q  b )  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  ( x  .Q  b ) )
126122, 125syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  .Q  b
)  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( y  .Q  b )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  ( x  .Q  b ) )
127120, 126sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) )  ->  ( ( y  +Q  z )  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( x  .Q  b ) )
128127breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) )  ->  ( ( x  +Q  z )  <Q 
( ( y  +Q  z )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b ) ) )
129128adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( z  e.  Q.  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) ) )  ->  ( (
x  +Q  z ) 
<Q  ( ( y  +Q  z )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b ) ) )
130113, 119, 1293bitr3d 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  .Q  b )  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( z  e.  Q.  /\  ( y  +Q  z
)  =  ( y  .Q  b ) ) )  ->  ( (
y  +Q  z ) 
<Q  ( x  +Q  z
)  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b ) ) )
13160, 61, 53, 62, 130syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  +Q  z
)  <Q  ( x  +Q  z )  <->  ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b ) ) )
13257, 131sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  -> 
( x  +Q  z
)  <Q  ( x  .Q  b ) ) )
133 prcdnq 8617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( x  .Q  b
)  e.  A )  ->  ( ( x  +Q  z )  <Q 
( x  .Q  b
)  ->  ( x  +Q  z )  e.  A
) )
134133impancom 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( x  +Q  z
)  <Q  ( x  .Q  b ) )  -> 
( ( x  .Q  b )  e.  A  ->  ( x  +Q  z
)  e.  A ) )
135134con3d 125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( x  +Q  z
)  <Q  ( x  .Q  b ) )  -> 
( -.  ( x  +Q  z )  e.  A  ->  -.  (
x  .Q  b )  e.  A ) )
136135ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( x  +Q  z
)  <Q  ( x  .Q  b )  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  ->  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) ) )
137136com23 72 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  P.  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  -> 
( ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b )  ->  -.  ( x  .Q  b )  e.  A
) ) )
13837, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  -> 
( ( x  +Q  z )  <Q  (
x  .Q  b )  ->  -.  ( x  .Q  b )  e.  A
) ) )
139132, 138mpdd 36 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  (
y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  ->  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
140139reximdva 2655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  ( E. x  e.  A  -.  ( x  +Q  z
)  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
14136, 140mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  (
y  .Q  b )  e.  A ) )  /\  ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b ) )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A )
142141ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( (
y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A ) )
143142exlimdv 1664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  ( E. z ( y  +Q  z )  =  ( y  .Q  b )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
14432, 143mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  ( y  e.  A  /\  ( y  .Q  b
)  e.  A ) )  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A )
145144expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
y  .Q  b )  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A ) )
146 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .Q  b )  =  ( y  .Q  b ) )
147146eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .Q  b
)  e.  A  <->  ( y  .Q  b )  e.  A
) )
148147notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  ( x  .Q  b
)  e.  A  <->  -.  (
y  .Q  b )  e.  A ) )
149148rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  -.  ( y  .Q  b
)  e.  A )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A )
150149ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( -.  ( y  .Q  b
)  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
151150adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  ( y  .Q  b
)  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
152145, 151pm2.61d 150 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  /\  y  e.  A
)  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A )
153152ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  -> 
( y  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A ) )
154153exlimdv 1664 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  -> 
( E. y  y  e.  A  ->  E. x  e.  A  -.  (
x  .Q  b )  e.  A ) )
15515, 154mpd 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  b )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  b
)  e.  A )
15611, 155vtoclg 2843 . 2  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  B
)  e.  A ) )
1574, 156mpcom 32 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  B )  ->  E. x  e.  A  -.  ( x  .Q  B
)  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Q.cnq 8474   1Qc1q 8475    +Q cplq 8477    .Q cmq 8478   *Qcrq 8479    <Q cltq 8480   P.cnp 8481
This theorem is referenced by:  reclem3pr  8673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605
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