Theorem prlem936a 5125

Description: Sublemma for Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. This is a property of positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
prlem936a	|- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((y +Q z) <Q (x +Q z) <-> (x +Q z) <Q ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z))))

Proof of Theorem prlem936a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclpq 5044	. . . . . 6 |- (y e. Q. -> (*Q` y) e. Q.)
2	1	anim2i 335	. . . . 5 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (z e. Q. /\ (*Q` y) e. Q.))
3		mulclpq 5032	. . . . 5 |- ((z e. Q. /\ (*Q` y) e. Q.) -> (z .Q (*Q` y)) e. Q.)
4		visset 1804	. . . . . 6 |- y e. V
5		visset 1804	. . . . . 6 |- x e. V
6	4, 5	ltmpq 5049	. . . . 5 |- ((z .Q (*Q` y)) e. Q. -> (y <Q x <-> ((z .Q (*Q` y)) .Q y) <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
7	2, 3, 6	3syl 20	. . . 4 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (y <Q x <-> ((z .Q (*Q` y)) .Q y) <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
8	4, 5	ltapq 5048	. . . . . 6 |- (z e. Q. -> (y <Q x <-> (z +Q y) <Q (z +Q x)))
9		visset 1804	. . . . . . . 8 |- z e. V
10	9, 4	addcompq 5034	. . . . . . 7 |- (z +Q y) = (y +Q z)
11	9, 5	addcompq 5034	. . . . . . 7 |- (z +Q x) = (x +Q z)
12	10, 11	breq12i 2618	. . . . . 6 |- ((z +Q y) <Q (z +Q x) <-> (y +Q z) <Q (x +Q z))
13	8, 12	syl6bb 534	. . . . 5 |- (z e. Q. -> (y <Q x <-> (y +Q z) <Q (x +Q z)))
14	13	adantr 389	. . . 4 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (y <Q x <-> (y +Q z) <Q (x +Q z)))
15		recidpq 5043	. . . . . . . 8 |- (y e. Q. -> (y .Q (*Q` y)) = 1Q)
16	15	opreq2d 3961	. . . . . . 7 |- (y e. Q. -> (z .Q (y .Q (*Q` y))) = (z .Q 1Q))
17		mulidpq 5041	. . . . . . 7 |- (z e. Q. -> (z .Q 1Q) = z)
18	16, 17	sylan9eqr 1521	. . . . . 6 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (z .Q (y .Q (*Q` y))) = z)
19		fvex 3717	. . . . . . . 8 |- (*Q` y) e. V
20	19, 4	mulasspq 5037	. . . . . . 7 |- ((z .Q (*Q` y)) .Q y) = (z .Q ((*Q` y) .Q y))
21	4, 19	mulcompq 5036	. . . . . . . 8 |- (y .Q (*Q` y)) = ((*Q` y) .Q y)
22	21	opreq2i 3957	. . . . . . 7 |- (z .Q (y .Q (*Q` y))) = (z .Q ((*Q` y) .Q y))
23	20, 22	eqtr4 1490	. . . . . 6 |- ((z .Q (*Q` y)) .Q y) = (z .Q (y .Q (*Q` y)))
24	18, 23	syl5eq 1511	. . . . 5 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> ((z .Q (*Q` y)) .Q y) = z)
25	24	breq1d 2619	. . . 4 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (((z .Q (*Q` y)) .Q y) <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x) <-> z <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
26	7, 14, 25	3bitr3d 546	. . 3 |- ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> ((y +Q z) <Q (x +Q z) <-> z <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
27		oprex 3968	. . . 4 |- ((z .Q (*Q` y)) .Q x) e. V
28	9, 27	ltapq 5048	. . 3 |- (x e. Q. -> (z <Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x) <-> (x +Q z) <Q (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x))))
29	26, 28	sylan9bbr 539	. 2 |- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((y +Q z) <Q (x +Q z) <-> (x +Q z) <Q (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x))))
30	19, 4	mulcompq 5036	. . . . . . . . . 10 |- ((*Q` y) .Q y) = (y .Q (*Q` y))
31	15, 30	syl5eq 1511	. . . . . . . . 9 |- (y e. Q. -> ((*Q` y) .Q y) = 1Q)
32	31	opreq2d 3961	. . . . . . . 8 |- (y e. Q. -> (x .Q ((*Q` y) .Q y)) = (x .Q 1Q))
33	19, 4	mulasspq 5037	. . . . . . . 8 |- ((x .Q (*Q` y)) .Q y) = (x .Q ((*Q` y) .Q y))
34	32, 33	syl5eq 1511	. . . . . . 7 |- (y e. Q. -> ((x .Q (*Q` y)) .Q y) = (x .Q 1Q))
35		mulidpq 5041	. . . . . . 7 |- (x e. Q. -> (x .Q 1Q) = x)
36	34, 35	sylan9eqr 1521	. . . . . 6 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> ((x .Q (*Q` y)) .Q y) = x)
37		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- w e. V
38		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- v e. V
39	37, 38	mulcompq 5036	. . . . . . . 8 |- (w .Q v) = (v .Q w)
40		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- u e. V
41	38, 40	mulasspq 5037	. . . . . . . 8 |- ((w .Q v) .Q u) = (w .Q (v .Q u))
42	5, 19, 9, 39, 41	caopr31 4048	. . . . . . 7 |- ((x .Q (*Q` y)) .Q z) = ((z .Q (*Q` y)) .Q x)
43	42	a1i 8	. . . . . 6 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> ((x .Q (*Q` y)) .Q z) = ((z .Q (*Q` y)) .Q x))
44	36, 43	opreq12d 3963	. . . . 5 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (((x .Q (*Q` y)) .Q y) +Q ((x .Q (*Q` y)) .Q z)) = (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
45	4, 9	distrpq 5039	. . . . 5 |- ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) = (((x .Q (*Q` y)) .Q y) +Q ((x .Q (*Q` y)) .Q z))
46	44, 45	syl5eq 1511	. . . 4 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) = (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
47	46	adantrl 394	. . 3 |- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) = (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x)))
48	47	breq2d 2620	. 2 |- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((x +Q z) <Q ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) <-> (x +Q z) <Q (x +Q ((z .Q (*Q` y)) .Q x))))
49	29, 48	bitr4d 529	1 |- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((y +Q z) <Q (x +Q z) <-> (x +Q z) <Q ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  Q.cnq 4951  1Qc1q 4952   +Q cplq 4953   .Q cmq 4954  *Qcrq 4955   <Q cltq 4956

This theorem is referenced by:  prlem936 5127

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015

Copyright terms: Public domain