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Theorem prmind2 13090
Description: A variation on prmind 13091 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prmind.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
prmind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
prmind.3  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
prmind.4  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
prmind.5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
prmind.6  |-  ps
prmind2.7  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
prmind2.8  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
Assertion
Ref Expression
prmind2  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    x, z, ch    et, x    ta, x    th, x    y, z, ph
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y, z)    ch( y)    th( y, z)    ta( y,
z)    et( y, z)    A( y, z)

Proof of Theorem prmind2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1end 11081 . . 3  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )
21biimpi 187 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
3 oveq2 6089 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
43raleqdv 2910 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... 1 ) ph ) )
5 oveq2 6089 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... k
) )
65raleqdv 2910 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph ) )
7 oveq2 6089 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
87raleqdv 2910 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ph ) )
9 oveq2 6089 . . . 4  |-  ( n  =  A  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... A
) )
109raleqdv 2910 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... A ) ph ) )
11 prmind.6 . . . . 5  |-  ps
12 elfz1eq 11068 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  x  =  1 )
13 prmind.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1511, 14mpbiri 225 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ph )
1615rgen 2771 . . 3  |-  A. x  e.  ( 1 ... 1
) ph
17 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  ||  (
k  +  1 ) )
18 elfzuz 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1918ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
20 eluz2b2 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( y  e.  NN  /\  1  < 
y ) )
2120simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  NN )
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  NN )
2322nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
2422nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  =/=  0
)
25 peano2nn 10012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
2726nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
28 dvdsval2 12855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  (
k  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( y  ||  (
k  +  1 )  <-> 
( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ZZ ) )
2923, 24, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ZZ ) )
3017, 29mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ZZ )
3122nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  CC )
3231mulid2d 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
33 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  <_  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )
3433ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <_  (
( k  +  1 )  -  1 ) )
35 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
3635ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
37 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
38 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
3936, 37, 38sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
4034, 39breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <_  k
)
41 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
4241ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
43 zleltp1 10326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  k  <->  y  <  ( k  +  1 ) ) )
4423, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  <_ 
k  <->  y  <  (
k  +  1 ) ) )
4540, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <  (
k  +  1 ) )
4632, 45eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  y )  <  (
k  +  1 ) )
47 1re 9090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
4926nnred 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
5022nnred 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  RR )
5122nngt0d 10043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  y
)
52 ltmuldiv 9880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( (
1  x.  y )  <  ( k  +  1 )  <->  1  <  ( ( k  +  1 )  /  y ) ) )
5348, 49, 50, 51, 52syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( 1  x.  y )  < 
( k  +  1 )  <->  1  <  (
( k  +  1 )  /  y ) ) )
5446, 53mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  <  (
( k  +  1 )  /  y ) )
55 eluz2b1 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ZZ  /\  1  < 
( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
5630, 54, 55sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
57 fznn 11115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ( 1 ... k )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
k ) ) )
5842, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
k ) ) )
5922, 40, 58mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ( 1 ... k ) )
60 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )
61 prmind.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
6261rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 1 ... k )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  ch ) )
6359, 60, 62sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ch )
6426nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
6522nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
6664, 65rpdivcld 10665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  RR+ )
6766rpgt0d 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
( k  +  1 )  /  y ) )
68 elnnz 10292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  <->  ( (
( k  +  1 )  /  y )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
6930, 67, 68sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  NN )
7026nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
7126nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0
)
7270, 71dividd 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  =  1 )
7320simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  y )
7419, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  <  y
)
7572, 74eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  <  y
)
7626nngt0d 10043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
k  +  1 ) )
77 ltdiv23 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y ) )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  <  y  <->  ( ( k  +  1 )  /  y )  <  ( k  +  1 ) ) )
7849, 49, 76, 50, 51, 77syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  1 ) )  < 
y  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) ) )
7975, 78mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) )
80 zleltp1 10326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  +  1 )  / 
y )  <_  k  <->  ( ( k  +  1 )  /  y )  <  ( k  +  1 ) ) )
8130, 42, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  <_ 
k  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) ) )
8279, 81mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <_  k
)
83 fznn 11115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ( 1 ... k )  <->  ( (
( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  /\  (
( k  +  1 )  /  y )  <_  k ) ) )
8442, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  /\  ( ( k  +  1 )  /  y )  <_ 
k ) ) )
8569, 82, 84mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ( 1 ... k ) )
86 prmind.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
8786cbvralv 2932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... k ) ph  <->  A. z  e.  ( 1 ... k ) th )
8860, 87sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  A. z  e.  ( 1 ... k ) th )
89 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
9089, 86sbcie 3195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. z  /  x ]. ph  <->  th )
91 dfsbcq 3163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( [. z  /  x ]. ph  <->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
9290, 91syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( th 
<-> 
[. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
9392rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( 1 ... k )  ->  ( A. z  e.  (
1 ... k ) th 
->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
9485, 88, 93sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph )
9563, 94jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph ) )
9692anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( ch  /\  th ) 
<->  ( ch  /\  [. (
( k  +  1 )  /  y )  /  x ]. ph )
) )
97 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  x.  z )  e. 
_V
98 prmind.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
9997, 98sbcie 3195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  ta )
100 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
y  x.  z )  =  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
101 dfsbcq 3163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  x.  z )  =  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph ) )
10399, 102syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( ta 
<-> 
[. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  /  x ]. ph ) )
10496, 103imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( ( ch  /\  th )  ->  ta )  <->  ( ( ch  /\  [. (
( k  +  1 )  /  y )  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  /  x ]. ph ) ) )
105104imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ch  /\  th )  ->  ta )
)  <->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  / 
y ) )  /  x ]. ph ) ) ) )
106 prmind2.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
107106expcom 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta )
) )
108105, 107vtoclga 3017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  / 
y ) )  /  x ]. ph ) ) )
10956, 19, 95, 108syl3c 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  /  x ]. ph )
11070, 31, 24divcan2d 9792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  =  ( k  +  1 ) )
111 dfsbcq 3163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y ) )  =  ( k  +  1 )  ->  ( [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( [. (
y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
113109, 112mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
114113rexlimdvaa 2831 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
115 ralnex 2715 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  -.  E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 ) )
116 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  NN )
117 elnnuz 10522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
118116, 117sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
119 eluzp1p1 10511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
121 df-2 10058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 1  +  1 )
122121fveq2i 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
123120, 122syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
124 isprm3 13088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  <->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  (
k  +  1 ) ) )
125124baibr 873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
126123, 125syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( k  +  1 )  e.  Prime ) )
127 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )
12861cbvralv 2932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... k ) ph  <->  A. y  e.  ( 1 ... k ) ch )
129127, 128sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( 1 ... k ) ch )
130116nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  CC )
131130, 37, 38sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
132131oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... k ) )
133132raleqdv 2910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  <->  A. y  e.  ( 1 ... k
) ch ) )
134129, 133mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ch )
135 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( k  +  1 )
136 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x A. y  e.  (
1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch
137 nfsbc1v 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph
138136, 137nfim 1832 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( A. y  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
139 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
140139oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... ( x  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )
141140raleqdv 2910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... ( x  - 
1 ) ) ch  <->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch ) )
142 sbceq1a 3171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
143141, 142imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A. y  e.  ( 1 ... (
x  -  1 ) ) ch  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
144 prmind2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
145144ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch 
->  ph ) )
146135, 138, 143, 145vtoclgaf 3016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch 
->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
147134, 146syl5com 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  e. 
Prime  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
148126, 147sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
149115, 148syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( -.  E. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) y 
||  ( k  +  1 )  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
)
150114, 149pm2.61d 152 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
151150ex 424 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
152 ralsns 3844 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
15325, 152syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
154151, 153sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  A. x  e.  {
( k  +  1 ) } ph )
)
155154ancld 537 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  ( A. x  e.  ( 1 ... k
) ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) ) )
156 fzsuc 11096 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
157117, 156sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
158157raleqdv 2910 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 1 ... k )  u.  { ( k  +  1 ) } ) ph ) )
159 ralunb 3528 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( (
1 ... k )  u. 
{ ( k  +  1 ) } )
ph 
<->  ( A. x  e.  ( 1 ... k
) ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) )
160158, 159syl6bb 253 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  ( A. x  e.  ( 1 ... k )
ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) ) )
161155, 160sylibrd 226 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )
ph ) )
1624, 6, 8, 10, 16, 161nnind 10018 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... A
) ph )
163 prmind.5 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
164163rspcv 3048 . 2  |-  ( A  e.  ( 1 ... A )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... A ) ph  ->  et ) )
1652, 162, 164sylc 58 1  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   [.wsbc 3161    u. cun 3318   {csn 3814   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043    || cdivides 12852   Primecprime 13079
This theorem is referenced by:  prmind  13091  4sqlem19  13331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-dvds 12853  df-prm 13080
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