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Theorem prmind2 13045
Description: A variation on prmind 13046 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prmind.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
prmind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
prmind.3  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
prmind.4  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
prmind.5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
prmind.6  |-  ps
prmind2.7  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
prmind2.8  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
Assertion
Ref Expression
prmind2  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    x, z, ch    et, x    ta, x    th, x    y, z, ph
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y, z)    ch( y)    th( y, z)    ta( y,
z)    et( y, z)    A( y, z)

Proof of Theorem prmind2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1end 11037 . . 3  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )
21biimpi 187 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
3 oveq2 6048 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
43raleqdv 2870 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... 1 ) ph ) )
5 oveq2 6048 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... k
) )
65raleqdv 2870 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph ) )
7 oveq2 6048 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
87raleqdv 2870 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ph ) )
9 oveq2 6048 . . . 4  |-  ( n  =  A  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... A
) )
109raleqdv 2870 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... A ) ph ) )
11 prmind.6 . . . . 5  |-  ps
12 elfz1eq 11024 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  x  =  1 )
13 prmind.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1511, 14mpbiri 225 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ph )
1615rgen 2731 . . 3  |-  A. x  e.  ( 1 ... 1
) ph
17 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  ||  (
k  +  1 ) )
18 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1918ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
20 eluz2b2 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( y  e.  NN  /\  1  < 
y ) )
2120simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  NN )
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  NN )
2322nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
2422nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  =/=  0
)
25 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
2726nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
28 dvdsval2 12810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  (
k  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( y  ||  (
k  +  1 )  <-> 
( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ZZ ) )
2923, 24, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ZZ ) )
3017, 29mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ZZ )
3122nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  CC )
3231mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
33 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  <_  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )
3433ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <_  (
( k  +  1 )  -  1 ) )
35 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
3635ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
37 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
38 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
3936, 37, 38sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
4034, 39breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <_  k
)
41 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
4241ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
43 zleltp1 10282 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  k  <->  y  <  ( k  +  1 ) ) )
4423, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  <_ 
k  <->  y  <  (
k  +  1 ) ) )
4540, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <  (
k  +  1 ) )
4632, 45eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  y )  <  (
k  +  1 ) )
47 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
4926nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
5022nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  RR )
5122nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  y
)
52 ltmuldiv 9836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( (
1  x.  y )  <  ( k  +  1 )  <->  1  <  ( ( k  +  1 )  /  y ) ) )
5348, 49, 50, 51, 52syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( 1  x.  y )  < 
( k  +  1 )  <->  1  <  (
( k  +  1 )  /  y ) ) )
5446, 53mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  <  (
( k  +  1 )  /  y ) )
55 eluz2b1 10503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ZZ  /\  1  < 
( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
5630, 54, 55sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
57 fznn 11070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ( 1 ... k )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
k ) ) )
5842, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
k ) ) )
5922, 40, 58mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ( 1 ... k ) )
60 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )
61 prmind.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
6261rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 1 ... k )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  ch ) )
6359, 60, 62sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ch )
6426nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
6522nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
6664, 65rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  RR+ )
6766rpgt0d 10607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
( k  +  1 )  /  y ) )
68 elnnz 10248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  <->  ( (
( k  +  1 )  /  y )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
6930, 67, 68sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  NN )
7026nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
7126nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0
)
7270, 71dividd 9744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  =  1 )
7320simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  y )
7419, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  <  y
)
7572, 74eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  <  y
)
7626nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
k  +  1 ) )
77 ltdiv23 9857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y ) )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  <  y  <->  ( ( k  +  1 )  /  y )  <  ( k  +  1 ) ) )
7849, 49, 76, 50, 51, 77syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  1 ) )  < 
y  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) ) )
7975, 78mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) )
80 zleltp1 10282 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  +  1 )  / 
y )  <_  k  <->  ( ( k  +  1 )  /  y )  <  ( k  +  1 ) ) )
8130, 42, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  <_ 
k  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) ) )
8279, 81mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <_  k
)
83 fznn 11070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ( 1 ... k )  <->  ( (
( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  /\  (
( k  +  1 )  /  y )  <_  k ) ) )
8442, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  /\  ( ( k  +  1 )  /  y )  <_ 
k ) ) )
8569, 82, 84mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ( 1 ... k ) )
86 prmind.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
8786cbvralv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... k ) ph  <->  A. z  e.  ( 1 ... k ) th )
8860, 87sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  A. z  e.  ( 1 ... k ) th )
89 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
9089, 86sbcie 3155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. z  /  x ]. ph  <->  th )
91 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( [. z  /  x ]. ph  <->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
9290, 91syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( th 
<-> 
[. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
9392rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( 1 ... k )  ->  ( A. z  e.  (
1 ... k ) th 
->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
9485, 88, 93sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph )
9563, 94jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph ) )
9692anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( ch  /\  th ) 
<->  ( ch  /\  [. (
( k  +  1 )  /  y )  /  x ]. ph )
) )
97 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  x.  z )  e. 
_V
98 prmind.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
9997, 98sbcie 3155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  ta )
100 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
y  x.  z )  =  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
101 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  x.  z )  =  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph ) )
10399, 102syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( ta 
<-> 
[. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  /  x ]. ph ) )
10496, 103imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( ( ch  /\  th )  ->  ta )  <->  ( ( ch  /\  [. (
( k  +  1 )  /  y )  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  /  x ]. ph ) ) )
105104imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ch  /\  th )  ->  ta )
)  <->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  / 
y ) )  /  x ]. ph ) ) ) )
106 prmind2.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
107106expcom 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta )
) )
108105, 107vtoclga 2977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  / 
y ) )  /  x ]. ph ) ) )
10956, 19, 95, 108syl3c 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  /  x ]. ph )
11070, 31, 24divcan2d 9748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  =  ( k  +  1 ) )
111 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y ) )  =  ( k  +  1 )  ->  ( [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( [. (
y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
113109, 112mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
114113rexlimdvaa 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
115 ralnex 2676 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  -.  E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 ) )
116 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  NN )
117 elnnuz 10478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
118116, 117sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
119 eluzp1p1 10467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
121 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 1  +  1 )
122121fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
123120, 122syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
124 isprm3 13043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  <->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  (
k  +  1 ) ) )
125124baibr 873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
126123, 125syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( k  +  1 )  e.  Prime ) )
127 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )
12861cbvralv 2892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... k ) ph  <->  A. y  e.  ( 1 ... k ) ch )
129127, 128sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( 1 ... k ) ch )
130116nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  CC )
131130, 37, 38sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
132131oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... k ) )
133132raleqdv 2870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  <->  A. y  e.  ( 1 ... k
) ch ) )
134129, 133mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ch )
135 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( k  +  1 )
136 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x A. y  e.  (
1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch
137 nfsbc1v 3140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph
138136, 137nfim 1828 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( A. y  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
139 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
140139oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... ( x  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )
141140raleqdv 2870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... ( x  - 
1 ) ) ch  <->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch ) )
142 sbceq1a 3131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
143141, 142imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A. y  e.  ( 1 ... (
x  -  1 ) ) ch  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
144 prmind2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
145144ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch 
->  ph ) )
146135, 138, 143, 145vtoclgaf 2976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch 
->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
147134, 146syl5com 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  e. 
Prime  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
148126, 147sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
149115, 148syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( -.  E. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) y 
||  ( k  +  1 )  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
)
150114, 149pm2.61d 152 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
151150ex 424 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
152 ralsns 3804 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
15325, 152syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
154151, 153sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  A. x  e.  {
( k  +  1 ) } ph )
)
155154ancld 537 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  ( A. x  e.  ( 1 ... k
) ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) ) )
156 fzsuc 11052 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
157117, 156sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
158157raleqdv 2870 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 1 ... k )  u.  { ( k  +  1 ) } ) ph ) )
159 ralunb 3488 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( (
1 ... k )  u. 
{ ( k  +  1 ) } )
ph 
<->  ( A. x  e.  ( 1 ... k
) ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) )
160158, 159syl6bb 253 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  ( A. x  e.  ( 1 ... k )
ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) ) )
161155, 160sylibrd 226 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )
ph ) )
1624, 6, 8, 10, 16, 161nnind 9974 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... A
) ph )
163 prmind.5 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
164163rspcv 3008 . 2  |-  ( A  e.  ( 1 ... A )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... A ) ph  ->  et ) )
1652, 162, 164sylc 58 1  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   [.wsbc 3121    u. cun 3278   {csn 3774   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    || cdivides 12807   Primecprime 13034
This theorem is referenced by:  prmind  13046  4sqlem19  13286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-dvds 12808  df-prm 13035
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