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Theorem prmreclem1 13204
Description: Lemma for prmrec 13210. Properties of the "square part" function, which extracts the  m of the decomposition  N  =  r
m ^ 2, with  m maximal and  r squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmreclem1.1  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
prmreclem1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N  /\  ( K  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    K, r    n, r, N    Q, r
Allowed substitution hints:    Q( n)    K( n)

Proof of Theorem prmreclem1
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3364 . . 3  |-  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  C_  NN
2 breq2 4150 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( r ^ 2 )  ||  n  <->  ( r ^ 2 )  ||  N ) )
32rabbidv 2884 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  n }  =  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } )
43supeq1d 7379 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  n } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
5 prmreclem1.1 . . . . 5  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
6 ltso 9082 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
76supex 7394 . . . . 5  |-  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  )  e.  _V
84, 5, 7fvmpt 5738 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q `  N )  =  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } ,  RR ,  <  ) )
9 nnssz 10226 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
101, 9sstri 3293 . . . . . 6  |-  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  C_  ZZ
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  C_  ZZ )
12 1nn 9936 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN )
14 nnz 10228 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
15 1dvds 12784 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  ||  N )
17 oveq1 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  1  ->  (
r ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
18 sq1 11396 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1917, 18syl6eq 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  1  ->  (
r ^ 2 )  =  1 )
2019breq1d 4156 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  1  ->  (
( r ^ 2 )  ||  N  <->  1  ||  N ) )
2120elrab 3028 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  <->  ( 1  e.  NN  /\  1  ||  N ) )
2213, 16, 21sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } )
23 ne0i 3570 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  =/=  (/) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  =/=  (/) )
25 nnz 10228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
26 zsqcl 11372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z ^ 2 )  e.  ZZ )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z ^ 2 )  e.  ZZ )
28 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
29 dvdsle 12815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z ^ 2 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  ||  N  ->  ( z ^ 2 )  <_  N )
)
3027, 28, 29syl2anr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  ||  N  ->  ( z ^ 2 )  <_  N )
)
31 nnlesq 11404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  <_  ( z ^ 2 ) )
3231adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  z  <_  ( z ^ 2 ) )
33 nnre 9932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
3433adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
3534resqcld 11469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z ^ 2 )  e.  RR )
36 nnre 9932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3736adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
38 letr 9093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z ^ 2 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( z  <_ 
( z ^ 2 )  /\  ( z ^ 2 )  <_  N )  ->  z  <_  N ) )
3934, 35, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  <_ 
( z ^ 2 )  /\  ( z ^ 2 )  <_  N )  ->  z  <_  N ) )
4032, 39mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  <_  N  ->  z  <_  N )
)
4130, 40syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  ||  N  ->  z  <_  N )
)
4241ralrimiva 2725 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( ( z ^ 2 )  ||  N  ->  z  <_  N
) )
43 oveq1 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  z  ->  (
r ^ 2 )  =  ( z ^
2 ) )
4443breq1d 4156 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  z  ->  (
( r ^ 2 )  ||  N  <->  ( z ^ 2 )  ||  N ) )
4544ralrab 3032 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N } z  <_  N  <->  A. z  e.  NN  (
( z ^ 2 )  ||  N  -> 
z  <_  N )
)
4642, 45sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  N
)
47 breq2 4150 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  N ) )
4847ralbidv 2662 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  x  <->  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  N
) )
4948rspcev 2988 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  N )  ->  E. x  e.  ZZ  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  x )
5014, 46, 49syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  E. x  e.  ZZ  A. z  e. 
{ r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  x
)
51 suprzcl2 10491 . . . . 5  |-  ( ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N }  C_  ZZ  /\  {
r  e.  NN  | 
( r ^ 2 )  ||  N }  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. z  e. 
{ r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  x
)  ->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )
5211, 24, 50, 51syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )
538, 52eqeltrd 2454 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q `  N )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } )
541, 53sseldi 3282 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q `  N )  e.  NN )
55 oveq1 6020 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( Q `  N )  ->  (
z ^ 2 )  =  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )
5655breq1d 4156 . . . . 5  |-  ( z  =  ( Q `  N )  ->  (
( z ^ 2 )  ||  N  <->  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N ) )
5744cbvrabv 2891 . . . . 5  |-  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  =  { z  e.  NN  |  ( z ^
2 )  ||  N }
5856, 57elrab2 3030 . . . 4  |-  ( ( Q `  N )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  <->  ( ( Q `
 N )  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N ) )
5953, 58sylib 189 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N ) )
6059simprd 450 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 ) 
||  N )
6154adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  NN )
6261nncnd 9941 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  CC )
6362mulid1d 9031 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  1 )  =  ( Q `
 N ) )
64 eluz2b2 10473 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
6564simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  K )
6665adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  <  K )
67 1re 9016 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
6867a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  e.  RR )
6964simplbi 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
7069adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  K  e.  NN )
7170nnred 9940 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  K  e.  RR )
7261nnred 9940 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  RR )
7361nngt0d 9968 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <  ( Q `  N ) )
74 ltmul2 9786 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  (
( Q `  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( Q `  N ) ) )  ->  ( 1  < 
K  <->  ( ( Q `
 N )  x.  1 )  <  (
( Q `  N
)  x.  K ) ) )
7568, 71, 72, 73, 74syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 1  <  K  <->  ( ( Q `  N
)  x.  1 )  <  ( ( Q `
 N )  x.  K ) ) )
7666, 75mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  1 )  <  ( ( Q `  N )  x.  K ) )
7763, 76eqbrtrrd 4168 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  <  ( ( Q `  N )  x.  K ) )
78 nnmulcl 9948 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  N
)  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  NN )
7954, 69, 78syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  NN )
8079nnred 9940 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  RR )
8172, 80ltnled 9145 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  <  (
( Q `  N
)  x.  K )  <->  -.  ( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  ( Q `  N ) ) )
8277, 81mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  -.  ( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  ( Q `  N ) )
8310a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N }  C_  ZZ )
8450ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  x )
8579adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  NN )
86 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) )
8770adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  K  e.  NN )
8887nnsqcld 11463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( K ^ 2 )  e.  NN )
89 nnz 10228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K ^ 2 )  e.  NN  ->  ( K ^ 2 )  e.  ZZ )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( K ^ 2 )  e.  ZZ )
9154nnsqcld 11463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 )  e.  NN )
929, 91sseldi 3282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 )  e.  ZZ )
9391nnne0d 9969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 )  =/=  0 )
94 dvdsval2 12775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N 
<->  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  e.  ZZ ) )
9592, 93, 14, 94syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N  <->  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )  e.  ZZ ) )
9660, 95mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )  e.  ZZ )
9796ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9892ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
99 dvdscmul 12796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  ->  ( (
( Q `  N
) ^ 2 )  x.  ( K ^
2 ) )  ||  ( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) ) ) )
10090, 97, 98, 99syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( K ^
2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( K ^ 2 ) ) 
||  ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  x.  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) ) ) ) )
10186, 100mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( K ^ 2 ) ) 
||  ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  x.  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) ) ) )
10262adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  CC )
10387nncnd 9941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  K  e.  CC )
104102, 103sqmuld 11455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N )  x.  K ) ^ 2 )  =  ( ( ( Q `  N
) ^ 2 )  x.  ( K ^
2 ) ) )
105104eqcomd 2385 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( Q `  N )  x.  K ) ^
2 ) )
106 nncn 9933 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
107106ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  N  e.  CC )
10891ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  NN )
109108nncnd 9941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  CC )
11093ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  =/=  0 )
111107, 109, 110divcan2d 9717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) )  =  N )
112101, 105, 1113brtr3d 4175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N )  x.  K ) ^ 2 )  ||  N )
113 oveq1 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( ( Q `
 N )  x.  K )  ->  (
r ^ 2 )  =  ( ( ( Q `  N )  x.  K ) ^
2 ) )
114113breq1d 4156 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( Q `
 N )  x.  K )  ->  (
( r ^ 2 )  ||  N  <->  ( (
( Q `  N
)  x.  K ) ^ 2 )  ||  N ) )
115114elrab 3028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  N
)  x.  K )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  <->  ( ( ( Q `  N )  x.  K )  e.  NN  /\  ( ( ( Q `  N
)  x.  K ) ^ 2 )  ||  N ) )
11685, 112, 115sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )
117 suprzub 10492 . . . . . 6  |-  ( ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N }  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  x  /\  ( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )  ->  ( ( Q `
 N )  x.  K )  <_  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
11883, 84, 116, 117syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
1198ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( Q `  N
)  =  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
120118, 119breqtrrd 4172 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  ( Q `  N ) )
12182, 120mtand 641 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  -.  ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) )
122121ex 424 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  -.  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) ) )
12354, 60, 1223jca 1134 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N  /\  ( K  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646    C_ wss 3256   (/)c0 3564   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   supcsup 7373   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    / cdiv 9602   NNcn 9925   2c2 9974   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   ^cexp 11302    || cdivides 12772
This theorem is referenced by:  prmreclem2  13205  prmreclem3  13206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-seq 11244  df-exp 11303  df-dvds 12773
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