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Theorem prmreclem1 12979
Description: Lemma for prmrec 12985. Properties of the "square part" function, which extracts the  m of the decomposition  N  =  r
m ^ 2, with  m maximal and  r squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmreclem1.1  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
prmreclem1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N  /\  ( K  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    K, r    n, r, N    Q, r
Allowed substitution hints:    Q( n)    K( n)

Proof of Theorem prmreclem1
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3271 . . 3  |-  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  C_  NN
2 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( r ^ 2 )  ||  n  <->  ( r ^ 2 )  ||  N ) )
32rabbidv 2793 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  n }  =  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } )
43supeq1d 7215 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  n } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
5 prmreclem1.1 . . . . 5  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
6 ltso 8919 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
76supex 7230 . . . . 5  |-  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  )  e.  _V
84, 5, 7fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q `  N )  =  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } ,  RR ,  <  ) )
9 nnssz 10059 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
101, 9sstri 3201 . . . . . 6  |-  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  C_  ZZ
1110a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  C_  ZZ )
12 1nn 9773 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
1312a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN )
14 nnz 10061 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
15 1dvds 12559 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
1614, 15syl 15 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  ||  N )
17 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  1  ->  (
r ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
18 sq1 11214 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1917, 18syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  1  ->  (
r ^ 2 )  =  1 )
2019breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  1  ->  (
( r ^ 2 )  ||  N  <->  1  ||  N ) )
2120elrab 2936 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  <->  ( 1  e.  NN  /\  1  ||  N ) )
2213, 16, 21sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } )
23 ne0i 3474 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  =/=  (/) )
2422, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  =/=  (/) )
25 nnz 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
26 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z ^ 2 )  e.  ZZ )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z ^ 2 )  e.  ZZ )
28 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
29 dvdsle 12590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z ^ 2 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  ||  N  ->  ( z ^ 2 )  <_  N )
)
3027, 28, 29syl2anr 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  ||  N  ->  ( z ^ 2 )  <_  N )
)
31 nnlesq 11222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  <_  ( z ^ 2 ) )
3231adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  z  <_  ( z ^ 2 ) )
33 nnre 9769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
3433adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
3534resqcld 11287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z ^ 2 )  e.  RR )
36 nnre 9769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
38 letr 8930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z ^ 2 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( z  <_ 
( z ^ 2 )  /\  ( z ^ 2 )  <_  N )  ->  z  <_  N ) )
3934, 35, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  <_ 
( z ^ 2 )  /\  ( z ^ 2 )  <_  N )  ->  z  <_  N ) )
4032, 39mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  <_  N  ->  z  <_  N )
)
4130, 40syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  ||  N  ->  z  <_  N )
)
4241ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( ( z ^ 2 )  ||  N  ->  z  <_  N
) )
43 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  z  ->  (
r ^ 2 )  =  ( z ^
2 ) )
4443breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  z  ->  (
( r ^ 2 )  ||  N  <->  ( z ^ 2 )  ||  N ) )
4544ralrab 2940 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N } z  <_  N  <->  A. z  e.  NN  (
( z ^ 2 )  ||  N  -> 
z  <_  N )
)
4642, 45sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  N
)
47 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  N ) )
4847ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  x  <->  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  N
) )
4948rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  N )  ->  E. x  e.  ZZ  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  x )
5014, 46, 49syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  E. x  e.  ZZ  A. z  e. 
{ r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  x
)
51 suprzcl2 10324 . . . . 5  |-  ( ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N }  C_  ZZ  /\  {
r  e.  NN  | 
( r ^ 2 )  ||  N }  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. z  e. 
{ r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  x
)  ->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )
5211, 24, 50, 51syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )
538, 52eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q `  N )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } )
541, 53sseldi 3191 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q `  N )  e.  NN )
55 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( Q `  N )  ->  (
z ^ 2 )  =  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )
5655breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( z  =  ( Q `  N )  ->  (
( z ^ 2 )  ||  N  <->  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N ) )
5744cbvrabv 2800 . . . . 5  |-  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  =  { z  e.  NN  |  ( z ^
2 )  ||  N }
5856, 57elrab2 2938 . . . 4  |-  ( ( Q `  N )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  <->  ( ( Q `
 N )  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N ) )
5953, 58sylib 188 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N ) )
6059simprd 449 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 ) 
||  N )
6154adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  NN )
6261nncnd 9778 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  CC )
6362mulid1d 8868 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  1 )  =  ( Q `
 N ) )
64 eluz2b2 10306 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
6564simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  K )
6665adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  <  K )
67 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
6867a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  e.  RR )
6964simplbi 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
7069adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  K  e.  NN )
7170nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  K  e.  RR )
7261nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  RR )
7361nngt0d 9805 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <  ( Q `  N ) )
74 ltmul2 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  (
( Q `  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( Q `  N ) ) )  ->  ( 1  < 
K  <->  ( ( Q `
 N )  x.  1 )  <  (
( Q `  N
)  x.  K ) ) )
7568, 71, 72, 73, 74syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 1  <  K  <->  ( ( Q `  N
)  x.  1 )  <  ( ( Q `
 N )  x.  K ) ) )
7666, 75mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  1 )  <  ( ( Q `  N )  x.  K ) )
7763, 76eqbrtrrd 4061 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  <  ( ( Q `  N )  x.  K ) )
78 nnmulcl 9785 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  N
)  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  NN )
7954, 69, 78syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  NN )
8079nnred 9777 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  RR )
8172, 80ltnled 8982 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  <  (
( Q `  N
)  x.  K )  <->  -.  ( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  ( Q `  N ) ) )
8277, 81mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  -.  ( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  ( Q `  N ) )
8310a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N }  C_  ZZ )
8450ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  x )
8579adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  NN )
86 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) )
8770adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  K  e.  NN )
8887nnsqcld 11281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( K ^ 2 )  e.  NN )
89 nnz 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K ^ 2 )  e.  NN  ->  ( K ^ 2 )  e.  ZZ )
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( K ^ 2 )  e.  ZZ )
9154nnsqcld 11281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 )  e.  NN )
929, 91sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 )  e.  ZZ )
9391nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 )  =/=  0 )
94 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N 
<->  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  e.  ZZ ) )
9592, 93, 14, 94syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N  <->  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )  e.  ZZ ) )
9660, 95mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )  e.  ZZ )
9796ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9892ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
99 dvdscmul 12571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  ->  ( (
( Q `  N
) ^ 2 )  x.  ( K ^
2 ) )  ||  ( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) ) ) )
10090, 97, 98, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( K ^
2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( K ^ 2 ) ) 
||  ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  x.  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) ) ) ) )
10186, 100mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( K ^ 2 ) ) 
||  ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  x.  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) ) ) )
10262adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  CC )
10387nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  K  e.  CC )
104102, 103sqmuld 11273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N )  x.  K ) ^ 2 )  =  ( ( ( Q `  N
) ^ 2 )  x.  ( K ^
2 ) ) )
105104eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( Q `  N )  x.  K ) ^
2 ) )
106 nncn 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
107106ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  N  e.  CC )
10891ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  NN )
109108nncnd 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  CC )
11093ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  =/=  0 )
111107, 109, 110divcan2d 9554 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) )  =  N )
112101, 105, 1113brtr3d 4068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N )  x.  K ) ^ 2 )  ||  N )
113 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( ( Q `
 N )  x.  K )  ->  (
r ^ 2 )  =  ( ( ( Q `  N )  x.  K ) ^
2 ) )
114113breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( Q `
 N )  x.  K )  ->  (
( r ^ 2 )  ||  N  <->  ( (
( Q `  N
)  x.  K ) ^ 2 )  ||  N ) )
115114elrab 2936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  N
)  x.  K )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  <->  ( ( ( Q `  N )  x.  K )  e.  NN  /\  ( ( ( Q `  N
)  x.  K ) ^ 2 )  ||  N ) )
11685, 112, 115sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )
117 suprzub 10325 . . . . . 6  |-  ( ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N }  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  x  /\  ( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )  ->  ( ( Q `
 N )  x.  K )  <_  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
11883, 84, 116, 117syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
1198ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( Q `  N
)  =  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
120118, 119breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  ( Q `  N ) )
12182, 120mtand 640 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  -.  ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) )
122121ex 423 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  -.  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) ) )
12354, 60, 1223jca 1132 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N  /\  ( K  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ^cexp 11120    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  prmreclem2  12980  prmreclem3  12981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121  df-dvds 12548
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