MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Unicode version

Theorem prmz 12809
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 12808 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnzd 10163 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1701   ZZcz 10071   Primecprime 12805
This theorem is referenced by:  dvdsprime  12818  coprm  12826  prmrp  12827  euclemma  12834  exprmfct  12836  isprm5  12838  maxprmfct  12839  prmdvdsexpb  12841  prmexpb  12843  prmfac1  12844  rpexp  12846  phiprmpw  12891  phiprm  12892  fermltl  12899  prmdiv  12900  prmdiveq  12901  oddprm  12915  pcneg  12973  pcprmpw2  12981  pcprmpw  12982  pcprod  12990  prmpwdvds  12998  prmunb  13008  prmreclem3  13012  prmreclem5  13014  1arithlem1  13017  1arithlem4  13020  1arith  13021  4sqlem11  13049  4sqlem12  13050  4sqlem13  13051  4sqlem14  13052  4sqlem17  13055  pgpfi  14965  sylow2alem2  14978  sylow2blem3  14982  gexexlem  15193  ablfacrplem  15349  ablfac1lem  15352  ablfac1b  15354  ablfac1eu  15357  pgpfac1lem2  15359  pgpfac1lem3a  15360  pgpfac1lem3  15361  pgpfac1lem4  15362  ablfaclem3  15371  prmirredlem  16502  wilthlem1  20359  wilthlem2  20360  ppisval  20394  vmappw  20407  muval1  20424  dvdssqf  20429  mumullem1  20470  mumul  20472  sqff1o  20473  dvdsppwf1o  20479  musum  20484  ppiublem1  20494  ppiublem2  20495  chtublem  20503  vmasum  20508  perfect1  20520  bposlem3  20578  bposlem6  20581  lgslem1  20588  lgsval2lem  20598  lgsvalmod  20607  lgsmod  20613  lgsdirprm  20621  lgsdir  20622  lgsdilem2  20623  lgsdi  20624  lgsne0  20625  lgsqr  20638  lgseisenlem1  20641  lgseisenlem2  20642  lgseisenlem3  20643  lgseisenlem4  20644  lgseisen  20645  lgsquadlem2  20647  lgsquadlem3  20648  lgsquad2lem2  20651  m1lgs  20654  2sqlem3  20658  2sqlem4  20659  2sqlem6  20661  2sqlem8  20664  2sqblem  20669  2sqb  20670  rpvmasumlem  20689  dchrisum0flblem1  20710  dchrisum0flblem2  20711  dirith  20731  nn0prpwlem  25387  nn0prpw  25388
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-prm 12806
  Copyright terms: Public domain W3C validator