Theorem prnmax 5099

Description: A positive real has no largest member. Definition 9-3.1(iii) of [Gleason] p. 121.

Assertion

Ref	Expression
prnmax	|- ((A e. P. /\ B e. A) -> E.x(x e. A /\ B <Q x))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem prnmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (y = B -> (y e. A <-> B e. A))
2	1	anbi2d 616	. . . . 5 |- (y = B -> ((A e. P. /\ y e. A) <-> (A e. P. /\ B e. A)))
3		breq1 2622	. . . . . 6 |- (y = B -> (y <Q x <-> B <Q x))
4	3	rexbidv 1664	. . . . 5 |- (y = B -> (E.x e. A y <Q x <-> E.x e. A B <Q x))
5	2, 4	imbi12d 626	. . . 4 |- (y = B -> (((A e. P. /\ y e. A) -> E.x e. A y <Q x) <-> ((A e. P. /\ B e. A) -> E.x e. A B <Q x)))
6		elnp 5092	. . . . . . 7 |- (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.y e. A (A.x(x <Q y -> x e. A) /\ E.x e. A y <Q x)))
7	6	pm3.27bi 326	. . . . . 6 |- (A e. P. -> A.y e. A (A.x(x <Q y -> x e. A) /\ E.x e. A y <Q x))
8	7	r19.21bi 1725	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ y e. A) -> (A.x(x <Q y -> x e. A) /\ E.x e. A y <Q x))
9	8	pm3.27d 325	. . . 4 |- ((A e. P. /\ y e. A) -> E.x e. A y <Q x)
10	5, 9	vtoclg 1847	. . 3 |- (B e. A -> ((A e. P. /\ B e. A) -> E.x e. A B <Q x))
11	10	anabsi7 497	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> E.x e. A B <Q x)
12		df-rex 1650	. 2 |- (E.x e. A B <Q x <-> E.x(x e. A /\ B <Q x))
13	11, 12	sylib 198	1 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> E.x(x e. A /\ B <Q x))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  E.wrex 1646   (. wpss 2048  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  Q.cnq 4979   <Q cltq 4984  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  prnmadd 5100  genpnmax 5110  1idpr 5133  ltexprlem4 5145  reclem3pr 5158  suplem1pr 5161

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-qs 4266  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086

Copyright terms: Public domain