Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodeq2ii Structured version   Unicode version

Theorem prodeq2ii 25231
Description: Equality theorem for product, with the class expressions 
B and  C guarded by  _I to be always sets. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prodeq2ii  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  prod_ k  e.  A B  =  prod_ k  e.  A C )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem prodeq2ii
Dummy variables  f  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  n  e.  ZZ )
21adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  n  e.  ZZ )
3 nfra1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )
4 rsp 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( k  e.  A  ->  (  _I 
`  B )  =  (  _I  `  C
) ) )
54adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  A  -> 
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C ) ) )
6 ifeq1 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C ) ,  (  _I  ` 
1 ) ) )
75, 6syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C ) ,  (  _I  ` 
1 ) ) ) )
8 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  (  _I  ` 
1 ) )
9 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  (  _I  ` 
1 ) )
108, 9eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C ) ,  (  _I  ` 
1 ) ) )
117, 10pm2.61d1 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C ) ,  (  _I  ` 
1 ) ) )
12 fvif 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B ) ,  (  _I  ` 
1 ) )
13 fvif 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C ) ,  (  _I  ` 
1 ) )
1411, 12, 133eqtr4g 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
153, 14mpteq2da 4286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
1716fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) `  x
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) `  x
) )
1817adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) `  x ) )
19 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
20 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )
2119, 20fvmptex 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) `  x )
22 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
23 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
2422, 23fvmptex 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) `  x )
2518, 21, 243eqtr4g 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) `  x ) )
262, 25seqfeq 11340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq  n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
2726breq1d 4214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq  n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
2827anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
y  =/=  0  /\ 
seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
2928exbidv 1636 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
3029rexbidva 2714 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
3130adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
32 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
3315adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
3433fveq1d 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) `  x
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) `  x
) )
3534, 21, 243eqtr4g 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) `  x ) )
3635adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) `  x ) )
3732, 36seqfeq 11340 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
3837breq1d 4214 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
3931, 383anbi23d 1257 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
4039rexbidva 2714 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
41 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  NN )
42 nnuz 10513 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4341, 42syl6eleq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
44 f1of 5666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... m
) --> A )
4544ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  f : ( 1 ... m ) --> A )
46 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... m ) )  ->  ( f `  x )  e.  A
)
4745, 46sylancom 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
f `  x )  e.  A )
48 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C ) )
49 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  B )
50 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C )
5149, 50nfeq 2578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
)  =  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )
52 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
) )
53 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  C )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
5452, 53eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C )  <->  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ (  _I  `  B )  =  [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C ) ) )
5551, 54rspc 3038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) ) )
5647, 48, 55sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
57 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
58 csbfv2g 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
) )
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
)
60 csbfv2g 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
6157, 60ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
)
6256, 59, 613eqtr3g 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (  _I  `  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
63 elfznn 11072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 ... m )  ->  x  e.  NN )
6463adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  x  e.  NN )
65 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  (
f `  n )  =  ( f `  x ) )
6665csbeq1d 3249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B )
67 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)
6866, 67fvmpti 5797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
6964, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
7065csbeq1d 3249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C )
71 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
7270, 71fvmpti 5797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
7364, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
7462, 69, 733eqtr4d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
) )
7543, 74seqfveq 11339 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
7675eqeq2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
7776pm5.32da 623 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
7877exbidv 1636 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
7978rexbidva 2714 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8040, 79orbi12d 691 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
8180iotabidv 5431 . 2  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
82 df-prod 25224 . 2  |-  prod_ k  e.  A B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
83 df-prod 25224 . 2  |-  prod_ k  e.  A C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8481, 82, 833eqtr4g 2492 1  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  prod_ k  e.  A B  =  prod_ k  e.  A C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   [_csb 3243    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    _I cid 4485   iotacio 5408   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987   NNcn 9992   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035    seq cseq 11315    ~~> cli 12270   prod_cprod 25223
This theorem is referenced by:  prodeq2  25232  prod2id  25246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-prod 25224
  Copyright terms: Public domain W3C validator