Theorem prodgt0i 5959

Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative muliplier and positive product.

Hypotheses

Ref	Expression
prodgt0.1	|- A e. RR
prodgt0.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
prodgt0i	|- ((0 <_ A /\ 0 < (A x. B)) -> 0 < B)

Proof of Theorem prodgt0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5594	. . . 4 |- 0 e. RR
2		prodgt0.1	. . . 4 |- A e. RR
3	1, 2	leloei 5729	. . 3 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
4		opreq1 4026	. . . . . . 7 |- (A = if(0 < A, A, 1) -> (A x. B) = (if(0 < A, A, 1) x. B))
5	4	breq2d 2703	. . . . . 6 |- (A = if(0 < A, A, 1) -> (0 < (A x. B) <-> 0 < (if(0 < A, A, 1) x. B)))
6	5	imbi1d 616	. . . . 5 |- (A = if(0 < A, A, 1) -> ((0 < (A x. B) -> 0 < B) <-> (0 < (if(0 < A, A, 1) x. B) -> 0 < B)))
7		1re 5589	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8	2, 7	keepel 2456	. . . . . 6 |- if(0 < A, A, 1) e. RR
9		prodgt0.2	. . . . . 6 |- B e. RR
10		elimgt0 5949	. . . . . 6 |- 0 < if(0 < A, A, 1)
11	8, 9, 10	prodgt0lem 5958	. . . . 5 |- (0 < (if(0 < A, A, 1) x. B) -> 0 < B)
12	6, 11	dedth 2437	. . . 4 |- (0 < A -> (0 < (A x. B) -> 0 < B))
13	1	ltnri 5763	. . . . . 6 |- -. 0 < 0
14		opreq1 4026	. . . . . . . 8 |- (0 = A -> (0 x. B) = (A x. B))
15	9	recni 5468	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
16	15	mul02i 5586	. . . . . . . 8 |- (0 x. B) = 0
17	14, 16	syl5eqr 1564	. . . . . . 7 |- (0 = A -> 0 = (A x. B))
18	17	breq2d 2703	. . . . . 6 |- (0 = A -> (0 < 0 <-> 0 < (A x. B)))
19	13, 18	mtbii 721	. . . . 5 |- (0 = A -> -. 0 < (A x. B))
20	19	pm2.21d 78	. . . 4 |- (0 = A -> (0 < (A x. B) -> 0 < B))
21	12, 20	jaoi 339	. . 3 |- ((0 < A \/ 0 = A) -> (0 < (A x. B) -> 0 < B))
22	3, 21	sylbi 197	. 2 |- (0 <_ A -> (0 < (A x. B) -> 0 < B))
23	22	imp 348	1 |- ((0 <_ A /\ 0 < (A x. B)) -> 0 < B)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 220   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  ifcif 2415   class class class wbr 2692  (class class class)co 4021  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389   x. cmul 5393   <_ cle 5449   < clt 5640

This theorem is referenced by:  prodgt0 5966

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855

Copyright terms: Public domain