Theorem projlem11 9112

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100 (lemma for projection theorem). R is the infimum of the set of norms. Show it is real. Used by projlem12 9113 projlem13 9114 projlem14 9115 projlem15 9116 projlem18 9119 projlem19 9120 projlem26 9127 projlem28 9129 projlem31 9132.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	|- A e. H~
projlem11.2	|- H e. CH
projlem11.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
projlem11.4	|- R = -usup(S, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
projlem11	|- R e. RR

Distinct variable groups:   v,u,A   u,H,v

Proof of Theorem projlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem11.4	. 2 |- R = -usup(S, RR, < )
2		projlem11.1	. . . 4 |- A e. H~
3		projlem11.2	. . . 4 |- H e. CH
4		projlem11.3	. . . 4 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
5	2, 3, 4	projlem9 9110	. . 3 |- sup(S, RR, < ) e. RR
6	5	renegcl 5388	. 2 |- -usup(S, RR, < ) e. RR
7	1, 6	eqeltr 1536	1 |- R e. RR

Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  {crab 1640  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  RRcr 5205  -ucneg 5265   < clt 5458  H~chil 8727   -h cmv 8731  normhcno 8733  CHcch 8737

This theorem is referenced by:  projlem12 9113  projlem13 9114  projlem14 9115  projlem15 9116  projlem18 9119  projlem19 9120  projlem26 9127  projlem28 9129  projlem31 9132

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hv0cl 8794  ax-hfvmul 8796  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-sh 8997  df-ch 9013

Copyright terms: Public domain